数学-专题8 实数中蕴含的数学思想和实数的大小比较（带答案）

专题8实数中蕴含的数学思想和实数的大小比较（解析版）类型一特殊到一般的思想第一部分专题典例剖析+针对训练典例1（2022春•临邑县期末）阅读与思考请阅读下面材料，并完成相应的任务．在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：4×25=100=10，4小明：（4×25）2＝4×25＝100．（4×25）2＝（2×5）这就说明4×25和4×25都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以任务：（1）猜想：当a≥0，b≥0时，ab和a×（2）运用以上结论．计算：①16×36；②49×121；（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为100，宽为49，求这个长方形的面积．思路引领：（1）由题意可得当a≥0，b≥0时，ab=（2）根据法则计算①16×36=16×36（3）由长方形的面积可求S=100解：（1）当a≥0，b≥0时，ab=例如：∵4×9=6，4∴4×9=（2）：①16×36=16＝4×6＝24；②49×121=49

＝7×11＝77；（3）∵长方形的长为100，宽为49，∴S=100答：这个长方形的面积为70．总结提升：本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键．典例2请你观察下列计算过程：因为112=121，所以=11；用样，因为1112=12321，所以=111；…；由此猜想=________．思路引领：观察被开方数121、12321、…，这些数字都是从两头1开始，往中间依次递增的对称型数字；而121=112，12321=1112，…这就是说121，12321…，这些数的算术平方根分别是11，111，…，这些算术平方根全部由1组成，1的个数与被开方数中从两头到中间的位数一样．根据这个规律，可以猜想12345678987654321=1111111112，所以=111111111．答案：111111111．思路引领：本题考查数字规律问题，考查学生观察推测能力．变式训练1．（2022春•南京校级月考）观察等式：3+（1）你能猜想有什么规律呢？请用含n的式子表示（n≥3的整数）；（2）按上述规律，若10+ab=10a9，则a+（3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律．思路引领：（1）仿照已知等式得到一般性规律，写出即可；（2）根据得出的规律确定出a与b的值，即可求出a+b的值；（3）根据题意写出满足题意的等式，验证即可．解：（1）根据题意得：n+nn−1（2）根据题意得：10+109=10109，得到a=10（3）11+故答案为：（1）n+nn−1=n

总结提升：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2022春•福清市期中）先阅读下面材料，再解答问题：材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若a+bm=0，其中a，b为有理数，m是无理数，则a＝0，b证明：∵a+bm=0，a∴bm是有理数∵b为有理数，m是无理数∴b＝0∴a+0m=∴a＝0（1）若a+b3=3+3，其中a、b为有理数，请猜想a＝，b＝（2）已知11的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足11y+11（y−11x）＝（b+2）11+a11，求x思路引领：（1）猜想有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，根据若a+bm=0，其中a，b为有理数，m是无理数，则a＝0，b（2）估算无理数的大小，代入方程，化简即可得出答案．解：（1）a＝3，b＝1，证明：∵a+b3=3+3，其中a、∴a﹣3+（b﹣1）3=∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，∴a＝3，b＝1，故答案为：3，1；（2）∵9＜11＜16，∴3＜11∴a＝3，b=11∵x，y，a，b满足11y+11（y−11x）＝（b+2）11+∴11y+11y﹣11x＝（11−3+2）11+

∴11（y﹣x）+y11=11+211∴11（y﹣x）＝11，y＝2，∴x＝1，y＝2．总结提升：本题考查了无理数的估算，实数的运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．3．（2022春•兴宁区校级期中）阅读与思考请阅读下面材料，并完成相应的任务．在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：4×25=4×25=2×5＝10，所以4×25小明：(4×25(4×25这就说明4×25和4×25都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以任务：（1）猜想：当a≥0，b≥0时，ab和a×（2）运用以上结论，计算：①16×36；②49×121；（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为32，宽为8，求这个长方形的面积．思路引领：（1）由题意可得a×（2）①16×36=16×36（3）由长方形的面积可求S=32解：（1）a×例如：4×9=（2）①16×36=②49×121=（3）∵长方形的长为32，宽为8，∴S=32

