现代控制理论基础课件

第1章控制系統的狀態空間運算式1.1狀態空間運算式1.1.1狀態、狀態變數和狀態空間狀態——動態系統的狀態是一個可以確定該系統行為的資訊集合。這些資訊對於確定系統未來的行為是充分且必要的。狀態變數——確定系統狀態的最小一組變數，如果知道這些變數在任意初始時刻的值以及的系統輸入，便能夠完整地確定系統在任意時刻的狀態。（狀態變數的選擇可以不同）≥狀態空間——以所選擇的一組狀態變數為坐標軸而構成的正交線性空間，稱為狀態空間。例：如下圖所示電路，為輸入量，為輸出量。建立方程：初始條件：

和可以表徵該電路系統的行為，就是該系統的一組狀態變數1.1.2狀態空間運算式前面電路的微分方程組可以改寫如下，並且寫成矩陣形式：該方程描述了電路的狀態變數和輸入量之間的關係，稱為該電路的狀態方程，這是一個矩陣微分方程。如果將電容上的電壓作為電路的輸出量，則該方程是聯繫輸出量和狀態變數關係的方程，稱為該電路的輸出方程或觀測方程。這是一個矩陣代數方程。系統的狀態方程和輸出方程一起，稱為系統狀態空間運算式，或稱為系統動態方程，或稱系統方程。設：則可以寫成狀態空間運算式：推廣到一般形式：如果矩陣A,B,C,D中的所有元素都是實常數時，則稱這樣的系統為線性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系統。如果這些元素中有些是時間t的函數，則稱系統為線性時變系統。嚴格地說，一切物理系統都是非線性的。可以用下麵的狀態方程和輸出方程表示。如果不顯含t，則稱為非線性定常系統。1.1.3狀態變數的選取（1）狀態變數的選取可以視問題的性質和輸入特性而定（2）狀態變數選取的非惟一性（3）系統狀態變數的數目是唯一的在前面的例子中，如果重新選擇狀態變數則其狀態方程為輸出方程為：1.1.4狀態空間運算式建立的舉例例1-1

建立右圖所示機械系統的狀態空間運算式（注：品質塊m

的重量已經和彈簧k

的初始拉伸相抵消）根據牛頓第二定律即：選擇狀態變數則：機械系統的系統方程為該系統的狀態圖如下例1-2

建立電樞控制直流他勵電動機的狀態空間運算式電樞回路的電壓方程為系統運動方程式為（式中，為電動勢常數；為轉矩常數；為折合到電動機軸上的轉動慣量；為折合到電動機軸上的粘性摩擦係數。）可選擇電樞電流和角速度為狀態變數，電動機的電樞電壓為輸入量，角速度為輸出量。狀態空間運算式狀態圖如下：例1-3

建立單極倒立擺系統的狀態空間運算式。單級倒立擺系統是許多重要的宇宙空間應用的一個簡單模型。在水準方向，應用牛頓第二定律：在垂直於擺杆方向，應用牛頓第二定律：而有：線性化：當和較小時，有化簡後，得求解得：選擇狀態變數，，，為系統輸入，為系統輸出狀態圖為1.2由微分方程求狀態空間運算式一個系統，用線性定常微分方程描述其輸入和輸出的關係。通過選擇合適的狀態變數，就可以得到狀態空間運算式。這裏分兩種情況：1、微分方程中不含輸入信號導數項，（即1.4.1中的內容）2、微分方程中含有輸入信號導數項，（即1.4.2中的內容）1.2.1微分方程中不含有輸入信號導數項首先考察三階系統，其微分方程為選取狀態變數則有寫成矩陣形式狀態圖如下：一般情況下，n

階微分方程為：選擇狀態變數如下：┆寫成矩陣形式：系統的狀態圖如下：1.2.2微分方程中含有輸入信號導數項首先考察三階系統，其微分方程為（一）待定係數法選擇狀態變數：其中，待定係數為：於是寫成矩陣形式系統的狀態圖一般情況下，n

階微分方程為：選擇

n

個狀態變數為系統方程為系統狀態圖如下（二）輔助變數法設

n

階微分方程為：Laplace變換，求傳遞函數引入輔助變數z返回到微分方程形式：以及選擇狀態變數如下：┆寫成矩陣形式注：如果輸入項的導數階次和輸出項導數階次相同，則有d。例1-4

已知描述系統的微分方程為試求系統的狀態空間運算式。解

（1）待定係數法選擇狀態變數如下其中於是系統的狀態空間運算式為（2）輔助變數法引入輔助變數z選擇狀態變數於是系統的狀態空間運算式為1.3傳遞函數矩陣傳遞函數——系統初始鬆弛（即：初始條件為零）時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。1.3.1傳遞函數單入-單出線性定常系統的狀態空間運算式為在初始鬆弛時，求Laplace變換，並且化簡狀態變數對輸入量的傳遞函數輸出量對輸入量的傳遞函數（即：傳遞函數）例1-5

系統狀態方程式為求系統傳遞函數。解：1.3.2傳遞函數矩陣狀態空間運算式為進行拉普拉斯變換如果存在，則如果，則狀態變數對輸入向量的傳遞函數矩陣：而輸出量對輸入向量的傳遞函數矩陣：其結構為式中，表示只有第j

個輸入作用時，第i

個輸出量對第j

個輸入量的傳遞函數。例1-7

線性定常系統狀態空間運算式為求系統的傳遞函數矩陣。解1.3.3正則（嚴格正則）有理傳遞函數（矩陣）如果當時，是有限常量，則稱有理函數是正則的。若，則稱是嚴格正則的。非正則傳遞函數描述的系統在實際的控制工程中是不能應用的，因為這時系統對高頻雜訊將會大幅度放大。例如微分器為非正則系統，假如輸入信號帶有高頻污染經過微分器輸出可見，在微分器輸入端，雜訊的幅值只是有效信號幅值的百分之一，輸出端雜訊的幅值卻是有效信號幅值的10倍，信噪比變得很小。1.3.4閉環系統傳遞函數矩陣於是閉環系統的傳遞矩陣為或1.3.5傳遞函數（矩陣）描述和狀態空間描述的比較1）傳遞函數是系統在初始鬆弛的假定下輸入-輸出間的關係描述，非初始鬆弛系統，不能應用這種描述；狀態空間運算式即可以描述初始鬆弛系統，也可以描述非初始鬆弛系統。2）傳遞函數僅適用於線性定常系統；而狀態空間運算式可以在定常系統中應用，也可以在時變系統中應用。3）對於數學模型不明的線性定常系統，難以建立狀態空間運算式；用實驗法獲得頻率特性，進而可以獲得傳遞函數。4）傳遞函數僅適用於單入單出系統；狀態空間運算式可用於多入多出系統的描述。5）傳遞函數只能給出系統的輸出資訊；而狀態空間運算式不僅給出輸出資訊，還能夠提供系統內部狀態資訊。

