高三年级一轮复习文科立体几何学案

./第一节空间几何体的结构特征一．知识梳理1．空间几何体的结构特征<1>多面体的结构特征多面体定义结构特征棱柱棱锥棱台<2>旋转体的形成旋转体定义旋转图形旋转轴圆柱圆锥圆台球2.空间几何体的三视图〔1.画三视图的规则：〔2三视图的排列顺序：3．空间几何体的直观图：空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：<1>原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为________,z′轴与x′轴和y′轴所在平面________<2>原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别________；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________；平行于y轴的线段在直观图中长度为________直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：<1>S直观图＝eq\f<\r<,2>,4>S原图形．<2>S原图形＝2eq\r<,2>二．考点突破空间几何体的结构特征[例1]<1>用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是<>A．圆柱B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体<2>下列说法正确的是<>A．有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点〔3下列结论正确的是<>A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线〔4设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．〔5有半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高为_______〔6用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,则圆台的母线长为________cm.能力练通抓应用体验的"得"与"失"1．如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为"等腰四棱锥",四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是<>A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上2．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是<>A．0B．1C．2 D．3空间几何体的三视图例1．〔1如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2,且侧棱AA1⊥平面A1B1C1,正视图是边长为2的正方形,该三棱柱的侧视图的面积为〔〔2一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示,则其侧视图不可能为<>A．正方形B．圆C．等腰三角形 D．直角梯形〔3正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为eq\r<3>,其正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则正视图的周长为_______．[例2]〔1如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点,则四面体ABCD的三视图是<用①②③④⑤⑥代表图形,按正视图,侧视图,俯视图的顺序排列><>A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤〔2将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧<左>视图为<>能力练通抓应用体验的"得"与"失"1.如图,三棱锥V­ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA＝VC,已知其正视图的面积为eq\f<2,3>,则其侧视图的面积为<>A.eq\f<\r<3>,2>B.eq\f<\r<3>,3>C.eq\f<\r<3>,4>D.eq\f<\r<3>,6>2.如图所示,三棱锥P­ABC的底面ABC是直角三角形,直角边长AB＝3,AC＝4,过直角顶点的侧棱PA⊥平面ABC,且PA＝5,则该三棱锥的正视图是<>3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为<>4.一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为________．空间几何体的直观图例1.〔1用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是<>〔2已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．能力练通抓应用体验的"得"与"失"1．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边AB平行于y轴,BC,AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r<2>cm2,则原平面图形的面积为<>A．4cm2B．4eq\r<2>cm2C．8cm2 D．8eq\r<2>cm22.等腰梯形ABCD,上底CD＝1,腰AD＝CB＝eq\r<2>,下底AB＝3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．第二节空间几何体的表面积与体积一．知识梳理1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱侧＝2πrleq\o<→,\s\up7<r′＝r>>S圆台侧＝π<r＋r′>leq\o<→,\s\up7<r′＝0>>S圆锥侧＝πrl.2．空间几何体的表面积与体积公式〔1柱体：〔2锥体：〔3台体：二．考点突破空间几何体的表面积[例1]〔1某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为<>A．4π＋16＋4eq\r<3>B．5π＋16＋4eq\r<3>C．4π＋16＋2eq\r<3> D．5π＋16＋2eq\r<3><2>一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是<>A．1＋eq\r<3>B．2＋eq\r<3>C．1＋2eq\r<2>D．2eq\r<2><2>图〔1图空间几何体的体积[例2]<1>某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为<>A.eq\f<1,6>B.eq\f<1,3>C.eq\f<1,2>D．1<2>某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为<>A.eq\f<1,3>＋2πB.eq\f<13π,6>C.eq\f<7π,3> D.eq\f<5π,2>〔3已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为<>〔A〔B〔C〔D能力练通抓应用体验的"得"与"失"1．