平方根 课件 2023-2024学年人教版数学七年级下册

人教版数学七年级下册平方根

第一课时第6章实数学习目标了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根；了解算术平方根的非负性；了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道的速度在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1

（单位：m/s）,

而小于第二宇宙速度v2

（单位：m/s）.

v1

，v2的大1 2小满足v2

=gR，v2

=

2gR

，其中g是物理中的一个常数（重力加速度），g ≈9.8

m/s2，R是地球半径，R ≈

6.4×106

m

，怎样求v1

，v2

呢？这就需要用到平方根的概念.问题：学校要举行庆国庆美术作品比赛，小东想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？分析：∵ ( )2

=25∴这个正方形画布的边长应取

dm.问题：学校要举行庆国庆美术作品比赛，小东想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？分析：∵ 52

=25∴这个正方形画布的边长应取

5 dm.a

2a小东还要准备一些面积如下的正方形画布，请你帮他把这些正方形的边长都算出来：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.正方形的面积191636425边长134625算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。正方形的面积191636425边长134625算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为： a读作：“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0，即 0=

0课堂练习一 判断以下说法是否正确？（1）5是25的算术平方根；（）（2）36的算术平方根是-6；（）（3）0的算术平方根是0；（）（4）0.01是0.1的算术平方根；（）（5）若一个数的算术平方根是 5

，则这个数是5.（）（6） 81的算术平方根是9.（）请按下暂停键，认真思考-6课堂练习一 判断以下说法是否正确？（1）5是25的算术平方根；（√）（2）36的算术平方根是

6

；（）（3）0的算术平方根是0；（）（4）0.01是0.1的算术平方根；（）（5）若一个数的算术平方根是 5

，则这个数是5.（）（6） 81的算术平方根是9.（）课堂练习一

判断以下说法是否正确？（1）5是25的算术平方根；-6）0.010.1的（ ）（ ）（ ）（2）36的算术平方根是

6

；（3）0的算术平方根是0；（4 0.1 是

0.01

算术平方根；若一个数的算术平方根是 5

，则这个数是5.81的算术平方根是9.（√

）（ ）（

√

）课堂练习一

判断以下说法是否正确？（1）5是25的算术平方根；-6）0.010.1的819.（2）36的算术平方根是

6

；（3）0的算术平方根是0；（4 0.1 是

0.01

算术平方根；（5）若一个数的算术平方根是 5

，则这个数是5.（√

）（ ）（

√

）（ ）（

√

）（ ）3（6） 9 的算术平方根是想一想：被开方数a可以是负数吗？想一想：算术平方根 a可以是负数吗？请按下暂停键，认真思考想一想：被开方数a可以是负数吗？答：不可以，因为任意一个数的平方都不可能是负数.

即a是一个非负数.想一想:算术平方根 a可以是负数吗？答：不可以，由算术平方根的定义可得正数x= a，即 a>

0，又 0=0，所以 a也是一个非负数。a具有双重非负性：（1）被开方数a是非负数；（2）非负数a的算术平方根是非负数.负数不存在算术平方根.课堂练习二

判断以下各式是否有意义，为什么？（1）− 3

；（2）−3

；（3）(−3)2

；（4）1102.请按下暂停键，认真思考课堂练习二

判断以下各式是否有意义，为什么？（1）− 3

；（2）−3

；（3）(−3)2

；（4）1102.有意义有意义无意义有意义例1 求下列各数的算术平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164请按下暂停键，认真思考例1 求下列各数的算术平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164解：（1）∵ 102=100，∴ 100的算术平方根为10，即 100

=10.例1 求下列各数的算术平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164∴ 49

的算术平方根是7，64 8即49=764 8例1 求下列各数的算术平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164（3）∵0.012=

0.0001，∴0.0001的算术平方根为0.01，即 0.0001

=0.01总结：求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有事半功倍的效果；112=121，122=144，132=169，142=196，152

=225，162=256，172=289，182=324，192=361，202

=400.在求a的算术平方根时，若a是有理数的平方，则a的算术平方根就不带根号；若a不是有理数的平方，则a的算术平方根就带有根号，如 13；被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.课堂练习三（1）求 22，(−3)2， 52，(−6)2， 72， 02的值，你有什么发现？请按下暂停键，认真思考课堂练习三（1）求 22，(−3)2， 52，(−6)2， 72， 02的值，你有什么发现？由此发现：对于任意数a，都有 a2=

|a|.解： 22=2， (−3)2

=

3， 52

=5，22=2， 52

=5， 72=7，(−3)2

=

3， (−6)2=

6，02

=0.(−6)2

=

6， 72=7， 02

=0.a

>

0， a2=

a.a

=

0， a2=

0.a<0，a2=−

a.课堂练习三2 2 2 2 2 2（2）求( 4)

