长泾中学青年教师业务能力测试试卷

2007—2008学年度长泾中学青年教师素质能力测试高中数学试卷2007-9-26本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数满足，则（）A． B． C． D．2．设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63 B．45 C．36 3．设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（）A． B． C． D．5．若是两条异面直线外的任意一点，则（）A．过点有且仅有一条直线与都平行B．过点有且仅有一条直线与都垂直C．过点有且仅有一条直线与都相交D．过点有且仅有一条直线与都异面6．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．7．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（）A． B． C． D．8．设函数，则（）A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可以分析出和分别为（）A． B． C． D．10．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么下列命题总成立的是（）Ａ．若成立，则当时，均有成立Ｂ．若成立，则当时，均有成立Ｃ．若成立，则当时，均有成立Ｄ．若成立，则当时，均有成立二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．11．的展开式中常数项为．（用数字作答）12．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．13．已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O/所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是．14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．15．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为． 16．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数⑤函数其中真命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知<<<,(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.18．（本小题满分13分）数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和．19．（本题满分13分）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．（=1\*ROMANI）求证：；（=2\*ROMANII）求与平面所成的角的正切值．20．（本小题满分16分）设函数（），其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．21．（本小题满分16分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（I）求椭圆的标准方程；（II）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．2007—2008长泾中学青年教师业务能力测试卷参考答案一、选择题：CBBABDCAAD二、填空题11．12．13．14．63015．416．①④三、解答题17．解：（Ⅰ）由，得∴，于是…………5分（Ⅱ）由，得又∵，∴…………8分由得：所以……………………12分18．解：（Ⅰ），，．…………2分又，数列是首项为，公比为的等比数列，．当时，，……………………5分（Ⅱ），当时，；………7分当时，，…………①，………②得：………………9分．．又也满足上式，．………………13分19．解：方法一：（=1\*ROMANI）证明：因为，是的中点，所以．又因为平面，所以．……5分（=2\*ROMANII）解：连结，设，则，在直角梯形中，，是的中点，所以，，，因此．因为平面，所以，因此平面，故是直线和平面所成的角．………10分在中，，，．……………13分方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．…………3分（=1\*ROMANI）证明：因为，，所以，故．………………7分（=2\*ROMANII）解：设向量与平面垂直，则，，即，．因为，，所以，，即，…………10分因为，，与平面所成的角是与夹角的余角，所以．…………13分20．解：（Ⅰ）当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．…………………4分（Ⅱ）解：．令，解得或．…………6分由于，以下分两种情况讨论．（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．……………………8分（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；…10分函数在处取得极大值，且．………………11分（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．…………………12分由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，只要，即…………①……13设，则函数在上的最大值为．要使①式恒成立，必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．…………16分21．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，………………2分 由已知得：， 椭圆的标准方程为．………………6分 （2）设．联立 得 ，…