2024年高考数学优等生培优第22讲 同角三角函数关系-解析版64

第22讲同角三角函数关系通关一、三角函数定义设是一个任意角,是角终边上任意一点(与原点不重合),它与原点的距离(如图所示).(1)比值叫作的正弦,记作,即;(2)比值叫作的余弦,记作,即;(3)比值叫作的正切,记作,即.要点诠释：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么.(2)三角函数符号是一个整体,离开的,tan等是没有意义的,它们表示的是一个比值,而不是,与的积.通关二、三角函数在各象限的符号在记忆上述三角函数值在各象限的符号时,有以下口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦。通关三、特殊角的三角函数值α0πππππ3sin⁡012310−1cos⁡13210−10tan⁡0313不存在0不存在结论一、任意角的三角函数在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么(1)比值叫作的正弦,记作,即;(2)比值叫作的余弦,记作,即;(3)比值叫作的正切,记作,即.【例1】已知角的终边上一点的坐标是,且,求和的值.【解析】，又即rx=3x．由于x≠0，所以r=3，所以，即.(1)当时,点的坐标是.(2)当时,点的坐标是.【变式】已知角的终边上的一点的坐标为,且,求和值.【解析】由三角函数的定义知.当时,为第二象限角,;当时,为第三象限角,.结论二、三角函数值在各象限的符号当角为第一象限角时,,反之也成立;当角为第二象限角时,,反之也成立;当角为第三象限角时,,反之也成立;当角为第四象限角时,,反之也成立.三角函数值在各象限内的符号口认:一全正、二正弦、三正切、四余弦.【例2】已知,则函数的值域为____________.【答案】【解析】由题知原函数定义域为当是第一像限角时,;当是第二象限角时,当是第三象限角时,当是第四象限角时,.所以函数的值域为.【变式】若,则的值.A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不确定,与有关【答案】D【解析】异号为第二像限或第四象限角.(1)若是第二象限角,则,又由正余弦函数的定义知1,故,将它看成一个弧度数,为第四象限角,从而;同理,为第一象限角,故.所以,当是第二象限角时,.(2)若是第四象限角,类似讨论得综上,故选D.结论三、已知一个三角函数值,求其余两个三角函数值一画，画一个直角三角形；二用，用勾股定理求出各条边；三求，求出当角为锐角时的三角函数值；四定，利用α所在象限确定符号．(特例：如出现以5、13、17、25为分母的应考虑其特殊角的三角函数值).【例3】已知是第一象限角,,则等于. A. B. C. D.【答案】【解析】因为,所以,因为,所以.因为是第一象限角,所以.故选B.【变式】已知,且,则.A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,且,所以,所以.故选.结论四、同角三角函数的基本关系1.平方关系:2.公式常见变形:【例4】已知是第三象限角,则_________.【答案】【解析】原式因为是第三象限角,所以.所以原式.【变式】已知是第四象限角,化简为（） A. B. C. D.【答案】【解析】原式因为是第四象限角,所以所以原式故选.结论五、已知值的求值问题(齐次式)1.利用商的关系,实现角的弦切互化.2.没有分式的变成分式,利用分母为1,且,然后使分子、分母的次数相同,如果次数不够,要补次,主要利用,再令分子、分母同除以,得到,代入可求值.【例5】已知,则. A. B. C. D.【答案】【解析】原式，代入．故选D.【变式】若，则（） A. B. C. D.【答案】A.【解析】因为,所以.故选A.结论六、三角函数“三剑客”对于，，这三个式子，若已知其中某一个式子的值，可利用平方关系“”，灵活地运用方程思想,求出另两个式子的值，即；；.【例6】已知，则（）. A. B. C. D. 【答案】A.【解析】因为,所以,所以.