5.3 函数的单调性 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册

高中数学苏教版必修第一册第5章函数的概念与性质5.3函数的单调性第1课时函数的单调性课标阐释思维脉络1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(直观想象)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(逻辑推理)3.会求一些具体函数的单调区间.(数学运算)情境导入德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8~9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?知识点拨一、增函数与减函数

条件设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)结论那么称y=f(x)在区间I上是增函数,I称为y=f(x)的增区间那么称y=f(x)在区间I上是减函数,I称为y=f(x)的减区间图示名师点析

增(减)函数定义中的x1,x2的特征(1)任意性,即“任意两个值x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1<x2;(3)属于同一个单调区间.这三个条件缺一不可.微练习

1下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是(

)A.y=-

B.y=xC.y=x2

D.y=1-x答案

D解析

函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,故选D.微练习

2已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根(

)A.有且只有一个

B.有两个C.至多一个

D.以上均不对答案

D解析

因为f(x)在R上是增函数,所以对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),反之也成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.二、函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性,增区间和减区间统称为单调区间.名师点析

1.区间I必为函数定义域A的子集,即I⊆A,所以单调性是函数定义域内的局部性质.2.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集.如y=x在整个定义域(-∞,+∞)上是增函数,y=-x在整个定义域(-∞,+∞)上是减函数,但y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,其在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.3.一个函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间用“,”隔开,或者用“和”连接,不能用“并”或“且”连接.微思考

函数y=在定义域上是减函数吗?提示

不是.y=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.微练习

函数y=f(x)的图象如图所示,其减区间是(

)A.[-4,4]

B.[-4,-3]和[1,4]C.[-3,1] D.[-3,4]答案

B解析

由图可知,函数y=f(x)的减区间为[-4,-3]和[1,4].故选B.探究一函数单调性的判断与证明例1证明函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数.证明

设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x1<x2,∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=x+在(0,1)上是减函数.反思感悟利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2.(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.变式训练1试用函数单调性的定义证明f(x)=在(1,+∞)上是减函数.因为1<x1<x2,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.探究二求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.(3)f(x)=-x2+2|x|+3.解

(1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],[-1,0],[0,1],[1,+∞).f(x)在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.反思感悟1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象,如本例(3).2.若所求出函数的增区间或减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”或“和”连接,如本例(3).变式训练2(1)根据图象说出函数在每一单调区间上,是增函数还是减函数;(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.解

(1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.(2)先画出则y=|x2-2x-3|的减区间为(-∞,-1],[1,3];增区间为[-1,1],[3,+∞).探究三函数单调性的综合应用例3已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不具有单调性,求实数a的取值范围.解

(1)∵f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),(2)由f(x)在区间[1,2]上不具有单调性可知1<-<2,即-4<a<-2.故实数a的取值范围为(-4,-2).延伸探究把本例(2)条件“不具有单调性”改为“具有单调性”,求实数a的取值范围.反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a,b]上具有单调性,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也具有单调性.变式训练3已知函数g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),求实数x的取值范围.解

∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),∴2x-3>5x+6,即x<-3.故实数x的取值范围为(-∞,-3).素养形成抽象函数的单调性抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.判断抽象函数单调性的方法:1.凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;2.赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.典例

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0<x<1时,f(x)>0,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出理由.解

f(x)在(0,+∞)上是减函数.理由如下,设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.点评一般地,若给出的抽象函数的性质为“f(x+y)=…”,则称这类抽象函数为“和型抽象函数”,研究“和型抽象函数”的单调性的基本方法是将x拆成两个数的和“(x-y)+y”,利用所给的性质及条件,即可确定其单调性;类似地,“积型抽象函数”(即“f(xy)=…”)只需将x拆成两个数的积“x=y·

(y≠0)”即可.当堂检测1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是(

)A.函数在区间[-5,-3]上是增函数B.函数在区间[1,4]上是增函数C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上是减函数D.函数在区间[-5,5]上没有单调性答案

C解析

由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上是减函数,单调区间不可以用并集“∪”连接,故选C.2.函数f(x)在R上是减函数,则有(

)A.f(3)<f(5)

B.f(3)≤f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)答案

C解析

∵3<5,且f(x)在R上是减函数,∴f(3)>f(5).3.(2020北京北理工附中期中)下列函数在区间(0,+∞)上为增函数的是(

)答案

B对于C,函数y=(x-1)2+1在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故C错误;对于D,函数y=-x2在(0,+∞)上是减函数,故D错误.故选B.4.(2020浙江宁波高二期中)已知函数f(x)在R上是减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是

.