答：这个长方形的面积为16．总结提升：本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键．4．（2019春•阜阳期中）观察下列各等式及验证过程．12−112(113(1（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思想，猜想14（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明．思路引领：（1）观察已知等式，将原式进行适当变形得到结果，验证即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．解：（1）根据题意得：14等式左边=14×左边＝右边，成立；（2）归纳总结得：1n(1证明：等式左边=1n(n+1)(n+2)，右边左边＝右边，成立．总结提升：此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．5．（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以350653②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想350653③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以350653的十位数字应为3，于是猜想3④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3−50653

请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：（1）3−117649=（2）若31−2x+35=0，则x已知3x−2+2=x，且33y−1与31−2x互为相反数，求思路引领：（1）根据题中的猜想得出3117649（2）根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由3x−2+2＝x求出x的值，再根据相反数的定义列出关于y的方程，求出解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000，∴3117649∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；3117649∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33＝27，43＝64，53＝125，所以350653∴117649的立方根是49，．∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，∴3−117649故答案为：﹣49；（2）∵31−2x∴1﹣2x＝﹣5，解得x＝3．∵3x−2+2＝∵3x−2=∴x﹣2＝0，x﹣2＝﹣1或x﹣2＝1，解得x＝2，1或3；∵33y−1与3∴3y﹣1＝2x﹣1，即当x＝2时，3y﹣1＝3，解得y=4当x＝1时，3y﹣1＝1，解得y=2当x＝3时，3y﹣1＝5，解得y＝2．故答案为：3；x＝2时，y=43；x＝1时，y=23；

总结提升：本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键．类型二数形结合思想典例3（2022秋•九龙坡区期末）如图实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简b2−(a−c)2−|c﹣b|思路引领：利用数轴得到a，b，c的取值范围，再利用绝对值的意义，二次根式的性质和立方根的意义化简运算即可．解：由题意得：a＜0，b＜0，c＞0，∴a﹣c＜0，c﹣b＞0．∴原式＝|b|﹣|a﹣c|﹣（c﹣b）+c＝﹣b+a﹣c﹣c+b+c＝a﹣c．故答案为：a﹣c．总结提升：本题主要考查了实数的运算，实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质和立方根的意义，利用数轴得到a，b，c的取值范围是解题的关键．变式训练1．（2022秋•新华区校级期末）如图，数轴上点P表示的数可能是（）A．2 B．3 C．5 D．7思路引领：先估算出各选项中无理数的大小，再根据数轴做出判断即可．解：∵2＜72＜51＜31＜2且7距离3更近，5距离2更近，∴点P表示的数可能是5，故选：C．

总结提升：本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．2．（2022秋•南关区校级期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．|a|＜|b| B．a+b＜0 C．a﹣b＞0 D．ab＞0思路引领：利用数轴知识判断a、b的符号和绝对值，再判断选项正误．解：由数轴图可知，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，∴A选项正确；a+b＞0，B选项错误；a﹣b＜0，C选项错误；ab＜0，D选项错误．故选：A．总结提升：本题考查了实数与数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．3．（2022秋•九龙坡区校级期末）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为﹣2和﹣1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023思路引领：结合数轴发现根据翻折的次数与点C应的数字的关系即可做出判断．解：正方形ABCD每翻转4次为一个循环，第一次翻转C在0，第五次翻转到了4，第九次翻转到了8，依次类推，第2022次翻转到了2021，转2022次点C所对应的数为2020．故选：A．总结提升：本题考查和数轴有关的规律变化问题，关键是明白正方形ABCD每翻转4次为一个循环．类型三分类讨论思想典例4（2022•广阳区一模）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为16时，输出的y值是；（2）若输出的y是3，请写出两个满足要求的x值：．

