新教材2023版高中数学第1章数列1.3.2等比数列与指数函数学生用书湘教版选择性必修第一册

1．3.2等比数列与指数函数最新课程标准(1)体会等比数列与指数函数的关系．(2)通过指数函数理解等比数列的性质．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一等比数列与指数函数的关系如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝a1q·qn，其形式类似于指数型函数，所以{an}的单调性由a1和q共同决定具体情况如下：单调性公比q首项aq>10<q<1q＝1q<0a1>0________________常数数列摆动数列a1<0________________要点二等比数列的常用性质❷1．在等比数列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则________．(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，aman＝ak(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….2．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么{λan}(λ≠0)，{1an}批注❶一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．批注❷熟练运用性质解题，往往能起到事半功倍的效果．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)当q>1时，{an}为递增数列．()(2)当q＝1时，{an}为常数列．()(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．()(4)若{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()2．等比数列{an}的公比q＝－14，a1＝2，则数列{an}是(A.递增数列B．递减数列C.常数列D．摆动数列3．设{an}是等比数列，下列说法一定正确的是()A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列4．对于无穷常数列7，7，…，7…，下列说法正确的是()A.该数列既不是等差数列也不是等比数列B.该数列是等差数列但不是等比数列C.该数列是等比数列但不是等差数列D.该数列既是等差数列又是等比数列5．在各项均为正数的等比数列{an}中，a5＝3，则a1a9＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1等比数列的性质应用例1(1)[2022·福建宁德高二期中]已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2＝3，a7a8＝27，则a4a5＝()A．7B．8C．9D．10(2)(多选)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则()A．数列{2an＋an＋1}是等比数列B．数列{an＋1－an}是等比数列C．数列{anan＋1}是等比数列D．数列{log2|an|}是等比数列方法归纳有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用．巩固训练1(1)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝()A．52B．C．10D．15(2)若数列{an}是公比为2的正项等比数列，则{a2n-1·a2n}是A．公比为22的等比数列B．公比为2的等比数列C．公差为22的等差数列D．公差为2的等差数列题型2等比数列的单调性及其应用例2(1)在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定单调性(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项之积为Tn，且a2＝27，a3·a6·a9＝127，则当Tn最大时，n的值为(A．5或6B．6C．5D．4或5方法归纳借助指数函数的单调性，轻而易举地解决数列最大项的问题．在解决等比数列的有关问题时，应注意结合指数函数的有关性质．巩固训练2(1)设{an}是公比为q的等比数列，则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定单调性题型3等比数列的判断与证明例3已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N＋(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．方法归纳判断数列是等比数列的3种常用方法巩固训练3已知数列{an}与等比数列{bn}满足bn＝3an(n∈N＋)，试判断：{an1．3.2等比数列与指数函数新知初探·课前预习[教材要点]要点一递增数列递减数列递减数列递增数列要点二1．akal＝aman[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：∵q<0，a1>0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列．答案：D3．解析：根据题意，{an}是等比数列，依次分析选项：A．1＋9≠2×3，则(a3)2≠a1×a9，则a1，a3，a9不成等比数列，A错误；B．2＋6≠2×3，则(a3)2≠a2×a6，则a2，a3，a6不成等比数列，B错误；C．2＋8≠2×4，则(a4)2≠a2×a8，则a2，a4，a8不成等比数列，C错误；D．3＋9＝2×6，则(a6)2＝a3×a9，则a2，a3，a6成等比数列，D正确．答案：D4．解析：由题意可知，对于无穷常数列7，7，…，7…是以7为首项，0为公差的等差数列；同时也是以7为首项，1为公比的等比数列．答案：D5．解析：由题意a1a9＝a52答案：9题型探究·课堂解透例1解析：(1)由a1a7＝a42，a2a8＝a52，有a42a52＝a1a7(2)对于A，因为{an}是等比数列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，错误；对于B，an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝(－1)n·3·2n－1，符合函数y＝cqx的形式，可以用定义进一步验证，故{an＋1－an}是等比数列，正确；对于C，anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝-22n-1＝(－2)－1·(－2)2n＝－12·4n，符合函数y＝cqx的形式，可以用定义进一步验证数列{anan＋1}是等比数列，正确；对于D，log2|an|＝log22n－1答案：(1)C(2)BC巩固训练1解析：(1)因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝log⁡log3(a35)＝log3(95)(2)数列{an}是公比为2的正项等比数列，则anan-1＝2(n≥2)，设bn＝a2n-1·a2n，则bnbn-1＝a2n-1·a2na2n-3·a答案：(1)C(2)A例2解析：(1)如等比数列{(－1)n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列12n的公比为12，是递减数列；等比数列-(2)设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a3·a6·a9＝127，a3·a9＝(a6)2，所以a6＝13，又a2＝27，q4＝a6a2＝181，故q＝13，所以a1＝81，Tn＝a1nqnn-1答案：(1)D(2)D巩固训练2解析：(1)当等比数列{an}的首项a1<0而公比0<q<1时，{an}是递增数列；当{an}为递减数列，也可能是a1<0，公比q>1.故{an}为等比数列，q为公比，则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件．(2)由8a2－a5＝0，可知a5a2＝q3＝8，解得又a1>0，所以数列{an}为递增数列．答案：(1)D(2)A例3解析：(1)当n＝1时，S1＝13(a1－1)＝a1，解得：a1＝－1当n＝2时，S2＝13(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝1(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－得a