綜上所示，傳遞函數（矩陣）和狀態空間運算式這兩種描述各有所長，在系統分析和設計中都得到廣泛應用。1.4離散系統的數學描述1.4.1狀態空間運算式首先，考察三階差分方程1.差分方程中不含有輸入量差分項選取狀態變數寫成矩陣形式可以表示為其中輸出方程或者其中推廣到n階線性定常差分方程所描述的系統選取狀態變數，，……

，系統狀態方程輸出方程2.差分方程中含有輸入量差分項先考察3階線性定常差分方程選擇狀態變數待定係數為：系統狀態方程為即：輸出方程為即：多輸入-多輸出線性時變離散系統狀態空間運算式當、、和的諸元素與時刻

無關時，即得線性定常離散系統狀態空間運算式1.4.2脈衝傳遞函數（矩陣）對線性定常離散系統狀態空間運算式進行z變換如果存在，則如果初始鬆弛，則其中，為系統狀態對輸入量的脈衝傳遞函數矩陣系統輸出向量對輸入向量的脈衝傳遞函數矩陣例1-9

已知線性定常離散系統方程為求其脈衝傳遞函數矩陣解對於SISO線性定常離散系統系統脈衝傳遞函數為1.5線性變換

我們知道，狀態變數的選取是非唯一的。選擇不同的狀態變數，則得到的狀態空間運算式也不相同。由於它們都是同一個系統的狀態空間描述，它們之間必然存在某種關係。這個關係就是矩陣中的線性變換關係。1.5.1等價系統方程1.線性定常系統（1）

為n維狀態向量；為r維輸入向量；為m維輸出向量；、、、為相應維數的矩陣。引入非奇異變換矩陣P或者代入方程（1）其中於是，系統狀態方程變為（2）方程（1）與方程（2）互為等價方程2.線性時變系統（3）引入變換矩陣或者對上式求導並代入可以得到又由可以得到（4）方程（3）與方程（4）互為等價方程1.5.2線性變換的基本性質1.線性變換不改變系統的特徵值線性定常系統系統的特徵方程為等價系統的特徵方程為可見線性變換不改變系統的特徵值2.線性變換不改變系統的傳遞函數矩陣時的傳遞函數矩陣可見，經過線性變換，系統的傳遞函數矩陣不改變1.5.3化係數矩陣A為標準形所謂標準形是指：對角形、約當形、模態形設是矩陣A

的特徵值，如果存在一個n

維非零向量使或成立，則稱為A的對應於特徵值的特徵向量而1.化矩陣A

為對角陣若n個特徵值互異，則令例1-10

將矩陣化為對角陣解解出變換矩陣如果矩陣

A

具有這樣形式範德蒙特矩陣變換矩陣2.化矩陣A

為約當形如果矩陣A

有重特徵值，並且獨立特徵向量的個數小於n,這時不能化為對角陣，只能化為約當形。確定變換矩陣可以得到：變換矩陣為例1-12

化矩陣為標準形矩陣解得出求二重特徵根對應的特徵向量得到而由得到求特徵值對應的特徵向量得到因此設特徵值為當特徵值為共軛複數時，可以將矩陣化為模態陣3.化矩陣A

為模態陣在此情況下，A

的模態形為設為對應於的特徵向量，則令則變換矩陣例1-13

將化為模態形解特徵值為解得因此1.6組合系統的數學描述

工程中較為複雜的系統，通常是由若干個子系統按某種方式連接而成的。這樣的系統稱為組合系統。組合系統形式很多，在大多數情況下，它們由並聯、串聯和回饋等3種連接方式構成的。下麵以兩個子系統和構成的組合系統進行介紹。的系統方程為傳遞函數矩陣為的系統方程為傳遞函數矩陣為1.6.1並聯連接系統方程傳遞函數矩陣1.6.2串聯連接串連組合後系統方程傳遞函數矩陣所以1.6.3回饋連接組合後系統方程為傳遞函數矩陣為或（1-125）（1-126）

應當指出，在回饋連接的組合系統中，或存在的條件是至關重要的。否則回饋系統對於某些輸入就沒有一個滿足式（1-125）或式（1-126）的輸出。就這個意義來說，回饋連接就變得無意義了。1.7利用MATLAB進行模型轉換1.7.1傳遞函數與狀態空間運算式之間的轉換1.連續系統狀態空間運算式MATLAB是當今世界上最優秀的科技應用軟體之一，它以強大的科學計算能力和可視化功能，簡單易用的編程語言以及開放式的編程環境等一些顯著的優點，使得它在當今許許多多科學技術領域中成為電腦輔助分析和設計、演算法研究和應用開發的基本工具和首選平臺。在本書中，用它作為系統分析和設計的軟體平臺，更顯示出獨特的優勢。本節利用MATLAB實現數學模型的轉換。

可以用ss命令來建立狀態空間模型。對於連續系統，其格式為sys=ss(A,B,C,D)，其中A，B，C，D為描述線性連續系統的矩陣。當sys1是一個用傳遞函數表示的線性定常系統時，可以用命令sys=ss(sys1)，將其轉換成為狀態空間形式。也可以用命令sys=ss(sys1,’min’)計算出系統sys的最小實現。例1-15

控制系統微分方程為求其狀態空間運算式。解可以先將其轉換成傳遞函數輸入下列命令語句執行結果為這個結果表示，該系統的狀態空間運算式為注意，在輸入命令中，sys=ss(G)也可以改用[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和sys=ss(G)近似，也可以計算出矩陣A、B、C、D。2.離散系統的狀態空間運算式離散系統的狀態空間運算式為