一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为<>A.eq\f<1,3>＋eq\f<2,3>πB.eq\f<1,3>＋eq\f<\r<2>,3>πC.eq\f<1,3>＋eq\f<\r<2>,6>π D．1＋eq\f<\r<2>,6>π2.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为<>A.eq\f<5π,3>cm3B．2πcm3C.eq\f<7π,3>cm3 D．3πcm33.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为<>A．12eq\r<5>＋20B．24eq\r<2>＋20C．44 D．12eq\r<5>1题图2题图4．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于<>A．8＋2eq\r<2>B．11＋2eq\r<2>5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示<单位：寸>：若π取3,其体积为12.6<立方寸>,则图中的x的值为________．考点三球体1.球与正方体〔1正方体的内切球,位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切,正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为,球的半径为,这时有.〔2正方体的外接球,位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为,球的半径为,这时有.2.球与长方体：长方体内接于球,它的体对角线正好为球的直径.例〔1已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为eq\f<9π,2>,则正方体的棱长为________．〔2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为〔.A.B.C.D.3.正四面体.三棱锥与球的切接问题〔1正四面体的内切球,位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切,正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为,高为；球的半径为,这时有；〔2正四面体的外接球：例〔1若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则eq\f<S1,S2>＝________.〔2>已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形,是球的直径,且；则此棱锥的体积为〔A.B.C.D.4.其它棱锥〔柱与球的切接问题〔构造长方体、正方体模型例<1>.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是.<2>三棱锥的四个顶点都在球的表面上,⊥平面,⊥,,,则球的体积为〔3直三棱柱的六个顶点都在球的球面上．若,,,则球的表面积为____________．<4>正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为<>A.eq\f<81π,4>B．16πC．9πD.eq\f<27π,4>能力练通抓应用体验的"得"与"失"1.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示<图中三个四边形都是边长为2的正方形>,则该几何体外接球的体积为________．2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于<>A．1B．2C．3 D．43．如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为<>A．200πB．150πC．100π D．50π[全国卷5年真题集中演练——明规律]<2013·全国新课标1已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB＝1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________．1．<2016·全国甲卷>如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为<>A．20πB．24πC．28πD．32π2．<2016·全国甲卷>体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为<>A．12πB.eq\f<32,3>πC．8πD．4π3．<2016·全国丙卷>在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC,AB＝6,BC＝8,AA1＝3,则VA．4πB.eq\f<9π,2>C．6π D.eq\f<32π,3>4．<2015·新课标全国卷Ⅱ>一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为<>A.eq\f<1,8>B.eq\f<1,7>C.eq\f<1,6> D.eq\f<1,5>.5．<2015·新课标全国卷Ⅰ>圆柱被一个平面截去一部分后与半球<半径为r>组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π,则r＝<>A．1 B．2C．4 D．86．<2015·新课标全国卷Ⅰ>《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题："今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺．问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米<如图,米堆为一个圆锥的四分之一>,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有<>A．14斛B．22斛C．36斛 D．66斛7．<2015·新课标全国卷Ⅱ>已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB＝90°,C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为<>A．36πB．64πC．144π D．256π8．<2014·新课标全国卷Ⅱ>如图,网格纸上正方形小格的边长为1<表示1cm>,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为<>A.eq\f<17,27> B.eq\f<5,9>C.eq\f<10,27> D.eq\f<1,3>9．<2013·新课标全国卷Ⅰ>某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为<>A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π10．<2013·新课标全国卷Ⅰ>已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB＝1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________．第三节空间点、直线、平面之间的位置关系一．知识梳理1．公理1～3表示公理文字语言图形语言符号语言公理1公理2公理32．