湖南省永州市高三上学期二模数学试题

永州市2024年高考第二次模拟考试数学命题人：蒋志刚（永州四中）周海洋（双牌二中）陶先国（蓝山二中）陈诗跃（永州一中）审题人：胡元紧（永州市教科院）注意事项：1．全卷满分150分，时量120分钟。2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。3．考试结束后，只交答题卡。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．己知，则z的虚部为（）A．B．C．D．3．已知向量，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．4．已知函数在区间上单调递增，则（）A．B．C．D．5．若正四棱锥的侧面三角形底角的正切值为2，则侧面与底面的夹角为（）A．B．C．D．6．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，点M在C的准线上，、若的面积为32，则（）A．B．2C．D．47．在中，若，则的面积的最大值为（）A．B．C．D．8．已知函数，下列结论正确的是（）A．的图象是中心对称图形B．在区间上单调递增C．若方程有三个解，，则D．若方程有四个解，则二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．下列结论正确的是（）A．已知样本数据的方差为2，则数据的方差为4B．已知概率，则C．样本数据6，8，8，8，7，9，10，8的第75百分位数为8.5D．己知（a，b为有理数），则10．若圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆，则（）A．该圆锥的母线与底面所成的角为B．该圆锥的体积为C．该圆锥的内切球的体积为D．该圆锥的外接球的表面积为11．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（）A．为奇函数B．在处的切线斜率为7C．D．对12．在平面直角坐标系中，已知曲线，与圆相切的直线l交于P，Q两点，点M，N分别是曲线与上的动点，且，则（）A．B．的最小值为2C．的最小值为D．O点到直线MN的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为第二象限角，，则__________．14．已知盒中有3个红球，2个蓝球，若无放回地从盒中随机抽取两次球，每次抽取一个，则第二次抽到蓝球的概率为__________．15．已知函数有一个极值点为零点，则__________．16．己知数列满足，则__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知数列的前n项和为．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项的和．18，（12分）记三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B为锐角，．（1）求；（2）求的最小值．19．（12分）如图所示，在四棱锥中，，平面平面ABC，点F为BD的中点．（1）证明：；（2）若，AF与平面ABE所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．20．（12分）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．（1）若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量X，求X的分布列与期望；（2）若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．21．（12分）已知椭圆的离心率为与，左、右焦点分别为，点D为线段的中点，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点．的面积最大值为．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND分别交C于点P，Q，直线PQ的斜率为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）若时，，求实数a的取值范围；（2）设，证明：．永州市2024年高考第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABDCBDD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。题号9101112答案BCDBDACDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。13．14．15．16．1785部分小题提示解析：8．解：因为，所以，即关于直线对称，所以为轴对称函数．关于直线对称，只需研究性质，当时，，易知所以，故在单调递减所以当时，单调递减，故B错．当时，，此时单调递增，而所以有三解，则又因为，联立解得，所以C错误．要有四个解，则，解得，故选D．16．解：由已知可得，，则，则由累加法可得．四、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解析：（1）当时，，则1分当时，，则3分则数列是以2为公比的等比数列，则．5分（2）因为6分所以，8分则．10分18．解析：（1）因为由正弦定理可得1分由余弦定理可得：2分解得或（一个答案一分）3分又因为B为锐角，所以4分所以．6分（2）由（1）得7分令，则因为，所以9分所以，当单调递增10分所以时，，所以无最值11分所以无最值．12分19．解析：（1）因为，所以1分又因为平面平面ABC，平面平面2分所以平面ABC3分又因为平面ABC所以．4分（2）取AB、BE的中点分别为O、G，连接OC、OG所以E因为，所以而平面ABC，所以平面ABC因为所以5分以O为坐标原点，分别以直线OB，OC，OG为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系6分设，则所以，易知是平面ABE的一个法向量7分所以，解得8分设是平面ACDE的一个法向量，因为则，即9分令，则10分又因为则点B到平面ACDE的距离为11分所以．12分20．解析：（1）依题意可得，随机变量1分设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则，2分则3分4分则分布列：X3579P数学期望．5分（2）设在甲参加的局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y则所获总分为，若，则6分则，因为7分则8分同理可得9分则10分11分故．12分21．解析：（1）易知当M与椭圆的短轴的端点重合时面积有最大值1分所以，即2分因为3分解得所以椭圆C得方程为．4分（2）设则直线MP的方程为5分由联立得：6分则，即7分代入直线得：同理可得：8分所以9分又因为N、、M三点共线，所以即10分所以11分所以存在实数使得．12分22．解析：（1）要使有意义，则需满足当时，由在恒成立当时，由，得，由解得1分2分令当时，在恒成立，则在恒成立所以在单调递增，所以恒成立3分当时，，令则则在恒成立，所以在单调递减又因为，所以，使得当，即，所以在单调递增当，即，所以在单调递减4分①若时，，所以时，，又所以，使得，当，即在单调递增，当，即在单调递减，又因为，所以要使在恒成立只需，解得，而