2024步步高考二轮数学新教材讲义专题四　第1讲　空间几何体含答案

2024步步高考二轮数学新教材讲义第1讲空间几何体一、单项选择题1．(2023·唐山模拟)若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶32．(2023·锦州模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，P，Q是棱DD1的两个三等分点，则三棱锥Q－PBC的体积为()A.eq\f(8,3)B.eq\f(32,9)C.eq\f(16,9)D.eq\f(16,3)3.(2023·泉州模拟)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点O滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的表面积为()A．36πB．27πC．18eq\r(2)πD．9π4．(2023·长沙模拟)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年)．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积水深九寸时，平地的降雨量是()(注：一尺＝10寸，平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积)A．9寸 B．6寸C．4寸 D．3寸5．(2023·日照模拟)红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分．如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积S＝2πRh.如图1，已知该灯笼的高为58cm，上、下圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为()A．1940πcm2 B．2350πcm2C．2400πcm2 D．2540πcm26．(2023·淄博模拟)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是()A.eq\f(16π,9) B.eq\f(8π,9)C.eq\f(16π,27) D.eq\f(8π,27)7．(2023·广西联考)已知在一个表面积为24的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在B1D上运动，则当BE＋A1E取得最小值时，AE等于()A．2B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\r(3)D.eq\f(3\r(2),4)8．(2023·广州模拟)现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥(顶点在下方，底面在上方)，将半径为eq\f(\r(3),2)的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为()A.eq\f(27π,8)B.eq\f(33π,8)C.eq\f(45π,8)D.eq\f(55π,8)二、多项选择题9．有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的体对角线的长度为()A．2eq\r(2)B．2eq\r(6)C．4eq\r(5)D.eq\r(66)10．(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面积为eq\r(3)11．(2023·德州模拟)如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是()A．PD⊥EFB．三棱锥P－DEF的外接球的体积为2eq\r(6)πC．点P到平面DEF的距离为eq\f(2,3)D．二面角P－EF－D的余弦值为eq\f(1,4)12．(2023·辽阳统考)若正三棱锥P－ABC的底面边长为3，高为eq\r(6)，则该正三棱锥的()A．体积为eq\f(9\r(2),4)B．表面积为9eq\r(3)C．外接球的表面积为27πD．内切球的表面积为eq\f(3π,2)三、填空题13.(2023·郑州模拟)攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面的等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为____________________________________________．14．(2023·新高考全国Ⅰ)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，则该棱台的体积为________．15．(2023·八省八校联考)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的eq\f(1,3)，则EF的最小值为________．16．(2023·辽阳模拟)将3个6cm×6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图(1)所示，将这6个部分接入一个边长为3eq\r(2)cm的正六边形上，如图(2)所示．若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为________cm3.第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、单项选择题1．(2023·安阳统考)若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．异面或相交2．(2023·河南校联考模拟)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥βB．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β3．(2023·泉州联考)如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是()4．(2023·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE与B1C1为异面垂直D．A1C1∥平面AB1E5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则()A．A，M，N，B四点共面B．平面ADM⊥平面CDD1C1C．直线BN与B1M所成的角为30°D．BN∥平面ADM6．(2023·长春吉大附中模拟)如图，在矩形AEFC中，AE＝2，EF＝2eq\r(2)，B为EF的中点，现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P－ABC，则下列结论不正确的是()A．AC⊥BPB．三棱锥P－ABC的体积为eq\f(4\r(2),3)C．直线PA与平面ABC所成角的大小为eq\f(π,6)D．三棱锥P－ABC外接球的半径为eq\f(\r(10),2)二、多项选择题7.(2023·深圳模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，则下列命题中的真命题有()A．