和連續系統狀態空間運算式的輸入方法相類似，如果要輸入離散系統的狀態空間運算式，首先需要輸入矩陣G、H、C、d，然後輸入語句，即可將其輸入到MATLAB的workspace中，並且用變數名來表示這個離散系統，其中T為採樣時間。如果Gyu表示一個以脈衝傳遞函數描述的離散系統，也可以用ss(Gyu)命令，將脈衝傳遞函數模型轉換成狀態空間運算式。例1-16

假設某離散系統的脈衝傳遞函數為採樣週期為，將其輸入到MATLAB的workspace中，並且繪製零、極點分佈圖。並且將該離散系統脈衝傳遞函數模型轉換成狀態空間運算式。

解輸入下列語句語句執行的結果為再輸入語句，繪製出零、極點分佈圖如下在執行完上述語句後，Gyu已經存在於MATLAB的workspace中，這時再執行語句執行結果為結果表示，離散系統的狀態空間運算式為1.7.2求傳遞函數矩陣

在已知線性定常系統中的A、B、C和D矩陣之後，則該系統的傳遞函數矩陣可以按下式求出例1-17

已知系統狀態方程為輸入以下語句解

其中inv()函數是求矩陣的逆矩陣，而simple()函數是對符號運算結果進行簡化。執行結果如下這表示1.7.3.線性變換1.化為對角矩陣函數eig()可以計算出矩陣A的特徵值以及將A陣轉換成對角陣的線性變換矩陣。其語句格式為[Q,D]=eig(A)，則D為對角陣並且對角線上各元素為矩陣A的特徵值，滿足，因為即：。例1-18

線性控制系統的狀態方程為

試作線性變換,要求變換後系統矩陣A為對角陣。解先求出系統矩陣的特徵值，Q陣可以選擇為由特徵值構成的範德蒙特矩陣。輸入語句可以求出A陣的特徵值為－1、－2和－3。因此輸入以下語句執行結果如下

由以上計算數據可得系統經過線性變換後的方程為也可以輸入語句運行結果為再計算線性變換矩陣P，並且驗證結果如下可見，兩種線性變換雖然不同，卻都可以將A陣轉換為對角陣2.化為約當矩陣

在MATLAB中用函數命令jordan()來求矩陣的約當標準形。其命令格式為：[Q,J]=jordan(A)。輸入參量A是係數矩陣，輸出參量J是矩陣A的約當標準形矩陣，而就是線性變換矩陣，滿足。例1-19

將化為標準形矩陣。解首先輸入語句運行結果為可見，不滿秩，即矩陣A的特徵值中有重特徵值,並且A的獨立特徵向量的個數小於n。因此輸入語句語句執行結果為計算結果表明，矩陣A的約當陣為。我們驗證如下執行結果為所計算出的結果表明，滿足第2章線性控制系統的運動分析

本章是通過求解系統方程的解來研究系統性能的。由於系統的狀態方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數方程。因此，只要求出狀態方程的解，就很容易得到系統的輸出，進而研究系統的性能。本章內容為1線性定常系統齊次狀態方程的解2狀態轉移矩陣3線性定常系統非齊次狀態方程的解4線性時變系統的運動分析5線性系統的脈衝回應矩陣8用MATLAB求解系統方程6線性連續系統方程的離散化7線性離散系統的運動分析2.1線性定常系統齊次狀態方程的解線性定常系統齊次狀態方程為（1）（2）先考察標量齊次微分方程的冪級數解法假設其解為一冪級數（3）將（3）式代入（2）式這時系統的輸入為零等式兩邊t

的同次冪的係數相等，因此有而因為則解為（4）模仿標量齊次微分方程的解法，假設線性定常系統齊次狀態方程（1）的解為（5）將（5）式代入（1）式等式兩邊t

同次冪的係數相等，因此有而記作則線性定常系統齊次狀態方程（1）的解為（6）則（7）如果則（8）將（8）式代入（1）式驗證和矩陣指數函數又稱為狀態轉移矩陣，記作由於系統沒有輸入向量，是由初始狀態激勵的。因此，這時的運動稱為自由運動。的形態由決定，即是由矩陣A

惟一決定的。2.2狀態轉移矩陣線性定常系統齊次狀態方程的解為或其幾何意義是：系統從初始狀態開始，隨著時間的推移，由轉移到，再由轉移到，……。的形態完全由決定。2.2.1狀態轉移矩陣的基本性質1）即2）即3）可逆性即4）傳遞性即5）當且僅當時，有如果時，則2.2.2狀態轉移矩陣的求法方法1

根據定義，計算方法2

應用拉普拉斯變換法，計算對上式求拉普拉斯變換，得如果為非奇異（9）LL（10）由微分方程解的唯一性L例2-2

線性定常系統的齊次狀態方程為求其狀態轉移矩陣解於是L方法3

應用凱萊-哈密頓定理，計算凱萊-哈密頓定理：矩陣A

滿足自身的特徵方程。即根據凱萊-哈密頓定理（11）例用凱萊-哈密頓定理計算解由凱-哈定理：所以（11）式表明：是、、、、的線性組合（12）將（11）式代入（12）式，不斷地進行下去，可以看出：

、、、都是、、、、的線性組合（13）其中，，為待定係數。的計算方法為：1）A的特徵值互異應用凱-哈定理，和都滿足的特徵方程。因此，也可以滿足（13）式。（其中，）寫成矩陣形式（14）於是（15）例2-3

線性定常系統的齊次狀態方程為用凱-哈定理計算其狀態轉移矩陣解即2）A的特徵值相同，均為（16）3）A的特徵值有重特徵值，也有互異特徵值時，待定係數可以根據（16）式和（15）式求得。然後代入（13）式，求出狀態轉移矩陣求系統狀態轉移矩陣。例2-4

線性定常系統齊次狀態方程為解應用凱-哈定理計算A

的特徵值為於是狀態轉移矩陣方法4

通過線性變換，計算因為而因為對角陣的特殊性質，有：1）矩陣A

可以經過線性變換成為對角陣，計算因此，狀態轉移矩陣為例2-5

線性定常系統的齊次狀態方程為用線性變換方法，計算其狀態轉移矩陣解（17）2）矩陣A

可以經過線性變換成為約當形陣，計算狀態轉移矩陣為（18）3）矩陣A

可以經過線性變換成為模態形陣，計算如果矩陣A的特徵值為共軛複數經過線性變換，可轉換為模態矩陣M其中系統狀態轉移矩陣為（19）2.3線性定常系統非齊次狀態方程的解線性定常系統非齊次狀態方程為（20）改寫為（21）（21）式兩邊同乘得或寫成（22）對（22）式在0到t