思路引领：（1）将x＝16代入程序进行计算即可；（2）根据算术平方根的定义进行取值．解：（1）当x＝16时，16=44=2是无理数，输出y=2故答案为：2；（2）当x＝3时，3是无理数，y=3当x＝9时，9=3，3是有理数，不能输出，3是无理数，y=故答案可为：3或9．总结提升：此题考查了运用算术平方根解决程序计算问题的能力，关键是能准确求解算术平方根，并能辨别无理数．典例5（2021秋•宿城区校级期末）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．思路引领：先移项，然后根据平方根的定义解方程即可求解．解：移项得，25（x+2）2＝36，∴（x+2）2=36∴x+2＝±65∴x＝﹣2±65∴x=−45或x总结提升：本题考查了根据平方根的定义解方程，正确计算是解题的关键．变式训练1．（2022秋•东阳市期中）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题．（1）当x为8时，y的值为．（2）当输出的y值是33时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x（3）是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．

思路引领：（1）根据运算规则即可求解；（2）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数；（3）根据运算法则以及立方根的定义解答即可．解：（1）当x为8时，y的值为32故答案为：32（2）当输出的y值是33时，输入的x（3）当输入的数是﹣1、0、或﹣1时，取它们的立方根始终是﹣1、0和1，∴输入x＝﹣1、0和﹣1时，始终输不出y值．总结提升：本题考查无理数与立方根，正确理解给出的运算方法是关键．2．（2022春•龙马潭区月考）已知（x﹣1）2＝16，求x的值．思路引领：根据平方根的定义进行计算即可．解：（x﹣1）2＝16，由平方根的定义可得，x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，解得x＝5或x＝﹣3，答：x＝5或x＝﹣3．总结提升：本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键．类型四转化思想典例6（2021秋•信都区期中）比较大小：−13和思路引领：两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．解：∵|−13|=13，|

（13）2=13，（25而13∴−1总结提升：本题考查实数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．针对训练2．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较6+12与思路引领：先判断出6与2的大小，再把32化成2+12，从而得出6+1解：∵6＞∴6+1∴6+1思路引领：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出6与2的大小．类型五实数的大小比较方法1平方法典例7比较和8的大小思路引领：因为（）2=75，82=64，所以＞8．总结提升：两个无理数比较大小时，除了用平方法，也可以把和8变为含有根号的数，添加根号的依据是()2=a(a≥0)的逆应用．变式训练1．（2020秋•中原区校级月考）比较大小：24与4.7；解：（1）∵4.72＝22.09，24＞22.09，∴24＞总结提升：此题主要考查了估算无理数大小以及实数比较大小，正确估算无理数大小是解题的关键．2．比较大小：1+6与2思路引领：两个正数相比，平方越大数越大．解：∵（1+6）2＝7+26，（2+5）2＝7+210，7+26

∴1+6总结提升：本题考查实数的大小比较，正确运用适当的方法是解决本题的关键方法2作差法典例8（2019秋•滦南县期末）课堂上，老师出了一道题，比较19−23与小明的解法如下：解：19−23−23=19所以19−43＞（1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：①若a﹣b＞0，则ab；②若a﹣b＝0，则ab；③若a﹣b＜0，则ab．（2）利用上述方法比较实数9−224与思路引领：（1）根据不等式的性质即可求解；（2）根据作差法即可比较大小．解：（1）①若a﹣b＞0，则a＞b；②若a﹣b＝0，则a＝b；③若a﹣b＜0，则a＜b．故答案为：＞，＝，＜；（2）9−=27−3=19−3=19−∵192＝361＞198，∴19＞198∴19−198∴19−198

