高考数学二轮复习 专项小测25“20题、21题”理-人教版高三全册数学试题

专项小测(二十五)“20题、21题”时间：45分钟满分：24分20.(12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为k(k≠0)，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：eq\f(|MF|,|PQ|)为定值．解：(1)由题意可知eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，令x＝c得y＝±eq\f(b2,a)，则|PQ|＝eq\f(2b2,a)，则S四边形APBQ＝eq\f(1,2)|AB|·|PQ|＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(2b2,a)＝2b2＝6，解得b2＝3.∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2c，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明：由题意可知F(1,0)，直线l的方程为y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx－1，))可得(4k2＋3)x2－8k2x＋(4k2－12)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq\f(4k2－12,4k2＋3)，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝eq\f(－6k,4k2＋3).设PQ的中点为N，则Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,4k2＋3)，\f(－3k,4k2＋3)))，则MN的方程为y＋eq\f(3k,4k2＋3)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4k2,4k2＋3))).令y＝0，可得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2,4k2＋3)，0))，∴|MF|＝eq\f(3k2＋1,4k2＋3).∵|PQ|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2,4k2＋3)))2－\f(44k2－12,4k2＋3))＝eq\f(12k2＋1,4k2＋3)，∴eq\f(|MF|,|PQ|)＝eq\f(1,4)为定值．21．(12分)已知函数f(x)＝x－eq\f(x2,2)＋ax(lnx－1)＋a－eq\f(1,2).(1)当a≤0时，证明：函数f(x)只有一个零点；(2)若函数f(x)的极大值等于0，求实数a的取值范围．解：(1)由题可知f′(x)＝1－x＋alnx.令g(x)＝1－x＋alnx，则g′(x)＝eq\f(a－x,x)(x＞0)，所以当a≤0时，g′(x)＝eq\f(a－x,x)＜0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减． (2分)又因为f′(1)＝g(1)＝0，所以，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)≤f(1)＝0，所以f(x)只有一个零点． (4分)(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)的极大值等于0，符合题意．①当0＜a＜1时，因为当x∈(0，a)时，g′(x)＞0；当x∈(a，＋∞)时，g′(x)＜0且g(1)＝0，g()＝1－－1＝－＜0，故存在x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，a))，满足f′(x1)＝0.当x∈(0，x1)，f′(x)＜0，当x∈(x1，a)，f(x)＞0.又x∈(a,1)，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)，f′(x)＜0，所以此时x＝1是f(x)的唯一极大值点，且f(1)＝0，符合题意． (6分)②当a＝1时，因为x∈(0,1)，g′(x)＞0；x∈(1，＋∞)，g′(x)＜0，且g(1)＝0.所以g(x)≤0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减无极值点，不合题意． (8分)③当a＞1时，因为当x∈(0，a)时，g′(x)＞0；当x∈(a，＋∞)时，g′(x)＜0，且g(1)＝0，g(ea)＝1－ea＋a2.令W(a)＝eq\f(a2＋1,ea)，则W′(a)＝－eq\f(a－12,ea)≤0；所以W(a)＜W(1)＜1，所以1＋a2＜ea，即g(ea)＜0.又因为a＜1＋a2＜ea，故存在x0∈(a，ea)，满足f′(x0)＝0，x∈(a，x