時間段上積分，有（23）（24）（24）式兩邊同乘，並且移項（25）（26）（27）更一般情況，當（28）由式（25）或式（27）可知，系統的運動包括兩個部分。一部分是輸入向量為零時，初始狀態引起的，即相當於自由運動。第二部分是初始狀態為零時，輸入向量引起的，稱為強迫運動。正是由於第二部分的存在，為系統提供這樣的可能性，即通過選擇適當的輸入向量，使的形態滿足期望的要求。例2-8

線性定常系統的狀態方程為解在例2-2中已經求得由（26）式系統的輸出方程為則或（29）可見，系統的輸出由三部分組成。當系統狀態轉移矩陣求出後，不同輸入狀態向量作用下的系統輸出即可以求出，進而就可以分析系統的性能了。2.4線性時變系統的運動分析（30）線性時變系統方程為2.4.1齊次狀態方程的解（31）初始狀態為其中，是狀態轉移矩陣，並且滿足以下方程（33）滿足初始條件（34）根據我們對線性定常齊次系統解的知識，可以假設線性時變齊次系統的解應該具有以下形式，然後加以證明（32）證明（30）式兩邊對t

求導並且時即2.4.2狀態轉移矩陣的基本性質1）滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即2）可逆性3）傳遞性4）2.4.3狀態轉移矩陣的計算用級數近似法計算計算系統狀態轉移矩陣例2-9

線性時變系統齊次狀態方程為（35）解將代入（35）式其中2.4.4線性時變系統非線性齊次狀態方程的解（38）（39）其解為證明[將（39）式代入狀態方程（38）式，等式成立]（40）或2.4.5系統的輸出（41）（42）或2.5線性系統的脈衝回應矩陣2.5.1線性時變系統的脈衝回應矩陣假設系統初始條件為零，輸入為單位脈衝函數，即其中，τ為加入單位脈衝的時刻。而第i個分量

就表示在時刻，僅在第i個輸入端施加一個單位脈衝。系統的輸出為：≜（43）

為m維向量，它表示系統輸出對輸入的第i個元素在τ時刻加入單位脈衝時的回應。將，按次序排列，則（44）線性時變系統脈衝回應矩陣≥（45）2.5.2線性定常系統的脈衝回應矩陣≥脈衝回應矩陣為（46）如果單位脈衝出現在τ=0

的時刻，則脈衝回應矩陣為≥（47）2.5.3傳遞函數矩陣與脈衝回應矩陣之間的關係對（47）式求拉普拉斯變換L而（48）上式可改寫成（49）如果存在，則（50）將（50）式代入（48），得到（51）（52）當D=0時

可見，線性定常系統在初始鬆弛情況下脈衝回應矩陣的拉普拉斯變換就是系統傳遞函數矩陣。2.5.4利用脈衝回應矩陣計算系統的輸出如果輸入向量表示為（53）將（53）式代入（28）式（54）當系統初始狀態為零時（55）2.6線性連續系統方程的離散化作以下假定：1）被控對象上有採樣開關；2）採樣週期為T，滿足香農採樣定理要求，包含連續信號全部資訊；3）具有零階保持器。2.6.1線性時變系統（56）初始狀態為狀態方程的解為（57）令，，則（58）（59）再令，，則將（59）式兩邊都左乘（60）（58）減（60）並且整理後，得到令：考慮到於是省略T，得到（61）輸出方程離散化，令，即可以得到（62）2.6.2線性定常系統（63）離散化後得到（64）其中2.7線性離散系統的運動分析2.7.1線性定常離散系統齊次狀態方程的解系統的齊次狀態方程為：其中，x(k)為n維狀態向量採用迭代法可以求出系統齊次狀態方程的解（65）其中（66）系統的輸出為（67）2.7.2狀態轉移矩陣若系統初始狀態為，通過將其轉移到狀態，故稱為狀態轉移矩陣。1.的基本性質1）滿足自身的矩陣差分方程及初始條件2）傳遞性3）可逆性2.狀態轉移矩陣的計算有4種狀態轉移矩陣的計算方法：①按定義計算；②用z反變換計算；③應用凱-哈定理計算；④通過線性變換計算。在此，我們僅討論用z反變換計算。離散系統的齊次狀態方程為：對上式進行z變換Z可見Z（68）例2-13

離散系統齊次狀態方程為求狀態轉移矩陣解Z2.7.3線性定常離散系統方程的解（69）系統方程為可以用迭代法求系統狀態方程的解系統方程的解為（70）系統的輸出為（71）2.7.3線性時變離散系統方程的解系統方程為（72）若系統的解存在且唯一，則解為（73）（用迭代法可以證明）系統的輸出為（74）2.8用MATLAB求解系統方程2.8.1線性齊次狀態方程的解

使用MATLAB可以方便地求出狀態方程的解。我們通過例子來說明。例2-16

已知線性系統齊次狀態方程為初始條件求系統狀態方程的解。解用以下MATLAB程式計算齊次狀態方程的解，其中collect()函數的作用是合併同類項，而ilaplace()函數的作用是求取拉普拉斯逆變換，函數det()的作用是求方陣的行列式。程式執行結果這表示2.8.2線性非齊次狀態方程的解通過以下例子說明。例2-17

已知系統狀態方程為解

用以下MATLAB程式求系統方程的解。其中，語句phi=subs(phi0,’t’,(t-tao))表示將符號變數phi0中的引數t用(t-tao)代換就構成了符號變數phi，而語句x2=int(F,tao,0,t)表示符號變數F對tao在0到t的積分區間上求積分，運算結果返回到x2。程式執行結果為這表示2.8.3連續系統狀態方程的離散化在MATLAB中，函數c2d（）的功能就是將連續時間的系統模型轉換成離散時間的系統模型。其調用格式為：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，輸入參量sysc為連續時間的系統模型；T為採樣週期（秒）；method用來指定離散化採用的方法。‘zoh’——採用零階保持器；‘foh’——採用一階保持器；‘tustin’——採用雙線性逼近方法；‘prewarm’——採用改進的tustin方法；‘matched’——採用SISO系統的零極點匹配方法；當method為缺省時（即：調用格式為sysd=c2d(sysc,T)時），默認的方法是採用零階保持器。例2-18