∴9−22总结提升：考查了实数大小比较，关键是熟练掌握比较大小的作差法．方法3取近似值法典例9比较－和的大小．解析：因为－≈－1.0308，≈－1.0472，故－1.0308＞－1.0472，所以－＞．总结提升：要比较的两个数关系不明确，也找不到其中的规律时，可通过取近似值法比较大小．方法4估算法典例10通过估计，比较大小．（1）24与5.1（2）3−15与思路引领：（1）直接求出5.12＝26.01进而比较得出答案；（2）利用3−解：（1）∵5.12＝26.01，∴24＜（2）∵3−∴3−1总结提升：此题主要考查了估算无理数大小以及实数比较大小，正确估算无理数大小是解题关键．变式训练1．10在两个连续整数a和b之间，a＜10＜b，那么a、b的值分别是比较大小：（1）310；（2）7667；3−2的相反数是，绝对值是思路引领：首先找出与10邻近的两个完全平方数，则这两个数应该是9和16，即32

a、b的值．根据底数越大幂越大，可得答案；根据相反数的定义，绝对值的性质即可求解．解：由于3=9，4=∴9＜∴a＝3，b＝4．（1）∵3=9∴3＜10（2）∵76=294，6294＞252，∴76＞673−2的相反数是2−3，绝对值是2故答案为：3，4；＜；＞；2−3，2−总结提升：此题主要考查了无理数的估算能力，用估算的方法求无理数的近似值，主要是依据两个公式：（1）a2=a（a≥0）；（2）3a3=a2．比较大小：1+32与思路引领：先估算3和2的大小，再比较这两个数的大小．解：∵1＜3＜2，1∴2＜1+3＜3，2＜1∴1＜1+∴1+32＜总结提升：此题主要考查了估算无理数大小以及实数比较大小，正确估算无理数大小是解题的关键．方法5放缩法典例9比较与的大小．解析：因为2＜＜3，7＜，所以＜3＋2=5，＞7－2=5，

即＜．总结提升：放缩法应用的关键是找出合适的参考值，这一数值取决于两个被比较的实数.可以先确定每个数的范围，找这两个数的临界值，使其中一个数比参考数值大，另一个比此数值小，实现比较的目的．变式训练1．（2021秋•南京期末）比较大小：32+思路引领：先估算3与2的值即可判断．解：∵1＜3＜4，∴1＜3∵1＜2＜4，∴1＜2∴2＜2∴3＜故答案为：＜．总结提升：本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方数是解题的关键．专题提优训练1．（2021•漳平市模拟）实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|等于（）A．﹣2a B．﹣2b C．2b﹣2a D．2a+2b思路引领：先由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，再根据绝对值的化简法则计算即可．解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a故选：A．总结提升：本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的关键．2．（2021秋•宜宾期末）如图所示，已知数轴上的点A、O、B、C、D分别表示数﹣2、0、1、2、3，则表示数3−5的点PA．线段AO上 B．线段OB上 C．线段BC上 D．线段CD上

思路引领：估算出5的值即可解答．解：∵4＜5＜9，∴2＜5∴﹣3＜−5∴0＜3−5∴表示数3−5的点P应落在线段OB故选：B．总结提升：本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握平方数是解题的关键．3．（2022秋•房山区期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．﹣a＜﹣b思路引领：先根据数轴得出a，b的范围，再结合排除法求解．解：由题意得：﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，∴﹣a＞1，﹣b＜﹣1，∴﹣a＞b，根据排除法，﹣a＞b，故选：C．总结提升：本题考查了实数和数轴，数形结合思想和排除法数解题的关键．4．（2020春•牡丹江期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示，化简a2+|a+b|−3(a+c)3=﹣3a思路引领：原式利用二次根式、立方根性质化简，再利用绝对值的代数意义计算即可求出值．解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，∴a+b＜0，则原式＝|a|+|a+b|﹣（a+c）＝﹣a﹣a﹣b﹣a﹣c＝﹣3a﹣b﹣c．故答案为：﹣3a﹣b﹣c．总结提升：此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题的关键．