，( 9)

，( 25)

，( 36)

，( 49)

，( 0)

的值，你有什么发现？请按下暂停键，认真思考课堂练习三2 2 2 2 2 2（2）求( 4) ，( 9) ，( 25) ，( 36) ，( 49) ，( 0) 的值，你有什么发现？2 2 2解：

( 4) =

4，( 9) =

9，( 25) =

25，2 2 2( 36) =

36，( 49) =

49，( 0) =0.由此发现：对于任意非负数a，都有( a)2=

a.平方根平方根概念算术平方根性质小结人教版数学七年级下册平方根

第二课时第6章实数学习目标了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系；会求非负数的平方根；了解平方根的性质，会利用性质解决具体问题.问题：学校要举行庆国庆美术作品比赛，小东想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？分析：∵ ( )2

=25∴这个正方形画布的边长应取

dm.问题：学校要举行庆国庆美术作品比赛，小东想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？分析：∵ 52=25∴这个正方形画布的边长应取

5 dm.问题：如果一个数的平方为25，那么这个数是多少？分析：∵ (±5)2

=25∴这个数是5或-5.根据上面的研究过程填表：x2116049425x±1±

40±

7±

25如果我们把±1、±4、0、±7、±

2分别叫做1、16、0、49、

4 的平方根，5 25你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（squareroot）或二次方根．这就是说，如果

x2=a，那么x

叫做a的平方根．如何求一个数的平方根呢？x2 x2149+1-1+2-2+3-3149+2-2+3-3x 平方+1-1开平方 x求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算！例4

求下列各数的平方根：（1）100；（2）9

；（3）0.25;（4）1

7.16 9请按下暂停键，认真思考例4

求下列各数的平方根：（1）100；（2）9

；（3）0.25;（4）1

7.16 9解：（1）因为(±10)2

=100，所以100的平方根是±10；（2）因为(±

3)2

= 9

，所以

9

的平方根是±

3；4 16 16 4（3）因为(±0.5)2

=0.25，所以0.25的平方根是±0.5；（4）因为1

7

=

16，(±

4)2

=

16，所以1

7的平方根是±

4.9 9 3 9 9 3思考正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？归纳正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根.平方根的表示、读法正数a

的平方根用“± a”表示，读作“正、负根号a”.正数a

的正平方根，用“ a”表示，读作“根号a”,也就是a的算术平方根.正数a

的负平方根，用“− a”表示，读作“负根号a”.或是a的算术平方根的相反数.说一说

77

7

各表示什么意义？请按下暂停键，认真思考说一说7

7

各表示什么意义？表示7的正的平方根（即算术平方根）

7表示7的负的平方根表示7的平方根平方根与算术平方根的比较0平方根算术平方根区别定义不同如果

一个数的平方等于a，这个数就叫做a的

平方根

.如果一个

正数

的平方等于a，那么这个正数就叫做a的

算术平方根

.个数不同正数a的平方根有两个.正数a的算术平方根有一个.表示不同用 ± a

表示用

a

表示联系平方根包括算术平方根，算术平方根是平方根中

非负根

.存在条件相同.只有

非负数才有平方根和算术平方根.3.0的平方根和算术平方根是 .课堂练习一

判断以下说法是否正确？1的平方根是1；

2是4的一个平方根；±5是25的平方根；（4）-16的平方根是-4

；（5）0.3是0.9的平方根；（6） 4等于±

2；（7）

± 4等于±

2

.请按下暂停键，认真思考（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）课堂练习一

判断以下说法是否正确？1；2是4的一个平方根；±5是25的平方根；的平方根是-是0.9的（6） 4等于±

2（ ）（ ）（ ）（7）

± 4等于±

2

.（ ）（√）（√

）（√

）（1）

1的平方根是

±1

（4）

-16 没有平方根4

；（5）

0.3 0.09

平方根；2

；③

-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的算术平方根是8；⑥(−4)2的平方根是−4.课堂练习二1.下列说法正确的是

①

-3是9的平方根;②25的平方根是5;请按下暂停键，认真思考②25的平方根是5;③

-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的算术平方根是8；⑥(−4)2的平方根是−4.课堂练习二1.下列说法正确的是

①④⑤ ①

-3是9的平方根;±5没有平方根±42.下列说法不正确的是

A.0的平方根是0B.−

22的平方根是2C.