某線性連續系統的狀態方程為其中採用零階保持器將其離散化，設採樣週期為0.1秒。求離散化的狀態方程模型。解輸入以下語句，其中D=zeros(2)表示，將D賦值為2×2維的全零矩陣。語句執行的結果為計算結果表示系統離散化後的狀態方程為第3章控制系統的能控性和能觀測性

在多變量控制系統中，能控性和能觀測性是兩個反映控制系統構造的基本特性，是現代控制理論中最重要的基本概念。本章的內容為：1.引言——能控性、能觀測性的基本概念2.能控性及其判據3.能觀測性及其判據4.離散系統的能控性和能觀測性5.對偶原理6.能控標準形和能觀測標準形7.能控性、能觀測性與傳遞函數的關係8.系統的結構分解9.實現問題10.使用MATLAB判斷系統的能控性和能觀測性3.1引言

首先，通過例子介紹能控性、能觀測性的基本概念。例3-1

電路如下圖所示。如果選取電容兩端的電壓為狀態變數，即：。電橋平衡時，不論輸入電壓如何改變，不隨著的變化而改變，或者說狀態變數不受的控制。即：該電路的狀態是不能控的。

顯然，當電橋不平衡時，該電路的狀態是能控的。例3-2

電路如下圖所示，如果選擇電容C1、C2兩端的電壓為狀態變數，即：，，電路的輸出為C2上的電壓，即，則電路的系統方程為如果初始狀態為系統狀態轉移矩陣為系統狀態方程的解為可見，不論加入什麼樣的輸入信號，總是有一般情況下，系統方程可以表示為（1）狀態能控與否，不僅取決於B

陣（直接關係），還取決於A

陣（間接關係）。系統狀態轉移矩陣為

系統能觀測問題是研究測量輸出變數y去確定狀態變數的問題。例3-3

電路如下圖所示。選取為輸入量，為輸出量，兩個電感上的電流分別作為狀態變數，則系統方程為系統狀態方程的解為為了簡便起見，令則從上式可知，不論初始狀態為什麼數值，輸出僅僅取決於其差值。當，則輸出恒等於零。顯然，無法通過對輸出的觀測去確定初始狀態，稱這樣的系統是不能觀測的。對於不能觀測的系統，其不能觀測的狀態分量與y既無直接關係，又無間接關係。狀態是否能觀測不僅取決於C，還與A

有關。一般情況下，系統方程如式（1）所示，狀態能觀測與否，不僅取決於C

陣（直接關係），還取決於A陣（間接關係）。3.2能控性及其判據3.2.1線性定常系統的能控性及其判據1.能控性定義線性定常系統的狀態方程為（2）給定系統一個初始狀態，如果在的有限時間區間內，存在容許控制，使，則稱系統狀態在時刻是能控的；如果系統對任意一個初始狀態都能控，則稱系統是狀態完全能控的。說明：1）初始狀態是狀態空間中的任意非零有限點，控制的目標是狀態空間的座標原點。（如果控制目標不是座標原點，可以通過座標平移，使其在新的坐標系下是座標原點。）2）如果在有限時間區間內，存在容許控制，使系統從狀態空間座標原點推向預先指定的狀態，則稱系統是狀態能達的；由於連續系統的狀態轉移矩陣是非奇異的，因此系統的能控性和能達性是等價的。3）只有整個狀態空間中所有的有限點都是能控的，系統才是能控的。4）滿足（3）式的初始狀態，必是能控狀態。（3）5）當系統中存在不依賴於的確定性干擾時，不會改變系統的能控性。（4）2.能控性判據定理3-1

（2）式的線性定常系統為狀態能控的充分必要條件是下麵的n×n維格拉姆矩陣滿秩（5）（證明參見教材84頁）（這個定理為能控性的一般判據。但是，由於要計算狀態轉移矩陣，比較繁瑣。實際上，常用下麵介紹的判據。）定理3-2

（2）式的線性定常系統為狀態能控的充分必要條件是下麵的n×nr維能控性矩陣滿秩。（6）（7）證明應用凱-哈定理，有上式代入（3）式（8）於是（9）如果系統能控，必能夠從（9）式中解得，，…

，。這樣就要求（本判據本身很簡單，因此是最為常用的方法。）定理3-3

（PBH判別法）（2）式的線性定常系統為狀態能控的充分必要條件是，對A

的所有特徵值，都有（10）（證明略）（可以應用定理3-2證明，詳見教材87頁）（11）定理3-4

（2）式的線性定常系統的矩陣A的特徵值互異，將系統經過非奇異線性變換變換成對角陣則系統能控的充分必要條件是矩陣中不包含元素全為零的行。例3-6

有如下兩個線性定常系統，判斷其能控性。（1）（2）解根據定理3-4，系統（1）不能控；系統（2）能控。且，，定理3-5（2）式的線性定常系統的矩陣A具有重特徵值，、、、…、分別為重、重、重、…、重。經過非奇異線性變換，得到約當陣則系統能控的充分必要條件是矩陣中與每一個約當子塊最下麵一行對應行的元素不全為零。（12）例3-7

有如下兩個線性定常系統，判斷其能控性。（1）（2）解根據定理3-5，系統（1）能控；系統（2）不能控

（定理（3-4）、定理（3-5）不僅可以判斷系統能控性，而且對於不能控的系統，可以知道哪個狀態分量不能控。）說明：1.上面通過幾個定理給出判斷系統能控性的判據。雖然它們的表達形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統能控性時是等價的。

2.線上性連續定常系統中，由於能達性和能控性是等價的，因此，能控性判據同樣可以判斷能達性。3.2.2線性時變系統的能控性判據（13）線性時變系統的狀態方程為定理3-6

