3.2　复数的四则运算 2023-2024学年高中数学湘教版必修第二册

高中数学湘教版必修第二册第三章复数3.2复数的四则运算第1课时复数的四则运算(1)教材要点要点一复数的加法与减法1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＋z2＝___________，z1－z2＝____________．2．加法运算律：设z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝___________．状元随笔复数加法运算的理解(1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形．(2)在这个规定中，当b＝0，d＝0时，则与实数的加法法则一致．(3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)要点二复数的乘法与乘方1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________．2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝________结合律(z1·z2)·z3＝________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝________(ac－bd)＋(bc＋ad)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3

基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个复数的和(或差)仍然是一个确定的复数．(

)(2)两个虚数的和(或差)一定是虚数．(

)(3)复数的加法满足结合律，但减法不满足结合律．(

)(4)两个虚数相乘的结果可能为实数．(

)√××√2．(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(

)A．2＋2iB．4－2iC．2D．0答案：C解析：(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(3－2＋1)＋(2－1－1)i＝2.3．复数i(2＋i)的虚部为________．2解析：i(2＋i)＝2i＋i2＝－1＋2i，所以复数i(2＋i)的虚部为2.题型

1复数的加减运算例1

(1)计算(3＋5i)＋(3－4i)＝________；6＋i解析：原式＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i

1＋i(3)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.解析：∵z＋1－3i＝5－2i，∴z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.方法归纳(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；(2)复数的加、减运算结果仍是复数；(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．跟踪训练1

(1)若z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝(

)A．－2＋10iB．－1＋5iC．－4＋10iD．－1＋10i解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i.答案：A

答案：C解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，故复数z的虚部为－1.(3)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________．

－1＋10i题型2复数的乘法与乘方运算例2

计算：(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)；(2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021.

解析：(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)＝(2－i＋2i－i2)(3＋2i)＝(3＋i)(3＋2i)＝9＋6i＋3i＋2i2＝7＋9i.(2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2017＋i2018＋i2019＋i2020)＋i2021＝0＋0＋…＋0＋i＝i.方法归纳(1)复数乘法运算的技巧①复数乘法与实数多项式乘法类似，在计算两个复数的乘积时，先按照多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可．②三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致．③在复数乘法运算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．例如(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．(2)利用i幂值的周期性解题的技巧①熟记i幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i.②对于n∈N*，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.跟踪训练2

(1)复数i(2＋i)的实部为(

)A．－1B．1C．－2D．2解析：i(2＋i)＝－1＋2i的实部为－1.答案：A(2)已知i为虚数单位，则i2020＋i2021＝________．1＋i解析：i2020＋i2021＝i4×505＋i4×505＋1＝1＋i.题型3复数加、减、乘和乘方的综合运算例3

(1)(1＋2i)(1－2i)＋(3－4i)2；(2)(1＋i)10(1－i)7－(1＋i)(2＋i)．解析：(1)(1＋2i)(1－2i)＋(3－4i)2＝1－4i2＋9－24i＋16i2＝－2－24i.(2)(1＋i)10(1－i)7－(1＋i)(2＋i)＝(1＋i)7(1＋i)3(1－i)7－(1＋3i)＝[(1＋i)(1－i)]7(1＋i)2·(1＋i)－(1＋3i)＝27×2i(1＋i)－(1＋3i)＝28(i－1)－(1＋3i)＝－257＋253i.方法归纳在复数加、减、乘和乘方的运算中，可以运用一些技巧，以简化运算过程．

跟踪训练3

求(3＋i)－(1－2i)2－i20＋(1－i)8的值．

解析：(3＋i)－(1－2i)2－i20＋(1－i)8＝3＋i－(1－4i－4)－1＋(－2i)4＝21＋5i.课堂十分钟1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i＝(

)A．－8iB．13＋8iC．8＋13iD．13－12i答案：D解析：原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i.

答案：D解析：∵复数z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝1＋a＋(2a－1)i是纯虚数，∴a＋1＝0，2a－1≠0，∴a＝－1.3．设i为虚数单位，若复数z＝(3＋2i)(1－i)2，则z＝(

)A．4＋6iB．4－6iC．6＋4iD．6－4i答案：B解析：根据复数的乘法运算得：z＝(3＋2i)(1－i)2＝－2i(3＋2i)＝4－6i.4．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的虚部为________．3解析：z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，所以复数z的虚部为3.5．计算：(1－2i)＋(2＋i)(1－4i)－(1＋i)5.解析：原式＝(1－2i)＋(6－7i)－(2i)2(1＋i)＝(7－9i)＋4(1＋i)＝11－5i.高中数学湘教版必修第二册第三章复数3.2复数的四则运算第2课时复数的四则运算(2)

×√×2．设zi＝1－2i，则z＝(

)A．－2－i

B．－2＋iC．2＋iD．2－i答案：A

答案：D

4．(2－i)÷i＝________．－1－2i

答案：B

答案：D

答案：A

答案：B

1－i

题型

3在复数范围内解方程例3在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.

方法归纳与复数范围内一元二次方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但根的判别式“Δ”不再适用．跟踪训练3

已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否是方程的根．

课堂十分钟1．若复数z满足(1－i)z＝2，则z＝(

)A．2＋i