−6

是(−6)2的平方根D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数课堂练习二请按下暂停键，认真思考B.

−

22的平方根是2C.

−6

是(−6)2的平方根D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数课堂练习二2.下列说法不正确的是

A.0的平方根是0负数没有平方根B.

−22的平方根是2C.

−6

是(−6)2的平方根D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数课堂练习二2.下列说法不正确的是

B A.0的平方根是0负数没有平方根例5

求下列各式的值：（1） 36；（2）−0.81；（3）±949.请按下暂停键，认真思考例5

求下列各式的值：（1） 36；（2）− 0.81；（3）±949.解：（1）因为62

=

36，所以 36 =

6；（2）因为0.92

=

0.81，所以− 0.81 =−

0.9；（3）因为(7)2

=

49，所以± 49=±

7.3 9 9 3归纳（1）当a

≥

0时，a：表示一个非负数的算术平方根；− a：表示一个非负数的算术平方根的相反数；± a：表示一个非负数的平方根；（2）当知道一个数的算术平方根时，就可以立即写出它的负的平方根，反之也是可以的.小结平方根算术平方根概念性质平方根知识概念性质开平方运算类比思想方法分类讨论人教版数学七年级下册平方根（第三课时）第6章实数学习目标以 2

为例初步认识无限不循环小数；学习使用“夹逼法”来逐步估算正有理数的算术平方根，初步锻炼数学的估算能力；学习使用计算器求正有理数的算术平方根.请按下暂停键，仔细看一看探究1能否用两个面积为1

dm2的小正方形拼成一个面积为2

dm2的大正方形？请按下暂停键，仔细想一想面积探究1能否用两个面积为1

dm2

的小正方形拼成一个面积为2 dm2

的大正方形？1

dm21

dm22

dm2棱长棱长2

面积1

dm1

dm2

dm11211这三个正方形的棱长分别是多少？探究2：

2

有多大呢？

1.9881，请按下暂停键，仔细想一想思考：）2

=

2？因为太小 太大12

1，2

2=4所以1

2

2因为1.52

2.25，1.4

2

1.96，所以1.4

2

1.5因为1.452

2.1025，

1.422

2.0164，1.412所以1.41

2

1.42所以因为所以探究2：

2

有多大呢？1.41

2

1.421.4152

2.002225，

1.41421.414

2

1.415夹逼法被开方数越大，对应的算术平方根也越大太小

1.999396太大探究2：

2

有多大呢？发现：2小数位数无限，且小数部分不循环的小数探究3：

2

是一个有理数吗？有理数1分数

0.250.

63

2

99

0.

2525

1

1.0

6

6.0整数0

0.0有理数写成小数形式，均为有限小数或无限循环小数它不是有理数！请按下暂停键，仔细想一想它是无限不循环小数！通过以上探究得到的知识2

是真实存在的2 不是一个有理数2 是一个无限不循环小数3，5，

7

，

，

通过以上探究学会的方法学习利用“夹逼法”对正有理数的算术平方根进行估值解：(1)因为所以32

9, 42

163< 10

4所以与

10最接近的两个整数是3和4思路：利用“夹逼法”估值请按下暂停键，仔细想一想习题巩固例题1(1)估计与 10

最接近的两个整数是多少？太小 太大解：(2)因为而所以3

10

43.52

12.2510

3.5所以 最接近 10

的整数是3习题巩固例题1(2)估计与 10

最接近的一个整数是多少？分析：对 10

做更精确的估值2(1) 65 和

8 (2) 5

1

和0.5解：(1)因为所以即82

64, 92

818

65

965

8分析：利用“夹逼法”估值分析：先对

65 估值例题2

比较下列各组数的大小请按下暂停键，仔细想一想(1) 65 和

82(2) 5

1和

0.5所以所以解：(1)因为 82

64, 92

818

65

965

8法二：平方法因为而所以( 65)2

65, 82

6465

6465

8例题2

比较下列各组数的大小(2) 和

0.525

1解：(2)因为所以所以所以即22

4, 32

92

5

31

5

1

220.5

5

1

125

1

0.5思考：先对 5

估值例题2

比较下列各组数的大小5估值5

15

12例题3

小丽想用一块面积为400

cm2

的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300

cm2

的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.

她不知能否裁得出来，正在发愁。小明见了说:“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请按下暂停键，仔细想一想