狀態在時刻能控的充分必要條件是存在一個有限時間，使得函數矩陣的n個行在上線性無關。（證明略）定理3-7

狀態在時刻能控的充分必要條件是存在一個有限時間，使得以下格拉姆矩陣非奇異。（14）（15）定義：（16）當…定理3-8

如果線性時變系統的和的元是(n－1)階連續可微的。如果存在一個有限的，使得（17）則系統在是能控的。例3-8

線性事變系統方程為，初始時刻，試判別系統的能控性。解而所以，能控。3.3能觀測性判據3.3.1線性定常系統能觀測性及其判據1.能觀測性定義（18）線性定常系統方程為如果在有限時間區間（）內，通過觀測，能夠惟一地確定系統的初始狀態，稱系統狀態在是能觀測的。如果對任意的初始狀態都能觀測，則稱系統是狀態完全能觀測的。說明：1）已知系統在有限時間區間內的輸出，觀測的目標是為了確定。2）如果根據內的輸出能夠惟一地確定任意指定狀態，則稱系統是可檢測的。連續系統的能觀測性和能檢測性等價。3）狀態空間中所有有限點都是能觀測的，則系統才是能觀測的。4）系統的輸入以及確定性的干擾信號均不改變系統的能觀測性。2.能觀測性定理3-9

（18）式所描述的系統為能觀測的充分必要條件是以下格拉姆能觀性矩陣滿秩，即（19）（20）其中（證明見教材92頁）（這個定理為能觀測性的一般判據。但是，由於要計算狀態轉移矩陣，比較繁瑣。實際上，常用下麵介紹的判據。）定理3-10

（18）式所描述的系統為能觀測的充分必要條件是以下能觀性矩陣滿秩，即（21）（22）證明設，系統的齊次狀態方程的解為（23）應用凱-哈定理，有則或者寫成由於是已知函數，因此，根據有限時間內的能夠唯一地確定初始狀態的充分必要條件為滿秩。定理3-11（PBH判別法）系統（18）為能觀測的充分必要的條件是：對於A

的每一個特徵值，以下矩陣的秩均為n（24）例3-9

系統方程如下，試判斷系統的能控性解不滿秩，故系統不能觀測。（由於以上判據很簡單，因此最為常用）定理3-12

如果（18）式描述的系統的A

陣特徵值互異，經過非奇異線性變換成為對角陣，則系統為能觀測的充分必要條件是矩陣中不包含元素全為零的列。例3-10有如下兩個線性定常系統，判斷它們的能觀測性。（1）（2）解根據定理3-12可以判斷，系統（1）是不能觀測的。系統（2）是能觀測的。且，，定理3-13

如果（18）式描述的系統的A

陣具有重特徵值，、、…、分別為重、重、…、重。經過非奇異線性變換，得到約當陣則系統能觀測的充分必要條件是矩陣中與每一個約當子塊第一列對應的列，其元素不全為零。例3-11

如下線性定常系統試判別系統的能觀測性。解應用定理3-13可知，系統能觀測。

（定理（3-12）、定理（3-13）不僅可以判斷系統能觀測性，而且對於不能觀測的系統，可以知道哪個狀態分量不能觀測。）說明：1.上面通過幾個定理給出判斷系統能觀測性的判據。雖然它們的表達形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統能觀測性時是等價的。

2.線上性連續定常系統中，由於能檢測性和能觀測性是等價的，因此，能觀測性判據同樣可以判斷能檢測性。3.3.2線性時變系統的能觀測性判據線性時變系統方程為（25）定理3-14

狀態在時刻能觀測的充分必要條件是存在一個有限時刻，使得函數矩陣的n個列在上線性無關。定理3-15

狀態在時刻能觀測的充分必要條件是存在一個有限時間，使得以下能觀性格拉姆矩陣非奇異。定義（26）（27）定理3-16

如果線性時變系統的和的元是(n－1)階連續可微的。如果存在一個有限的，使得（28）則系統在是能觀測的。3.4離散系統的能控性和能觀測性線性定常離散系統方程為（29）3.4.1能控性定義系統（29）的任一個初始狀態，存在，在有限時間區間內，存在容許控制序列，使得，則稱系統是狀態完全能控的。3.4.2能控性判據（證明見教材96頁）例3-12

線性定常離散系統狀態方程為判斷系統的能控性。（30）解所以系統能控。定理3-17

系統（29）能控的充分必要條件是能控性矩陣的秩為n，即3.4.3能觀測性定義對於（29）式所描述的系統，根據有限個採樣週期的，可以惟一地確定系統的任一初始狀態，則稱系統是狀態完全能觀測的。3.4.4能觀測性判據定理3-18

系統（29）能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣的秩為n，即（證明請參見教材97頁）例3-13

線性定常離散系統方程為試判斷系統的能觀測性。解因此，系統能觀測。3.4.5連續系統離散化後的能控性與能觀測性線性定常系統方程為（31）離散化後的系統方程為（32）其中T

是採樣週期定理3-19

如果線性定常系統（31）不能控（不能觀測），則離散化後的系統（32）必是不能控（不能觀測）。其逆定理一般不成立。定理3-20

如果線性離散化後系統（32）能控（能觀測），則離散化前的連續系統（31）必是能控（能觀測）。其逆定理一般不成立。定理3-21如果連續系統（31）能控（能觀測），A

的全部特徵值互異，，並且對的特徵值，如果與採樣週期的關係滿足條件（33）則離散化後的系統仍是能控（能觀測）的。3.5對偶原理線性定常系統方程為（34）構造一個系統（35）系統（34）和（35）互為對偶系統。（上面介紹了系統能控性和能觀測性。從概念上和形式上都很相似。它給人們一個啟示，即能控性和能觀測性之間存在某種內在的聯繫。這個聯繫就是系統的對偶原理）（式（35）的係數矩陣為，輸入矩陣為，輸出矩陣為）對偶系統具有兩個基本特徵1.對偶的兩個系統傳遞函數矩陣互為轉置2.對偶的兩個系統特徵值相同對偶原理：系統（34）的能控性等價於系統（35）的能觀測性；系統（34）的能觀測性等價於系統（35）的能控性。例3-15

線性定常系統如下，判斷其能觀測性。解以上系統的對偶系統為該對偶系統的能控性矩陣對偶系統能控，根據對偶原理，原系統能觀測。

有了對偶原理，一個系統的能控性問題可以通過它的對偶系統的能觀測性問題的解決而解決；而系統的能觀測性問題可以通過它的對偶系統的能控性問題的解決而解決。這在控制理論的研究上有重要意義。3.6能控標準形和能觀測標準形（36）3.6.1能控標準形線性定常系統設A的特徵多項式能控性矩陣定理3-22

