MBA数学-排列组合

MBA数学-排列组合目录CONTENTS排列组合基本概念与原理典型题型解析与思路复杂排列组合问题求解策略概率统计中排列组合应用解题技巧总结与提高建议实战演练与案例分析01排列组合基本概念与原理从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。排列组合区别从n个元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。排列需要考虑元素的顺序，而组合不需要考虑元素的顺序。030201排列与组合定义及区别加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，...，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+...+mn种不同方法。乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，...，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×...×mn种不同的方法。基本原理：加法原理与乘法原理010405060302排列数公式：A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=n!/(n-m)!（其中n≥m）性质A(n,m)=n×A(n-1,m-1)A(n,m)+A(n,m-1)=A(n+1,m)A(n,0)=1A(n,n)=n!排列数公式与性质C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)C(n,0)=C(n,n)=1C(n,1)=C(n,n-1)=n组合数公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]（其中n≥m）性质C(n,m)=C(n,n-m)010402050306组合数公式与性质02典型题型解析与思路相邻问题捆绑法题型特征题目中要求某些元素必须相邻。解题思路将相邻的元素看作一个整体，与其他元素进行排列组合，最后考虑相邻元素内部的排列。示例5个人站成一排，其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的站法？解析将甲、乙两人看作一个整体，与其他3人进行全排列，有$A_4^4$种排法。再考虑甲、乙两人内部的排列，有$A_2^2$种排法。因此，总共有$A_4^4timesA_2^2=48$种不同的站法。题型特征题目中要求某些元素不能相邻。示例5个人站成一排，其中甲、乙两人不能相邻，有多少种不同的站法？解析先考虑其他3人的排列，有$A_3^3$种排法。这3人之间形成了4个空隙，甲、乙两人可以插入到这4个空隙中，有$A_4^2$种插法。因此，总共有$A_3^3timesA_4^2=72$种不同的站法。解题思路先考虑没有限制条件的元素的排列，再将不能相邻的元素插入到它们的空隙中。不相邻问题插空法解析5个人的全排列有$A_5^5$种排法。甲、乙、丙三人的顺序固定，他们的排列有$A_3^3$种。因此，满足条件的站法有$frac{A_5^5}{A_3^3}=20$种。题型特征题目中要求某些元素按照指定的顺序排列。解题思路先求出所有元素的排列数，再除以指定顺序元素的排列数。示例5个人站成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序必须是甲在乙前面，乙在丙前面，有多少种不同的站法？定序问题缩倍法题目中要求将元素分组，且组与组之间有区别。题型特征分组时要考虑组与组之间的区别，避免重复计数。通常使用组合公式$C_n^m$进行分组，并考虑组内的排列。解题思路将6个人分成3组，每组2人，有多少种不同的分法？示例从6个人中选2人组成第一组，有$C_6^2$种选法；从剩下的4个人中选2人组成第二组，有$C_4^2$种选法；最后2人自然组成第三组。因此，总共有$frac{C_6^2timesC_4^2}{A_3^3}=15$种不同的分法（除以$A_3^3$是因为三组之间没有区别）。解析分组问题防遗漏03复杂排列组合问题求解策略对于含有特殊元素（如被限制的元素、需要优先考虑的元素等）或特殊位置（如必须填充的位置、有特殊条件的位置等）的问题，优先安排这些元素或位置，可以简化问题，降低计算难度。例如，在求解某些排列组合问题时，可以先考虑特殊元素或特殊位置，再对其他元素进行排列组合，从而得到问题的解。优先安排特殊元素或位置正难则反，等价转化思想应用当正面求解问题较为困难时，可以考虑从反面入手，通过等价转化的思想将问题转化为更容易求解的形式。例如，在求解某些排列组合问题时，可以先求出所有可能的排列组合数，再减去不符合条件的情况数，从而得到符合条件的排列组合数。对于某些复杂的排列组合问题，可以通过构造模型的方式，将问题转化为已知的、简单的排列组合问题，从而利用已有的结论简化计算。例如，在求解某些涉及多个元素的排列组合问题时，可以通过构造适当的模型，将问题转化为已知的排列组合问题，如二项式定理、组合恒等式等。构造模型，利用已有结论简化计算当问题的规模较小且限制条件较多时，可以考虑使用枚举法来求解问题。通过枚举所有可能的情况并判断是否符合条件，可以得到问题的解。