2.1.1第2课时椭圆的标准方程课件-高二上学期数学北师大版选择性

2.1.1第2课时新授课椭圆的标准方程1.根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程.3.会求简单的椭圆的标准方程.1.椭圆的定义：2.椭圆的对称性：复习回顾定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆.椭圆是轴对称图形，直线F1F2及线段F1F2的垂直平分线都是它的对称轴；椭圆也是中心对称图形，线段F1F2的中点是它的对称中心.F1F2P思考1：根据椭圆的定义，你能求出椭圆的方程吗？知识点：椭圆的标准方程设椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，椭圆上任意一点到两个焦点F1，F2距离之和为2a(a>c).如图，椭圆与直线F1F2相交于点A1，A2，与线段F1F2的垂直平分线相交于点B1，B2，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得|B2F1|+|B2F2|=2a，且|B2F1|=|B2F2|，所以|B2F1|=|B2F2|=a.于是有为方便起见，记|B2O|=b，则从而b2=a2-c2.如图，以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1，F2的坐标分别为(-c,0)，(c,0).设P(x,y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足|PF1|+|PF2|=2a.F1F2PxOy(x,y)即两边平方、整理，得上式两边再平方整理，得两边同时除以

得将b2=a2-c2代入上式,得①这说明椭圆上任意一点的坐标都满足方程①.思考：以方程①的每一组解为坐标的点是否都在椭圆上？F1F2PxOy(x,y)详细证明见教材P48小字部分.归纳总结椭圆上任意一点的坐标都是方程

的解；以方程

的解为坐标的点都在椭圆上.我们将方程叫作椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c,0)，F2(c,0)，其中b2=a2-c2.F1F2PxOy(x,y)思考2：

如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分別为(0,-c),(0,c)，a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？F1F2PxOy其中b2=a2-c2.归纳总结椭圆标准方程定义图形方程焦点a,b,c之间的关系F1F2PxOyF1F2PxOyF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)a2=b2+c2练一练1.椭圆

的焦点坐标为()A.(±5,0) B.(0，±5)C.(0，±12) D.(±12,0)C解：椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝a2－b2＝144，所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).练一练2.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0,-3)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.B.C.D.D解得解：由题意得所以椭圆方程为例1:已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-2),F2(0,2),并且经过点P求椭圆的标准方程.解法1:由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以又c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6，所以椭圆的标准方程为例1:已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-2),F2(0,2),并且经过点P求椭圆的标准方程.解法2:由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为则a2=10.所以椭圆的标准方程为因为点P在椭圆上，又c=2，所以解得b2=6或b2=(舍)，归纳总结(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.求椭圆标准方程的方法练一练解:因为|F1F2|=2c=6,2a=10,即c=3,a=5,3.已知椭圆的焦距是6,椭圆上的点到两个焦点的距离的和等于10,写出椭圆的标准方程.当焦点在x轴上时,得椭圆的标准方程：当焦点在y轴上时,得椭圆的标准方程：所以b2=a2-c2=25-9=16.解：将点M的坐标代入

得例2:求证：点M(acosθ,bsinθ)(0≤θ<2π)在椭圆