系統（36）能控，通過線性變換可以將其變成如下形式的能控標準形。（37）推論：具有能控標準形的系統一定能控。（證明參見教材104頁）例3-16

已知能控的線性定常系統（1）能控性矩陣解系統能控（2）A

的特徵多項式（3）計算變換矩陣P（4）計算（5）能控標準形3.6.2能觀測標準形系統（36）的能觀測性矩陣為則系統能觀測（38）定理3-23

系統（36）能觀測，通過線性變換可以將其變成如下形式的能觀標準形。推論：具有能觀標準形的系統一定能觀。變換矩陣可取為（39）3.7能控性、能觀性與傳遞函數的關係考察SISO線性定常系統（40）其傳遞函數為（41）傳遞函數的分子、分母分別為可以看出，在沒有零極點對消的情況下，傳遞函數的特徵根和系統矩陣A

的特徵值相同。定理3-24SISO系統（40）能控又能觀的充分必要條件是不存在零、極點對消。例3-17

線性定常系統方程如下，求系統傳遞函數，並且判斷系統能控性與能觀性。解傳遞函數為能控性能觀性可見，系統傳遞函數有零、極點對消，能控但不能觀。應當指出，定理3-24對MIMO系統不適用。舉例說明如下。例3-19MIMO線性定常系統方程為傳遞函數矩陣能控性能觀性可見，傳遞函數矩陣雖然有零極點對消，但是系統既能控又能觀。這是因為極點(s-1)還剩一個，並未消失，只是降低系統重極點的重數。（42）MIMO線性定常系統定理3-25

若系統（42）的狀態向量和輸入向量之間的傳遞函數矩陣的各行線性無關，則系統能控。定理3-26

若系統（42）的輸出向量和狀態向量之間的傳遞函數矩陣的各列線性無關，則系統能觀。3.8系統的結構分解

一個不能控、不能觀測的系統，從結構上來說，必定包括能控、不能控以及能觀測、不能觀測的子系統。如何按照能控性或能觀測性進行分解呢？我們知道，線性變換不改變系統的能控性和能觀測性。因此，可採用線性變換方法將其分解。這裏必須解決3個問題：1、如何分解？2、分解後系統方程的形式為何？3、變換矩陣如何確定？下麵介紹結構分解問題。線性定常系統（43）3.8.1按能控性分解定理3-27

若系統（43）不能控，且狀態有個狀態分量能控，則存在線性變換，使其變換成下麵形式（44）並且維子系統為系統的傳遞函數矩陣（46）（45）

變換矩陣的確定方法：因為即矩陣中有n1個線性無關的列向量，再補充個列向量，從而構成非奇異的矩陣例3-20系統方程如下，要求按能控性進行結構分解。解系統不能控由於的秩為1。說明中線性獨立的列向量只有一列。選擇，再補充一個列向量，且與其線性無關，經過線性變換後3.8.2按能觀性分解定理3-28

若系統（43）不能觀，且狀態有個狀態分量能觀，則存在線性變換，使其變換成下麵形式（47）並且維子系統（48）系統傳遞函數為（49）能觀性矩陣中有個線性無關的行向量，在它們的基礎上，再補充個行向量，構成變換矩陣。例3-21

系統方程如下，要求按能觀性進行結構分解。解從中任選兩個行向量，例如，再補充一個與之線性無關的行向量。線性變換後}3.8.3同時按能控性和能觀性進行結構分解定理3-29

若系統（43）不能控，不能觀，且存在線性變換，使其變換成下麵形式系統傳遞函數矩陣（50）（51）3.9實現問題（52）如果給定一個傳遞函數，求得一個系統方程（53）或者注：當傳遞函數分子的階次小於分母的階次時，有（52）式形式；當傳遞函數分子的階次等於分母的階次時，有（53）式形式。在基於狀態空間方法分析和設計控制系統時，要知道系統的狀態空間運算式。然而在有的情況下，只知道系統的傳遞函數（矩陣），這時就要將給定的傳遞函數（矩陣）描述變成與之輸入輸出特性等價的狀態空間運算式描述。這個問題稱為系統實現問題。這裏只討論SISO系統的實現問題。3.9.1能控標準形實現系統傳遞函數為1.不含零點（54）即：進行拉普拉斯反變換選擇系統的狀態變數於是有，，，，寫成矩陣形式其中2.含零點

，，，，寫成矩陣形式其中3.9.2能觀標準形實現系統傳遞函數為如果令於是寫成矩陣形式3.9.3並聯形實現為簡單起見，以兩階系統傳遞函數為例，進行介紹。1）傳遞函數極點互異選取有則2）傳遞函數有重極點矩陣形式3.9.4串聯形實現設3.9.5最小實現在所有可能的實現中，維數最小的實現稱為最小實現。最小實現也不是惟一的。定理3-30系統方程（55）為傳遞函數的一個最小實現的充分必要條件是系統（55）能控且能觀測。3.10MATLAB的應用3.10.1判斷線性系統的能控性和能觀測性

用MATLAB可以很方便地求出線性控制系統的能控性矩陣和能觀測性矩陣，並且求出它們的秩。從而判斷系統的能控性和能觀測性。函數ctrb()和obsv()分別計算系統的能控性矩陣和能觀測性矩陣。格式為：Qc=ctrb(A,B),Qo=obsv(A,C)。例3-23

判斷下麵的線性系統是否能控？是否能觀測？其中解先分別計算系統的能控性矩陣和能觀測性矩陣。然後，再用rank()函數計算這兩個矩陣的秩。輸入以下語句這些語句的執行結果為

從計算結果可以看出，系統能控性矩陣和能觀測性矩陣的秩都是3，為滿秩，因此該系統是能控的，也是能觀測的。注：當系統的模型用sys=ss(A,B,C,D)輸入以後，也就是當系統模型用狀態空間的形式表示時，我們也可以用Qc=ctrb(sys)，Qo=obsv(sys)的形式求出該系統的能控性矩陣和能觀測性矩陣。3.10.2線性系統按能控性或者能觀測性分解在用MATLAB進行結構分解時，不能控（不能觀）的系統，其結構分解的系統方程形式與本章3.8節不同。當系統能控性矩陣的秩時，我們可以使用函數命令ctrbf()可以對線性系統進行能控性分解。其調用格式為。其中，T為相似變換矩陣。輸出為一個向量，sum(K)可以求出能控的狀態分量的個數。類似地，當系統能觀測性矩陣的秩時，我們可以使用函數命令obsvf()可以對線性系統進行能觀測性分解。其調用格式為。其中，T為相似變換矩陣。輸出為一個向量，sum(K)可以求出能觀測的狀態分量的個數。例3-24