5．（2010秋•海淀区校级期末）已知a＜b＜0，M＝a+b，N＝﹣a+b，H＝a﹣b，G＝﹣a﹣b，那么M，N，H，G的大小关系为（用“＞”连接）．思路引领：由a＜b＜0，得出M＝a+b＜0，N＝﹣a+b＞0，H＞M，G＞N，从而可以得出答案．解：∵a＜b＜0，∴M＝a+b＜0，N＝﹣a+b＞0，H＝a﹣b＜0，但H＞M，G＝﹣a﹣b＞0，但G＞N，∴G＞N＞H＞M，故答案为G＞N＞H＞M．总结提升：本题考查了实数大小比较的法则，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．6．（宁波期中）观察下列等式：|1−2|=2−1，将以上三个等式相加得|（1）猜想并写出：|n−n+1|=（2）直接写出下列格式的计算结果|1−2|+|2−3|+⋯+|思路引领：（1）根据题中所给出的式子进行猜想即可；（2）根据题中所给出的例子进行解答即可．解：（1）∵|1−2|=2−1，|2−3|=∴|n−n+1|故答案为：n+1−（2）∵|1−2|+|2−3|+|3=2−1=4＝2﹣1＝2，∴|1−2|+|2−

=2−1=2013同理可得，|1−2|+|2−=2−1=n+1故答案为：2013−1，n+1总结提升：本题考查的是实数的运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．7．（2019秋•秦都区校级期中）求满足下列各式x的值：（1）x2﹣9＝0；（2）（x﹣4）2＝4．思路引领：（1）先得出x2＝9，再根据平方根的定义求解可得；（2）先根据平方根的定义得出x﹣4的值，继而可得答案．解：（1）∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，则x＝±9，即x＝±3；（2）∵（x﹣4）2＝4，∴x﹣4＝±4，即x﹣4＝±2，∴x＝4±2，∴x＝6或x＝2．总结提升：本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．8．通过估算比较下列各组数的大小．（1）76与8.5；（2）33与2（3）5+12与思路引领：对于（1），利用无理数的估算，得到76在8.5和9之间，由此判断即可；对于（2），对两个根式6次方，然后比较大小即可；对于（3），通分两个分数，然后估算无理数，比较分子的大小即可得解．

解：（1）∵82＝64＜76，92＝81＞76．∴76在8和9之间．又∵8.52＝72.25＜76，∴76在8.5和9之间，∴76＞（2）（33）6＝9，（2）6∴33（3）通分得35+36因为5≈2.2，所以35所以5+1总结提升：本题考查实数大小的比较，掌握运算方法是解题的关键．9．比较13+5与思路引领：利用平方法比较大小即可．解：∵（13+5）2＝13+2×13（15+3）2＝15+2×15∴（13+5）2＞（15+∴13+总结提升：本题考查实数大小比较，利用平方法比较大小是解题的关键．10．通过估算，比较下列各组数中两个数的大小．（1）76与8.5；（2）3530（3）2+3与（4）3−12与思路引领：（1）利用无理数的估算，得到76在8.5和9之间，由此判断即可；（2）对8.5求立方，然后比较大小即可；（3）两数平方，然后估算无理数即可得解；（4）比较分子的大小即可得解．解：（1）∵82＝64＜76，92＝81＞76，

∴76在8和9之间．又∵8.52＝72.25＜76，∴76在8.5和9之间，∴76＞（2）∵8.53＝614.125，614.125＞530，∴3530＜8.5（3）（2+3）2＝5+26，（15）∵26＜∴5+26＜∴2+（4）∵3＜∴3−∴3−1总结提升：本题考查了实数大小比较，熟练掌握利用无理数的估算比较大小的方法是解题的关键．11．（2011秋•青羊区校级期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(2+1)(2−1)=1，(3（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．（12+1+（2）利用上面的规律，试比较11−10与思路引领：（1）先由题目给出的一组等式，可得出规律1n+1（2）利用倒数关系比较大小即可．解：（1）由上面的解题规律可直接写出1n+1则(12+1＝[（2−1）+（3−2）+（4−3＝（2012−1）×（2012＝2012﹣1

＝2011；（2）∵111−10∵11+∴111∴11−总结提升：本题主要考查了实数的大小比较，通过观察得出规律1n+