【Syx】导数的概念及其意义课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章

一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义一、课题导入微积分的创立与处理四类科学问题直接相关1求物体在任意时刻的速度与加速度2求曲线的切线3求函数的最大值与最小值4求长度、面积、体积和重心等

导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法.导数的本质是什么？二、引导探究1平均速度与瞬时速度在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)=-4.9t2+4.8t+11（如图）高台跳水t:12时,

h(2)–h(1)2–1=-9.9(m/s)v=t:11.5时,

h(1.5)–h(1)1.5–1=-7.45(m/s)v=1~2-9.9m/s1~1.5-7.45m/s1~1.1-5.45m/s1~1.01-5.045m/s1~1.001-5.0045m/s越来越接近-5m/s时间间隔不断缩小时间间隔10.50.10.010.0010.0001...0平均速度-4.9-5-9.9-7.45-5.45-5.045-5.0045-5.00045...-5趋近于趋近于平均速度瞬时速度极限

平均速度与瞬时速度二、引导探究2抛物线的切线的斜率

如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？不一定不一定因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了.

我们发现，当点P__________________，割线P0P____________________位置.这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．观察

如图，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势?T无限趋近于一个确定的无限趋近于点P0时1.割线的斜率2.切线的斜率

函数图象在点P0(x0,f(x0))处的斜率xyO121234PP0T割线斜率与切线斜率二、引导探究3导数的概念1.平均变化率

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为

∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0).我们把比值

，即叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率.2.瞬时变化率

3.导数的概念如果当无限趋近于0时，平均变化率

无限趋近于一个确定的值，即

有极限，则称_________________________，并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________),记作_

___或____

__.用极限符号表示这个定义，

就是_

_________________________________

y＝

f(x)在x

＝

x0处可导瞬时变化率

y＝f(x)在x＝x0处的导数导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.注意：1.f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；2.

f′(x0)与∆x的具体取值无关；3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.思考：根据导数的定义，你能归纳出求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤吗？一差、二比、三极限二、引导探究4导数的几何意义思考：导数f

′(x0)的几何意义是什么？割线P0P的斜率k切线P0T的斜率k0点P→点P0函数

y＝f(x)在x=

x0处的导数f

′(x0)曲线y＝f(x)在点P0(x0,f(x0))处切线的斜率k0导数f

′(x0)的几何意义PxyOT即求切线方程的方法例1求曲线y＝-2x2+1在点(1,-1)处的切线方程.解：设f(x)＝-2x2+1所以所求切线方程为y-(