公理2的三个推论推论1：推论2：推论3：3．空间中两直线的位置关系：4.公理4和等角定理：①公理4：②等角定理：5．异面直线所成的角<1>定义<2>范围：6.空间中线面的位置关系：二．考点突破考点一点、线、面的位置关系[例1]<1>下列结论正确的是<>①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③〔2下列说法正确的是<>A．若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线B．若a与b异面,b与c异面,则a与c异面C．若a,b不同在平面α内,则a与b异面D．若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面〔3以下四个命题中,正确命题的个数是<>①不共面的四点中,其中任意三点不共线；②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面；③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2 D．3〔4下列命题中正确的是<>〔填序号①若直线上有无数个点不在平面内,则②若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都平行。③如果两平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行。④若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都没有公共点。[例2]已知：空间四边形ABCD<如图所示>,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG＝eq\f<1,3>BC,CH＝eq\f<1,3>DC.求证：<1>E,F,G,H四点共面；<2>三直线FH,EG,AC共点．能力练通抓应用体验的"得"与"失"1．如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是<>2.如图所示,四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形,G,H分别为FA,FD的中点,,．<1>证明：四边形BCHG是平行四边形；<2>C,D,F,E四点是否共面？为什么？异面直线所成的角[例1]<1>正方体中,的中点为,的中点为,异面直线与所成的角为度<2>长方体中,,则和所成的角为度；所成的角为度；[例2]空间四边形ABCD中,AB＝CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小．能力练通抓应用体验的"得"与"失"1.下列命题中,正确的是<>A．经过不同的三点有且只有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D．垂直于同一个平面的两个平面平行2.给出四个命题：①线段AB在平面内,则直线AB不在内；②两平面有一个公共点,则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合.其中正确命题的个数为<>A、1B、2C、3D、43.已知正方体,则直线与平面所成的角是<>A．90°B．60°C．45°D．30°4.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是<>A．l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D．l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面5．如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为________．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.<2016·全国乙卷>平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝mα∩平面ABB1A1＝n,则m,nA.eq\f<\r<3>,2>B.eq\f<\r<2>,2>C.eq\f<\r<3>,3>D.eq\f<1,3>2．<2013·新课标全国卷Ⅱ>已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则<>A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交,且交线垂直于lD．α与β相交,且交线平行于l3．<2016·全国甲卷>α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．<填写所有正确命题的编号>第四节直线与平面平行的判定与性质一.知识梳理1．直线a和平面α的位置关系有________、________、__________,其中________与________统称直线在平面外2．直线和平面平行的判定：<1>定义：直线和平面没有____________,则称直线和平面平行．<2>判定定理：<3>其他判定方法3.直线与直线平行的判定：4．直线和平面平行的性质定理：二.考点突破线面平行的判定[例1]〔1正方体中,为中点,求证：平面MMABCDF〔2如图:平行四边形和平行四边形有一条公共边,为的中点,证明:平面.〔3三棱柱中,点是中点,求证：平面〔4如图,在三棱台DEF­ABC中,AB＝2DE,点G,H分别为AC,BC的中点．求证：BD∥平面FG[例2]〔1在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M、N分别是AB、PC的中点,求证：MN∥平面PAD〔2如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C<3>如图所示,直三棱柱ABC－A′B′C′,∠BAC＝90°,AB＝AC＝λAA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.图５<4>已知正方体,是底对角线的交点.图５求证：平面能力练通抓应用体验的"得"与"失"下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是________<写出所有符合要求的图形序号>．,表示直线,表示平面,给出下列四个命题：①若,则；②若,,则；③若,则；④若,则.其中正确命题的个数有<>A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3.如图,四棱锥P­ABCD中,AD∥BC,AB＝BC＝eq\f<1,2>AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点．求证：<1>AP∥平面BEF；<2>GH∥平面PAD.4.在正方体中,E、G分别是BC,中点,求证：EG//平面线面平行性质定理的应用[例1]如图,四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2eq\r<17>.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.<1>证明：GH∥EF；<2>若EB＝2,求四边形GEFH的面积．,能力练通抓应用体验的"得"与"失"1．如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面PAHG交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.第五节平面与平面平行的判定与性质一.