新教材2023版高中数学第五章计数原理2排列问题2.2排列数公式学生用书北师大版选择性必修第一册

2.2排列数公式[教材要点]要点排列数公式Anm＝______________________＝__________(m≤n状元随笔(1)排列的定义中包含两个基本内容：一是取出元素，二是按一定顺序排列．(2)一个排列就是完成一件事情的一种方法，不同的排列就是完成一件事情的不同方法．(3)两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素完全相同，二是元素的排列顺序相同．4Anm表示一个数，且An5Ann＝n！，[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．()(2)若Anm＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.((3)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n.()(4)某班从8名运动员中选取4名参加4×100米接力赛，有A84种不同的参赛方案．(2．90×91×92×…×100可以表示为()A.A10010B.A3．若A2n3＝10An3，则nA．6B．7C．8D．94．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有______种．题型一排列数的计算例1(1)已知An+12-An2＝A．4B．5C．6D．7(2)计算：A95+方法归纳排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．跟踪训练11A76-A．12B．24C．30D．362A66题型二排列的应用角度1特殊元素或特殊位置问题例2六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．状元随笔对于“人站队”问题，由于有顺序，所以是排列问题，又由于安排甲、乙时有限制，所以这又是有限制条件的排列问题，应先考虑特殊元素甲、乙或特殊位置左、右两端，再考虑其他的情况．方法归纳特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑：(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化如图．当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．跟踪训练2从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．()A．120B．240C．300D．360角度2相邻问题例3已知A，B，C，D，E共5名同学，按下列要求排列，分别求出满足条件的排列方法数．(1)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻；(2)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻；(3)把这5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B必须相邻．状元随笔(1)符合“捆绑法”的要求，可直接利用“捆绑法”解题；(2)由于A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻，可考虑将二者各自视为整体，先对这两个整体进行排列，再对整体内部进行排列；(3)先把同学和座位“绑到一起”，进行排列，然后把剩余的空位插到中间．“捆绑法”主要用于解决元素相邻的问题，解题思路是先整体，后局部．由第(2)题可知，只要是相邻元素问题，即使是受多个相邻条件限制的排列问题，都可以采用“捆绑法”解题．方法归纳解决“相邻”问题用“捆绑法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有An(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有Ak(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有An跟踪训练3某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A．504种B．960种C．1008种D．1108种角度3不相邻问题例4已知A，B，C，D，E五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数．(1)把5名同学排成一排且A，B不相邻；(2)把5名同学排成一排且A，B都不与C相邻；(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B不相邻．状元随笔(1)由于要求A，B不相邻，先将无限制条件的C，D，E排列好，然后将不相邻的A，B插入已经排好的同学之间及两端，也可用间接法进行计算．(2)先排不受限制的D，E，然后按要求将不相邻的A，C插入已经排好的同学之间或两端，再按要求把B插入已经排好的同学之间或两端．(3)可以采用间接法进行计算，即先不考虑限制条件进行排列，然后减去不符合条件的排列方法数；也可用直接法，先排A，B，C，D，E，再对A，B相邻和不相邻进行分类讨论．方法归纳解决不相邻问题用“插空法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：(1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有An(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有An(3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数为An跟踪训练46把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24角度4定序问题例5(1)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．(2)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．这样的排列方法有________种(用数字作答)．方法归纳解决“定序”问题用“倍缩法”．有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A固定其他是我们需要的，因此共有A跟踪训练5《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有()A．144种B．288种C．360种D．720种易错辨析忽略排列的有序性致错例68人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．解析：先排甲、乙，有A故不同排法共有A42·A答案：5760【易错警示】易错原因纠错心得求解本题时容易出现下列两种错解．错解一：甲、乙两人在前排，前排还少2人，从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有A法，故不同排法共有A52·错解二：甲、乙两人在前排，有A22种排法，再从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有A52种排法；其余4人(含丙)在后排，有A4排列问题中，若对元素的位置没有要求，则各元素间是有顺序之分的，解题时要时刻把握这一“原则”．