（普通班）高三数学一轮复习 第八篇 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法 第一课时 证明平行和垂直基础对点练 理-人教版高三全册数学试题

第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,2利用向量解决垂直问题3,41.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点.求证:FC1∥平面ADE.证明:如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1).FC1→=(0,2,1),DA设n=(x,y,z)是平面ADE的一个法向量,则n⊥DA解得x=0所以n=(0,-1,2).因为FC1所以FC1因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,求证:平面EFG∥平面B1CD1证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1).得E(1,QUOTE12,0),F(QUOTE12,0,0),G(1,0,QUOTE12),EF→=(-QUOTE12,-QUOTE12,0),EG→=(0,-QUOTE12,QUOTE12).设n1=(x1,y1,z1)为平面EFG的法向量,设n2=(x2,y2,z2)为平面B1CD1的法向量.则n即-令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,同理可得x2=1,y2=-1,z2=-1.即n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1,-1).由n1=n2,得平面EFG∥平面B1CD1.3.如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1证明:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1以OB→,OO1→,OA→为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3BA1→=(-1,2,3设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n⊥BA1→,n故n·B令x=1,得y=2,z=-3,故n=(1,2,-3)为平面A1BD的一个法向量,而AB1→=(1,2,-3),所以即AB1⊥平面A1BD.4.(2016安阳模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD.求证:平面CEF⊥平面PBC.证明:建立如图所示的空间直角坐标系,设A(1,0,0),则P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(QUOTE12,0,0),F(QUOTE12,QUOTE12,QUOTE12),设平面CEF的一个法向量为n1=(x,y,z).则n得1取x=1,则n1=(1,QUOTE12,-QUOTE12),同理,求得平面PBC的一个法向量为n2=(0,QUOTE12,QUOTE12).因为n1·n2=1×0+QUOTE12×QUOTE12-QUOTE12×QUOTE12=0,所以n1⊥n2.所以平面CEF⊥平面PBC.【教师备用】(2016四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D(1)求证:AG∥平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,QUOTE12,1),F(QUOTE12,1,1),G(0,QUOTE12,1),EF→=(-QUOTE12,QUOTE12,0),BF→=(-QUOTE12,0,1),而AG→=(-1,QUOTE12,1),所以AG→=EF→+故AG→又因为AG不在平面BEF内,所以AG