存在点P，使得PQ⊥A1C1B．存在点P，使得PQ∥A1BC．直线PQ始终与直线CC1异面D．直线PQ始终与直线BC1异面8.(2023·安庆模拟)如图，已知四边形ABCD，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△ABD为等边三角形，BD＝2，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD，在翻折的过程中，下列结论中正确的是()A．BD⊥PCB．DP与BC可能垂直C．四面体PBCD体积的最大值是eq\f(\r(3),3)D．直线DP与平面BCD所成角的最大值是eq\f(π,4)三、填空题9．平面α内两条相交直线l，m都不在平面β内．命题甲：l和m中至少有一条与平面β相交；命题乙：α与β相交．则甲是乙的______________条件．10.如图，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝________.11.如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝eq\f(\r(3),2)AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD内经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．12.(2023·北京模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，平面ACE将正方体分成体积分别为V1，V2(V1≤V2)的两部分，则eq\f(V1,V2)＝________.四、解答题13.(2023·西安联考)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝4，AD＝eq\r(3)，DC＝1，点M为AB上一点，且AM＝1.(1)证明：平面MCC1⊥平面DCC1D1；(2)若点N是B1C1上一点，且MN∥平面ACC1A1，求四面体MNBB1的体积．14．(2023·成都模拟)如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个空间五面体，如图2.(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；(2)若∠AEB＝eq\f(2π,3)，求三棱锥A－BEF的体积．第1讲空间几何体1．A2.B3.A4.D5.C6.A7．A[作出图形，如图所示．依题意6AB2＝24，故AB＝2，将平面A1B1D翻折至与平面BB1D共面，易得△A1B1D≌△BB1D，故当A1E⊥B1D时，BE＋A1E有最小值，此时eq\f(B1E,DE)＝eq\f(1,2)，过点E作平面ABCD的垂线，垂足为F，则BF＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(2\r(2),3)，EF＝eq\f(2,3)BB1＝eq\f(4,3)，由余弦定理得AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos45°＝4＋eq\f(8,9)－2×2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(20,9)，则AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(\f(20,9)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝2.]8．D[作轴截面图如图所示，△ABC为圆锥的轴截面，点O为与侧面相切球的球心，点E，F为切点，由已知，可得AB＝BC＝AC＝4，OE＝OF＝eq\f(\r(3),2)，∠ACB＝60°，OE⊥AC，在△OEC中，OE＝eq\f(\r(3),2)，∠OEC＝90°，∠OCE＝30°，所以OC＝eq\r(3)，CE＝eq\f(3,2)，又AC＝4，所以AE＝eq\f(5,2)，所以圆台的母线长为eq\f(5,2)，因为CE＝CF，∠ECF＝60°，所以△ECF为等边三角形，所以EF＝eq\f(3,2)，所以圆台的侧面积S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋2))×eq\f(5,2)＝eq\f(55π,8).]9．BD[分两种情况求解：①若正四棱柱的高为8，则底面边长为1，此时体对角线的长度为eq\r(82＋1＋1)＝eq\r(66)；②若正四棱柱的高为4，则底面边长为2，此时体对角线的长度为eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6).]10．AC[依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝eq\r(3).A项，圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，故A正确；B项，圆锥的侧面积为π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，故B错误；C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，则AC＝2eq\r(2)，故C正确；D项，PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，故D错误．]11．AC[如图1，取EF的中点H，连接PH，DH，易知△PEF和△DEF均为等腰三角形，故PH⊥EF，DH⊥EF，又因为PH∩DH＝H，所以EF⊥平面PDH，又PD⊂平面PDH，所以PD⊥EF，A正确；图1由PE，PF，PD三线两两互相垂直，可构造如图2所示的长方体，长方体的外接球就是三棱锥P－DEF的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2R，则(2R)2＝12＋12＋22＝6，则R＝eq\f(\r(6),2)，所以所求外接球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\r(6)π，B错误；图2设点P到平面DEF的距离为h，如图1，在△EHD中，EH＝PH＝eq\f(\r(2),2)，DE＝eq\r(5)，DH＝eq\r(DE2－EH2)＝eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，由等体积法可得V三棱锥D－PEF＝V三棱锥P－DEF，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)×h，解得h＝eq\f(2,3)，C正确；如图1，因为PH⊥EF，DH⊥EF，所以∠PHD即为二面角P－EF－D的平面角，因为PD⊥PF，PD⊥PE，且PF∩PE＝P，PE，PF⊂平面PEF，所以PD⊥平面PEF，又PH⊂平面PEF，则PD⊥PH，即∠DPH＝90°，在Rt△PHD中，cos∠PHD＝eq\f(PH,DH)＝eq\f(1,3)，D错误．]12．ABD[如图，三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×eq\r(6)＝eq\f(9\r(2),4)，故A正确；取AB的中点D，连接CD，PD，则在正三棱锥P－ABC中，AB⊥CD，AB⊥PD.