[课堂十分钟]1．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有()A．1种B．3种C．6种D．27种2．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有()A．16种B．12种C．20种D．10种3．6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有()A．24种B．36种C．48种D．60种4．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．5．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字组成没有重复数字的四位数.(1)这些四位数中偶数有多少个？(2)这些四位数中大于6500的有多少个？2．2排列数公式新知初探·课前预习要点n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)n[基础自测]1．(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由排列数公式可知原式为A100答案：B3．解析：因为A2n3＝10An3，所以n≥3，n所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，即2(2n－1)＝5(n－2)，解得：n＝8.故选C.答案：C4．解析：3名女生先排好，有A33种排法，让答案：144题型探究·课堂解透例1解析：1An+12-An2＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，化简得2n＝解析：方法一A95+A94A106方法二A95+A94A方法三A95+A94A106答案：(1)B(2)3跟踪训练1解析：1A76-A65A54解析：原式＝A66-A66+A55＝5答案：(1)D(2)120例2解析：(1)方法一(位置分析法)因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A有A44方法二(元素分析法)因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有A数原理知，共有A41方法三(间接法)在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有A有A66(2)方法一(元素分析法)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A22种站法；再让其他方法二(位置分析法)首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有A22种站法；再考(3)方法一(间接法)甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有方法二(直接法)从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲站右端有A55种站法；第跟踪训练2解析：方法一从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A第由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A54+2A方法二从位置角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲外的5人中选2人，有A由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒参赛方案共有A52A方法三(间接法)不考虑甲的约束条件，有A64种安排方法，甲跑第一棒或第四棒有2A53答案：B例3解析：(1)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，和C，D，E共四个元素进行排列，其排列方法有A第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有A44·(2)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，把C，D，E这3名同学看成一个整体，故这两个整体排成一列的方法有A对第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有A22·A(3)第一步，先看成A，B，C，D，E这5名同学带着座位排列，而且满足A，B相邻的要求，由(1)可知，其排列方法有48种；第二步，把剩下的1个空位往已经坐好的5名同学中间(包括两端)插空，且不能插在A，B之间，其排列方法有A51种；第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有48·A5跟踪训练3解析：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有A22A66＝1440(种)，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有A22A55＝240(种)；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁排在10月7日值班的方案共有A22A55＝240(种)因此，满足题意的方案共有1440－2×240＋48＝1008(种)．故选C.答案：C例4解析：(1)方法一第一步，先排不受限制的同学C，D，E，其排列方法有A33种．第二步，由于已经排好的C，D，E间(包括两端)形成了4个空，把有限制条件(不相邻)的同学A，B插到这4个空中，其排列方法有A42种．由分方法二先不考虑A，B不相邻这个限制条件，把5名同学全排列有A55种排列方法，其中A，(2)第一步，先排不受限制的同学D，E，其排列方法有A22种．第二步，由于已经排好的D，E之间(包括两端)形成了3个空，把有限制条件(不相邻)的同学A，C插到这3个空中，共有排列方法A32种．第三步，由于已经排好的A，C，D，E之间(包括两端)形成了5个空，但由于B不能与C相邻，所以把B插入已经排好的A，C，D，E中时只有3种选择，其排列方法有A3(3)方法一(间接法)先不考虑A，B不相邻这个限制条件，把5名同学安排到6个空位中的5个空位上，其排列方法有AB相邻的排列方法有A22A方法二(直接法)先排A，B，C，D，E，再将剩余的空位插到中间．①当A，B不相邻时，由(1)知，其排列方法有72种，然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中，有6种插入的方法，由分步乘法计数原理知，其排列方法有6×72＝432(种)；②当A，B相邻时，其排列方法有A插入方法只有1种，故其排列方法有A44·A22×1＝跟踪训练4解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把三人带椅子插在这四个位置中，共有A43＝24答案：D例5解析：(1)若1，3，