例如，在求解某些涉及少量元素的排列组合问题时，可以通过枚举所有可能的情况并计算符合条件的情况数来得到问题的解。枚举法在有限制条件下应用04概率统计中排列组合应用排列数公式$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，其中n为总的元素个数，m为要选取的元素个数。组合数公式$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中n为总的元素个数，m为要选取的元素个数。古典概型中基本事件总数计算在古典概型中，每个基本事件发生的可能性是相同的，因此可以通过计算基本事件的总数来求解概率。例如，在抛掷硬币、骰子等实验中，可以利用排列组合的知识来计算基本事件的总数。古典概型中基本事件总数计算随机抽样中样本点个数确定从N个元素中随机抽取n个元素（不放回），则样本点个数为$C_N^n$。系统抽样将N个元素分成若干组，每组内采用简单随机抽样，则样本点个数与分组方式和每组内抽取的元素个数有关。分层抽样将N个元素按照某种特征分成若干层，每层内采用简单随机抽样，则样本点个数与分层方式和每层内抽取的元素个数有关。简单随机抽样分布列在离散型随机变量中，每个取值对应的概率构成的序列称为分布列。排列组合的知识可以帮助我们计算每个取值对应的概率。期望期望是随机变量的一个重要特征数，表示随机变量取值的平均水平。在计算期望时，需要利用排列组合的知识来计算每个取值对应的概率，并求出加权平均数。方差方差表示随机变量取值的离散程度。在计算方差时，同样需要利用排列组合的知识来计算每个取值与期望之差的平方的期望。分布列和期望中概率计算05解题技巧总结与提高建议排列组合的基本原理理解排列与组合的基本概念，掌握加法原理和乘法原理，以及它们在不同场景下的应用。常用公式熟练掌握排列数公式、组合数公式以及它们的性质和变形，如二项式定理等。计数方法学会使用枚举法、分类法、分步法等基本的计数方法，以及特殊情况的计数技巧，如定序问题、定位问题等。熟练掌握基本原理和公式学会运用多种方法解题对于一些直接求解较为困难的问题，可以考虑采用正难则反法，即先求出问题的反面情况，再用总数减去反面情况得到正面情况的解。正难则反法对于某些特殊问题，如不相邻问题，可以采用插空法，先考虑其他元素的排列，再将特殊元素插入到合适的位置。插空法对于需要将某些元素视为一个整体进行考虑的问题，可以采用捆绑法，先将这些元素捆绑在一起进行排列或组合，再与其他元素一起考虑。捆绑法遗漏情况在列举所有可能情况时，要确保不遗漏任何一种情况，特别是在分类讨论时要特别注意。理解题意不清在解题前要认真审题，确保充分理解题意和题目要求，避免因为理解不清而导致错误。重复计算在解题过程中要特别注意避免重复计算同一种情况，确保每种情况只被计算一次。注意避免常见错误类型一题多解尝试用多种方法解决同一个问题，比较不同方法的优劣和适用范围，提高思维的灵活性和创新性。举一反三通过解决一个典型问题，掌握一类问题的解决方法，并能够灵活运用到类似的问题中。拓展延伸在掌握基本知识和方法的基础上，尝试拓展延伸和深化理解，探索更多可能的应用场景和解题方法。提高思维灵活性和创新能力06实战演练与案例分析2020年真题某公司要从10名员工中选出3名参加培训，有多少种不同的选法？此题考查的是组合数的计算。从10名员工中选出3名，即求C(10,3)，计算可得C(10,3)=120，所以有120种不同的选法。5个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，有多少种不同的放法？此题考查的是排列数的计算。首先，从5个小球中选2个放入同一个盒子中，有C(5,2)种选法。然后，将这两个小球与剩下的3个小球一起进行全排列，有A(4,4)种排法。因此，总共有C(5,2)*A(4,4)=240种不同的放法。解题思路2019年真题解题思路历年真题回顾及解题思路分享模拟题1：6个人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，丙、丁两人不能相邻，有多少种不同的排法？答题技巧：此题考查的是排列组合中的捆绑法和插空法。首先，将甲、乙两人捆绑成一个整体，与剩下的4个人一起进行全排列，有A(5,5)种排法。然后，将丙、丁两人插入到已经排好的5个人中的空位中，有A(6,2)种插法。因此，总共有A(5,5)*A(6,2)=1440种不同的排法。模拟题2：从1,2,3,...,9这9个数字中任取两个数字，其中一个是奇数另一个是偶数的取法有多少种？答题技巧：此题考查的是分类计数原理。首先，从1,3,5,7,9这5个奇数中任取一个数字，有C(5,1)种取法。然后，从2,4,6,8这4个偶数中任取一个数字，有C(4,1)种取法。因此，总共有C(5,1)*C(4,1)=20种不同的取法。模拟题训练及答题技巧指导易错点1对排列与组合的概念理解不清。排列与组合都是研究从n个不同元素中取出m个元素的问题，但排列关注的是元素的顺序，而组合则不关注元素的顺序。因此，在解题时要根据题目要求选择使用排列还是组合。易错点2对分类计数原理与分步计数原理混淆不清。分类计数原理是将一个复杂问题分解成若干个相互独立且不可同时发生的问题进行分别计数；而分步计数原理则是将一个复杂问题分解成若干个相互关联且必须依次发生的问题进行分别计数。因此，在解题时要根据题目要求选择使用分类计数原理还是分步计数原理。学员易错点