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文档简介

§4重积分应用举例立体体积曲面的面积物体的质量物体的质心物体的转动惯量物体对质点的引力一.体积求体积时应注意：1.立体由哪些曲面围成；2.体积必须是正值，如图形具有对称性，可利用对称性简化。R化为球系下的方程r=2Rcos

..

Mrz

0xy

=例1.求半径为R的球面与半顶角为

的内接锥面所围成的立体的体积ozxy例2.az=0ozxy.例2.az=0故立体关于x轴对称......ozxyD0y

x.例2.a2a2a0xz

ya.L联立柱面坐标用哪种坐标？例3.例3.2a0xz

ya.L联立D...柱面坐标用哪种坐标？.0xz

yab例4.b0xz

ya

问题：2用哪种坐标系？1是不是曲顶柱体？3交线L的方程？交线L...柱系..例4.V=上顶：下底：4

Dxy

?Dxy

...(球系？需分块儿!)二.曲面的面积如图，曲面S的面积元素曲面面积公式为：引理

A

.一般情况，将A分割成假设干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，然后迭加再取极限即可。当A是矩形,l证：且一边与l平行那么也是矩形,且b引理成立..a

注：这里

即两平面法矢量的夹角.

证毕二.曲面的面积xz

y0z=f(x,y)D(xi

,yi)Pi.二.曲面的面积xz

y0z=f(x,y)D.(xi

,yi)

i

Ai〔由引理〕Pi...二.曲面的面积设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得假设光滑曲面方程为隐式那么1.xyzo11xyzo1.1.xyzo11DS.......1.2.ayxzo2.xyzoDS=共同的D:...2xzy3.o3.xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？.o只能向xoz平面投影xzy2得z=2.Dxz..3.o其中，xzy2Dxz....得z=2.3.o.其中，例4.

计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在

xoy

面上投影为那么出的面积A.例5.求球面面积公式；解：根据对称性，考虑半球的面积。解：解：取坐标系如图及柱面方程解：解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为Hwp1991(3,5,7〕.三.物体的质量解：先求该物体的体密度由题意且Hwp1992,3(2).Apr.23Mon.Review重积分应用1.几何应用：2.物理应用：2.物理应用：四.物体的质心，质量元素为当薄片是均匀的，质心称为形心.解：解：以球心为原点，以物体的对称轴为z轴，建立坐标系，形状对称，故质心在z轴上，即

.xoy12例.求位于圆r=2sin

和圆r=4sin

之间的均匀薄片的重心

Hwp1994(2),7(2),8(2).五.

物体的转动惯量对原点的转动惯量为：对坐标面的距离平方解：解：解：设体密度为=k，那么解：六.

物体对质点的引力将

任意

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