答案

(-∞,3)解析

由f(2)=-1知,若满足f(2x-4)>-1,则f(2x-4)>f(2).又函数f(x)在R上是减函数,则2x-4<2,解得x<3,所以实数x的取值范围为(-∞,3).5.已知函数f(x)=

(k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是

.

答案

(-∞,0)解析

结合反比例函数的单调性可知k<0.高中数学苏教版必修第一册第5章函数的概念与性质5.3函数的单调性第2课时函数的最大(小)值课标阐释思维脉络1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象)2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(直观想象)3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学建模)情境导入请同学们认真观察一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图象,在它们的图象上是否存在最高点或最低点?显然,一次函数f(x)=x的图象上不存在最高点,也不存在最低点.二次函数f(x)=x2的图象上不存在最高点,但存在最低点(0,0),即坐标原点.即当一个函数f(x)的图象有最低点时,我们就说函数f(x)有最小值;而一次函数f(x)=x的图象没有最低点,所以函数f(x)=x没有最小值.你能用数学语言描述函数最小值的定义吗?知识点拨函数最大值与最小值

最大值最小值条件设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)结论那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0)那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0)几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标名师点析

函数最大(小)值和值域的联系与区别(1)联系:函数的最大(小)值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域.(2)区别:①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;②若函数的最大(小)值存在,则最大(小)值一定是值域中的元素,例如:函数f(x)=x2对任意的x∈R,都有f(x)≥-1,但是f(x)的最小值不是-1,因为-1不在f(x)的值域内.微思考

若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?提示

不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.微练习

1已知函数f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2答案

C解析

由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.微练习

2函数f(x)=,x∈[1,2],则f(x)的最大值为

,最小值为

.

探究一利用函数的图象求函数的最大(小)值(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象;(2)根据函数的图象写出函数的单调区间、最大值、最小值.解

(1)f(x)的图象如图所示.(2)由图可知f(x)的增区间为[-1,0],[2,5],减区间为[0,2],最大值为3,最小值为-1.反思感悟利用图象求函数最大(小)值的方法(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)观察图象,找出图象的最高点(最低点);(3)写出最大(小)值,最高点的纵坐标是函数的最大值(最低点的纵坐标是函数的最小值).变式训练1函数y=f(x),x∈[-2,2]的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为(

)答案

C探究二利用函数的单调性求最大(小)值(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.解

(1)f(x)在(-1,+∞)上为增函数,证明如下,任取-1<x1<x2,因为-1<x1<x2,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)由(1)知f(x)在[2,4]上为增函数,反思感悟函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.变式训练2求函数f(x)=x+在[1,4]上的最大值和最小值.∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.同理f(x)在[2,4]上是增函数.∴当x=2时,f(x)取得最小值4;当x=1或x=4时,f(x)取得最大值5.探究三二次函数的最大(小)值问题例3已知函数f(x)=x2-ax+1,求f(x)在[0,1]上的最大值.综上,当a≤1时,f(x)在[0,1]上的最大值为2-a;当a>1时,f(x)在[0,1]上的最大值为1.延伸探究在本例条件不变的情况下,求f(x)在[0,1]上的最小值.综上,当a≤0时,f(x)在[0,1]上的最小值为1;当0<a<2时,f(x)在[0,1]上的最小值为1-;当a≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为2-a.反思感悟二次函数“轴动区间定”问题的求解策略“轴动区间定”型的问题,对于对称轴的位置变化情况必须进行分类讨论,其分类标准为对称轴与x轴交点横坐标在给定区间内变化;对称轴与x轴交点横坐标在给定区间外变化.若对称轴与x轴交点横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离.变式训练3求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值与最小值.解

y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上是增函数,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.当1<a≤2时,结合图象(如图③)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.当a>2时,函数在[0,2]上是减函数,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.素养形成函数最大(小)值的实际应用解决函数应用题的基本思路典例

一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y与x的函数关系式.(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?解

(1)当0<x≤20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x.(2)当0<x≤20时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,当x=16时,ymax=156.而当x>20时,160-x<140.故当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润,最大年利润为156万元.点评解实际应用题的四个步骤(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围