系統方程為其中試按能控性進行結構分解。

解輸入下列語句語句執行結果為從輸出的向量可以看出有兩個狀態分量是能控的。可以驗證，輸入語句得到的結果為可見，A1=Abar，所得到的結果是正確的。3.10.3線性系統轉換成能控標準形和能觀標準形

下麵通過兩個例子來說明將系統變換成能控標準形和能觀標準形的方法。例3-25

系統方程為其中求線性變換，將其變換成能控標準形。解

1）判斷系統是否能控，並且求出A

陣的特徵多項式輸入下麵語句運行結果為表明系統為能控，因此可以變換成能控標準形。而且求出A

的特徵多項式為（即：，，）2）計算變換矩陣輸入以下語句計算結果為3）計算出能控標準形輸入以下語句計算結果為表明經過變換以後的系統方程為例3-26

系統方程為其中求線性變換，將其變換成能觀標準形。解

1）判斷系統是否為能觀測，並且求出A陣的特徵多項式輸入下麵語句運行結果為

表明系統為能觀測，因此可以變換成能觀標準形。而且求出的特徵多項式為（即：，，）2）計算變換矩陣輸入以下語句計算結果為3）計算出能觀標準形輸入以下語句計算結果為表明經過變換以後的系統方程為第4章控制系統穩定性

對於非線性、時變、多輸入多輸出控制系統穩定性問題的研究，經典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）的穩定性理論來分析和研究。A.M.Lyapunov於1892年出版專著《運動系統穩定性的一般問題》，使得Lyapunov穩定性理論已經成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。本章的主要內容為1.引言2.李亞普諾夫意義下穩定性的定義3.李亞普諾夫第二法5.線性定常離散系統的穩定性4.線性連續系統的穩定性6.有界輸入-有界輸出穩定7.非線性系統的穩定性分析4.1引言

李亞普諾夫將穩定性問題的研究歸納為兩種方法。第一種方法是求出線性化以後的常微分方程的解，從而分析原系統的穩定性。

第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統穩定性的資訊。

對於非線性、時變、多輸入多輸出系統來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。這種方法是基於一種廣義能量函數及其隨時間變化的特性來研究系統穩定性的。以下通過一個例子來說明。例4-1一個彈簧－品質－阻尼器系統，如下圖示。系統的運動由如下微分方程描述。令（1）選取狀態變數則系統的狀態方程為（2）在任意時刻，系統的總能量（3）顯然，當時，而當時而總能量隨時間的變化率為可見，只有在時，。在其他各處均有，這表明系統總能量是衰減的，因此系統是穩定的。Lyapunov第二法是研究系統平衡狀態穩定性的。平衡狀態——一般地，系統狀態方程為，其初始狀態為。系統的狀態軌線是隨時間而變化的。當且僅當（當t≥t0）則稱為系統平衡。

如果不在座標原點，可以通過非奇異線性變換，使，因此，平衡狀態的穩定性問題都可以歸結為原點的穩定性問題。4.2李亞普諾夫意義下穩定性的定義4.2.1穩定的定義則非線性時變系統（4）（6）（5）≤定義對於任意給定的實數，都對應存在實數，使滿足的任意初始狀態出發的軌線有≤ε

（對所有

t≥t0）成立，則稱為Lyapunov意義下是穩定的。——表示求歐幾裏德範數。（即：表示空間距離）Lyapunov意義下穩定漸進穩定漸進穩定4.2.2漸近穩定如果系統的平衡狀態是穩定的。從平衡狀態的某個充分小的領域內出發的狀態軌線，當時，收斂於，則稱為漸近穩定。更精密的敘述如下：如果系統的平衡狀態，對於，存在和，當時，從出發的，都有並且充分大時，就充分小。則稱為Lyapunov意義下漸近穩定。當與、無關時，則稱為一致漸近穩定。4.2.3大範圍漸進穩定如果是整個狀態空間中任一點，並且都有則為大範圍漸近穩定或稱為Lyapunov意義下全局漸近穩定。當穩定性與的選擇無關時，稱一致全局漸近穩定。不穩定4.2.4不穩定對於任意的實數，存在一個實數，不論取的多麼小，在滿足不等式的所有初始狀態中，至少存在一個初始狀態，由此出發的軌線，滿足稱為Lyapunov意義下不穩定4.3李亞普諾夫第二法定義如果標量函數，並且當時，；僅當時，；則稱為正定的。除了以外，還有狀態使，稱為半正定的。≥0定義如果標量函數，並且當時，；僅當時，；則稱為負定的。除了以外，還有狀態使，稱為半負定的。≤0（7）定理4-1

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，並且滿足：1）為正定；2）為負定。則為一致漸近穩定的。如果，，則是大範圍一致漸近穩定的。例4-2

系統的狀態方程如下，判別系統穩定性。解而將狀態方程代入上式，化簡後得選取Lyapunov函數，顯然是正定的，即滿足可見，是負定的，即滿足因此，是一致漸進穩定的。當，有，故系統是一致大範圍漸進穩定的。定理4-2

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，並且滿足：1）為正定；2）為半負定；3）除了平衡狀態外，還有的點，但是不會在整條狀態軌線上有則為一致漸近穩定的。如果，，則是大範圍一致漸近穩定的。（注：本定理是將定理4-1的條件稍微放寬了一點）例4-3

系統的狀態方程為其中，a

為大於零的實數。判別系統的穩定性。解系統的平衡狀態為選取Lyapunov函數：顯然它是正定的，即滿足而將狀態方程代入上式，化簡後得可見，當和任意的時，有，而和任意時，。又因為，只要變化就不為零，因此在整條狀態軌線上不會有。因此，是一致漸進穩定的。當，有，故系統是一致大範圍漸進穩定的。定理4-3

設系統狀態方程為在平衡狀態的某鄰域內，標量函數具有連續一階偏導數，並且滿足：1）為正定；2