新教材2023版高中数学第3章概率3.3正态分布学生用书湘教版选择性必修第二册

3．3正态分布新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一正态曲线与正态分布函数p(x)＝12πσe-x-μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0，μ∈R)为参数，p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线❶.此时我们称随机变量批注❶概率密度曲线能反映随机变量X的取值规律以及它取值在某个区间的概率，它所起到的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的．要点二正态分布密度曲线的特点1．曲线位于x轴上方，与x轴不相交；2．曲线是单峰的，它关于直线________对称；3．p(x)在________处达到最大值124．当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；5．σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡；6．曲线与x轴之间所夹区域的面积等于________．要点三正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)❷，则E(X)＝________，D(X)＝________．批注❷特别地，数学期望μ＝0，方差σ2＝1时的正态分布为标准正态分布．要点四正态变量在三个特殊区间内取值的概率1．P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68.27%；2．P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95.45%；3．P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈99.73%❸.批注❸在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为原则．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()(3)正态曲线可以关于y轴对称．()2．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，则P(X<4)等于()A．15B．14C．133．如图是三个正态分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为()A．①②③B．③②①C．②③①D．①③②4．已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<－1)＝P(X>5)，则μ＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性正态曲线的应用例1已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式；(2)求出总体随机变量的期望与方差．方法归纳正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ巩固训练1(多选)某市高二期末质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图所示曲线可得下列说法中正确的项是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数相同正态分布的概率计算例2设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．方法归纳正态总体在某个区间内取值概率的求解策略巩固训练2在某次测验中，测验结果ξ服从正态分布N(80，σ2)．若P(ξ>90)＝0.2，则P(70<ξ<90)＝________．正态分布在实际生活中的应用例3某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：979798102105107108109113114设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.(1)求μ与σ；(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E(4X＋3)；②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118.以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，0.99734≈0.99.方法归纳正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．巩固训练3在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.3．3正态分布新知初探·课前预习[教材要点]要点一N(μ，σ2)要点二2．x＝μ3．x＝μ6．1要点三μσ2[基础自测]1．(1)×(2)×(3)√2．解析：因为X～N(4，σ2)，所以直线X＝4为正态分布的对称轴，所以P(X<4)＝12答案：D3．解析：由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线尖陡，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为①，②，③.答案：A4．解析：因为P(X<－1)＝P(X>5)，故μ＝-1+52答案：2题型探究·课堂解透例1解析：(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝8000对称，最大值为1500所以μ＝8000，由12π·σ＝15002所以概率密度函数的解析式为P(x)＝12πσe-x-μ22σ2＝(2)则总体随机变量的均值为8000，方差为250000.巩固训练1解析：由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.答案：AD例2解析：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ≈12(0.9545－0.6827)＝巩固训练2解析：因为ξ服从正态分布N(80，σ2)，所以P(ξ<80)＝0.5，所以P(70<ξ<90)＝2[P(ξ<90)－P(ξ<80)]＝2[1－P(ξ>90)－P(ξ<80)]＝2(1－0.2－0.5)＝0.6.答案：0.6例3解析：(1)μ＝110(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝110(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ(2)①∵Z服从正态分布N(105，36)，∴P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ)≈0.5－0.99732＝0.00135，则X～B(5，0.00135)∴E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.00135＋3＝3.027.②∵Z服从正态分布N(105，36)，∴P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973，∴5个零件中恰有一个内径不在[μ－3σ，μ＋3σ]的概率为〖C510.99734×(1∵86∉[87，123]，∴试生产的5个零件就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内，出现的频率是0.013355的15倍左右，根据3σ原则，需要进一步调试．巩固训练3解析：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