知识梳理平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理性质二.考点突破面面平行的判定与性质[例1]已知正方体,〔1求证：平面//平面。<2>若M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1求证：平面MNP∥平面A1BD.[例2]如图所示,三棱柱ABC－A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1与平面AC1D平行．[例3]如图所示,在三棱柱ABC­A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1<1>B,C,H,G四点共面；<2>平面EFA1∥平面BCHG.能力练通抓应用体验的"得"与"失"1.如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且二者所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.<1>求几何体ABCDFE的体积；<2>证明：平面ADE∥平面BCF.2．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．<1>请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处<不需说明理由>；<2>判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．<2016·全国丙卷>如图,四棱锥P­ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．<1>证明MN∥平面PAB；<2>求四面体N­BCM的体积．2．<2014·新课标全国卷Ⅱ>如图,四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点．<1>证明：PB∥平面AEC；<2>设AP＝1,AD＝eq\r<3>,三棱锥P­ABD的体积V＝eq\f<\r<3>,4>,求A到平面PBC的距离．第六节线、面垂直的判定与性质一.知识梳理1．直线与平面垂直<1>直线和平面垂直的定义：<2>直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理性质2.平面与平面垂直<1>平面与平面垂直的定义：<2>平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理性质定理二.考点突破直线与平面垂直的判定与性质例1．Rt△ABC所在平面外一点S,且SA＝SB＝SC,D为斜边AC的中点．<1>求证：SD⊥平面ABC；<2>若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.例2．如图所示,已知⊥矩形所在平面,分别是的中点.<1>求证:;<2>若求证:⊥平面.例3．如图所示,在直三棱柱中<侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三柱>,,⊥平面,为的中点.求证:<1>平面;<2>⊥平面.例4．如图所示,在四棱锥P­ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．证明：<1>CD⊥AE；<2>PD⊥平面ABE.平面与平面垂直的判定与性质例1.如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证：平面PMC⊥平面PCD.例2.在四面体中,已知,求证：平面平面.例3.如图,四棱锥P­ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB＝2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点．求证：<1>CE∥平面PAD；<2>平面EFG⊥平面EMN.能力练通抓应用体验的"得"与"失"1.如图,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为菱形,PB⊥平面ABCD.<1>若AC＝6,BD＝8,PB＝3,求三棱锥A­PBC的体积；<2>若点E是DP的中点,证明：BD⊥平面ACE.2.如图,在四棱锥P­ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD＝2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点求证：<1>PA⊥底面ABCD；<2>BE∥平面PAD；<3>平面BEF⊥平面PCD.第七节平行与垂直的综合问题一.知识梳理1．平行关系之间的转化2．垂直关系之间的转化.二.考点突破证明多面体中的平行与垂直关系例1.如图,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,D,E分别为AB,的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B求证：<1>直线DE∥平面A1C1F；<2>平面B1DE⊥平面例2.如图所示,在四棱锥中,平面⊥平面,,是等边三角形,已知,.<1>设是上的一点,求证:平面⊥平面;<2>求四棱锥的体积.例3.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD＝PD＝2MA.<1>求证：平面EFG⊥平面PDC；<2>求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．例4.如图,在多面体ABC－A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1BB1,AB＝AC＝AA1＝eq\f<\r<2>,2>BC,B1C1eq\f<1,2>BC.<1>求证：A1B1⊥平面AA1C<2>若D是BC的中点,求证：B1D∥平面A1C<3>若BC＝2,求几何体ABC－A1B1C1平行与垂直关系中的探索性问题例1.如图所示,在正方体中,分别是的中点.<1>求证:<2>求证:;<3>棱上是否存在点,使⊥平面？若存在,确定点的位置,若不存在,说明理由.例2.如图,在四棱锥P­ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.<1>求证：DC⊥平面PAC；<2>求证：平面PAB⊥平面PAC；<3>设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF？说明理由．能力练通抓应用体验的"得"与"失"1.已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是∠A＝60°的菱形,又PD⊥底面ABCD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.<1>证明：DN∥平面PMB；<2>证明：平面PMB⊥平面PAD.2.如图,在三棱柱ABC­A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,BB1D,E,F分别是CC1,A1C1,B1C1的中点,G在BB1上,且BG＝3GB求证：<1>B1D⊥平面ABD；<2>平面GEF∥平面ABD.[全国卷5年真题集中演练——明规律]〔2017年6．如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB与平面MNQ不平行的是16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB