新教材2023版高中数学第1章数列数列习题课学生用书湘教版选择性必修第一册

数列习题课新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列．所以求此类数列的前n项和，即先分别求和，然后再合并，形如：(1){an＋bn}，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；(2)an＝f要点二错位相减求和法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．要点三裂项相消求和法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．裂项相消求和经常用到下列拆项公式：(1)1nn+1＝(2)12n-1(3)1n+n+1题型探究·课堂解透——强化创新性题型1分组求和法例1已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为13(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.方法归纳分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤巩固训练1在等差数列{an}中，a2＋a7＝-23，(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.题型2错位相减求和法例2已知等比数列{an}满足：a1＝12，a1，a2，a3－18成等差数列，公比q∈(0，(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.方法归纳错位相减法的适用题目及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错位对齐，以便于作差，正确写出1－q，Sn的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．巩固训练2[2022·湖南平江一中高二期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝12，数列a(1)求an；(2)求Sn.题型3裂项相消求和法例3设数列{an}满足：an＋1＝1＋an，且a1＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn为an与an＋1的等比中项，求数列1bn2的前n项和方法归纳对于通项公式是分式的一类数列，在求和时常用“裂项法”．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1nn+k＝1k(2)若{an}为等差数列，公差为d，则1ana巩固训练3在等差数列{an}中，a1＝2，公差d＝2，Sn为前n项和，求1S1+1S易错辨析对错位相减法掌握不到位致误例4求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.解析：(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn+1(2)当x＝0时，Sn＝1，(3)当x≠1且x≠0时，Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①∴xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝1-xn1-x∴Sn＝1+n综上Sn＝n【易错警示】出错原因纠错心得(1)易忽略对x＝1的讨论；(2)对错位相减掌握不到位致误，往往得到：(1－x)Sn＝1-xn∴Sn＝1-(1)当等比数列为字母参数时，应对其公比是否为1进行讨论．(2)在应用错位相减法时，一定要错位对齐，并注意观察未合并项的正负号．数列习题课新知初探·课前预习[教材要点]要点三(1)1n-1n+1(2)题型探究·课堂解透例1解析：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋13+132＋…当n＝1时，a1＝1也适合上式，∴an＝32(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝321-1＝32n－341-13n＝3巩固训练1解析：(1)设等差数列{an}的公差是d.∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3，∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列．∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，∴bn＝3n－2＋qn－1.∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝n3n-12＋(1＋q＋q2＋…＋qn故当q＝1时，Sn＝n3n-12＋当q≠1时，Sn＝n3n例2解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝12因为a1，a2，a3－18成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－18，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝12或q＝32，又因为q∈(0，1)，所以所以an＝1212解析：(2)根据题意得bn＝nan＝n2Sn＝12+222+312Sn＝122+223作差得12Sn＝12+12Sn＝2－(n＋2)12巩固训练2解析：(1)∵a1＝a2＝12，a11∴数列ann是公比为∴ann＝12n，∴a(2)∵Sn＝121+22∴12Sn＝122+2两式相减得：12Sn＝12+122＝1－12n－n2n+1＝1∴Sn＝2－n+22例3解析：(1)由an＋1＝1＋an可得an＋1－an＝1，所以数列{an}是公差为1的等差数列，又a1＝3，所以an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.(2)因为bn为an与an＋1的等比中项，所以bn2＝an·an＋所