作PH⊥平面ABC，垂足为H，则PH＝eq\r(6).由正三棱锥的性质可知H在CD上，且CH＝2DH.因为AB＝3，所以CD＝eq\f(3\r(3),2)，则CH＝eq\r(3).因为PH＝eq\r(6)，所以PC＝eq\r(3＋6)＝3，则三棱锥P－ABC的表面积为eq\f(9\r(3),4)×4＝9eq\r(3)，故B正确；设三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，半径为R，则O在PH上，连接OC，则R2＝CH2＋OH2＝(PH－OH)2，即R2＝3＋OH2＝(eq\r(6)－OH)2，解得OH＝eq\f(\r(6),4)，所以R2＝3＋eq\f(3,8)＝eq\f(27,8)，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为4πR2＝eq\f(27π,2)，故C错误；设三棱锥P－ABC的内切球的半径为r，则eq\f(1,3)×9eq\r(3)r＝eq\f(9\r(2),4)，解得r＝eq\f(\r(6),4)，从而三棱锥P－ABC的内切球的表面积为4πr2＝eq\f(3π,2)，故D正确．]13.eq\r(3)14.eq\f(7\r(6),6)15.eq\f(\r(3),3)解析由题知VB－AEF＝eq\f(1,3)VB－ACD，所以S△AEF＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)，记EF＝a，AE＝b，AF＝c，则eq\f(1,2)bcsin60°＝eq\f(\r(3),12)，即bc＝eq\f(1,3).则a2＝b2＋c2－2bccos60°≥2bc－bc＝bc＝eq\f(1,3)，当且仅当b＝c＝eq\f(\r(3),3)时等号成立，所以EF的最小值为eq\f(\r(3),3).16．108解析将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积的一半，即eq\f(1,2)×63＝108(cm3)．第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系1．D2.D3.D4.C5.B6．B[由题意可知由BP⊥AP，BP⊥CP，又AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面PAC，所以BP⊥平面PAC，因为AC⊂平面PAC，所以AC⊥BP，故A正确；在△PAC中，PA＝PC＝2，AC＝2eq\r(2)，所以△PAC为直角三角形，所以VP－ABC＝VB－PAC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)，故B错误；设点P到平面ABC的距离为h，则VP－ABC＝eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(1,3)S△ABCh⇒h＝eq\f(2\r(2),S△ABC)，由于S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2＝2eq\r(2)，所以h＝1，又PA＝2，设直线PA与平面ABC所成的角为θ，则sinθ＝eq\f(h,PA)＝eq\f(1,2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6)，故C正确；由B选项知，△PAC为直角三角形，所以△PAC外接圆的半径r＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，又因为BP⊥平面PAC，则R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PB))2＝(eq\r(2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(5,2)，所以R＝eq\f(\r(10),2)，即三棱锥P－ABC外接球的半径为eq\f(\r(10),2)，故D正确．]7.ABD[在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易得A1C1⊥平面BDD1B1，因为点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，当点P和点D1重合时，PQ⊂平面BDD1B1，所以PQ⊥A1C1，故A正确；连接A1D，A1B，当点P为线段A1D的中点时，PQ为△A1BD的中位线，即PQ∥A1B，故B正确；CC1⊂平面AA1C1C，当点P和点A重合时，PQ⊂平面AA1C1C，所以直线PQ和CC1在同一平面内，故C错误；BC1⊂平面ABC1D1，PQ∩平面ABC1D1＝P，P∉BC1，所以直线PQ始终与直线BC1不相交，且不平行，所以直线PQ与直线BC1是异面直线，故D正确．]8．ABC[对于A，如图所示，取BD的中点M，连接PM，CM，∵△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，∴BD⊥CM，∵△ABD为等边三角形，∴BD⊥PM，又PM∩CM＝M，PM，CM⊂平面PMC，∴BD⊥平面PMC，又PC⊂平面PMC，∴BD⊥PC，故A正确；对于B，假设DP⊥BC，又BC⊥CD，CD∩DP＝D，CD，DP⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC，又PB＝2，BC＝eq\r(2)，易知PC∈[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1]，当PC＝eq\r(2)时，BC2＋PC2＝PB2，故DP与BC可能垂直，故B正确；对于D，当平面PBD⊥平面BCD时，平面PBD∩平面BCD＝BD，BD⊥PM，PM⊂平面PBD，此时PM⊥平面BCD，∠PDB即为直线DP与平面BCD所成的角，此时∠PDB＝eq\f(π,3)，故D错误；对于C，易知当平面PBD⊥平面BCD时，此时四面体PBCD的体积最大，此时的体积V＝eq\f(1,3)S△BCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)，故C正确．]9．充要10.eq\f(1,2)11.无数12.eq\f(7,17)解析如图所示，取B1C1的中点H，连接EH，CH，A1C1，因为AC∥平面A1B1C1D1，故AC平行于平面ACE与平面A1B1C1D1的交线，又E，H分别为A1B1，B1C1的中点，易知EH∥A1C1∥AC，即平面ACE∩平面A1B1C1D1＝EH，故平面ACE将正方体分为如图所示的两部分，设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，V1＝＝eq\f(1,3)(＋S△ABC＋eq\r(·S△ABC))·BB1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2＋\r(\f(1,2)×2)))×2＝eq\f(7,3)，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(7,3),8－\f(7,3))＝eq\f(7,17).13．(1)证明因为AM＝1，所以AM＝CD，AM∥CD，又AB⊥AD，所以四边形ADCM为矩形，即CD⊥CM.由题可知CC1⊥平面ABC