机器人正运动学和逆运动学

3.机器人正逆运动学3.1机器人正运动学方程3.2机器人逆运动学方程本章主要内容机器人运动学研究的问题：机器人末端在空间的运动与各个关节的运动之间的关系。3.1机器人正运动学方程定义：描述机器人末端相对于绝对坐标系或基座坐标系的位置姿态的数学表达式运动学方程的模型：

M——机器人手在空间的位姿

qi——机器人各个关节变量已知杆件几何参数和关节角求机器人末端相对于参考坐标系的位置和姿态。3.1机器人正运动学方程3.1机器人正运动学方程连杆描述连杆连接的描述对连杆附加坐标系的规定机器人运动学PUMA560运动学方程

机器人的各连杆通过关节连接在一起，关节有移动副与转动副两种。关节和连杆的编号：机座

称杆件0，…机座与杆件1的关节编号—关节1,类推之.关节编号3.1.1连杆描述描述一个连杆的两个参数:1、连杆长度ai-1

关节轴i-1和关节轴i之间的公垂线的长度ai-1假设条件把连杆看作是一个刚体2、连杆扭角αi-1

假设作一个平面,并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直,然后把关节轴i-1和关节轴i投影到该平面上,在平面内轴i-1按照右手法则转向轴i,测量两轴角之间的夹角为αi-1.3.1.2连杆连接的描述

描述连杆连接的两个参数:1)linkoffset连杆偏距di.相邻两个连杆之间有一个公共的关节，沿着两个相邻连杆公共法线线的距离可以用一个参数描述为连杆偏距di.

当i为移动关节时,连杆偏距为一变量.（1）连杆中的中间连杆2)jointangle关节角θi.描述两个相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角θi.

当i为转动关节时,关节角为一变量.3.1.2连杆连接的描述（2）连杆中的首尾连杆对于运动链中的末端连杆,其参数习惯设为0,即从关节2到关节n的连杆偏距di和关节角θi.是根据前面的规定进行定义.关节1(或n)如果为转动关节,则θ1的零位可以任意选取,规定d1=0.0，关节1(或n)如果为移动关节,则d1的零位可以任意选取,规定θ1=0.0;3.1.2连杆连接的描述（3）连杆参数对于转动关节,θi为关节变量,其他三个参数固定不变;对于移动关节,di为关节变量,其他三个参数固定不变;这种用连杆参数描述机构运动关系的方法称为Denavit-Hartenberg参数法,对于一个6关节机器人,需要用18个参数完全描述这些固定的运动学参数,可用6组(ai-1,αi-1,di)表示，用6个关节变量θi描述运动学中的变化部分。3.1.3连杆附加坐标系的规定为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要在每个连杆上定义一个固连坐标系.（1）连杆中的中间连杆规定:坐标系{i-1}的Z轴称为Zi-1,与关节轴i-1重合;坐标系{i-1}的原点位于公垂线ai-1与关节轴i-1的交点处.Xi-1轴沿ai-1方向由关节i-1指向关节i(若:ai-1

=0,则Xi-1垂直于Zi-1和Zi所在的平面;Yi-1轴由右手定则确定Yi-1=

Zi-1×Xi-13.1.3连杆附加坐标系的规定坐标系{0}通常规定:Z0轴沿着关节轴1的方向,当坐标系1的关节变量为0时,设定参考坐标系{0}与{1}重合.且a0=0,α0=0,当关节1为转动关节,d1=0;当关节1为移动关节,θ1=0.坐标系{n}通常规定:对于转动关节n,设定θn=0.0,此时Xn和Xn-1轴的方向相同,选取坐标系{n}的原点位置,使之满足dn=0;对于移动关节n,{n}的设定使之满足θn=0.0，且当dn=0时,Xn与Xn-1重合.(2)连杆中的首尾连杆3.1.3连杆附加坐标系的规定（3）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳αi-1通常规定,其余可正可负.按照上述规定的坐标系不是唯一的；Zi的指向有两种选择;如果关节轴相交,Xi轴的指向也有两种选择.当相邻两轴平行时,坐标系原点可以任意选择.当关节为移动关节时,坐标系的选取具有一定任意性.3.1.3连杆附加坐标系的规定确定关节轴，并画出轴的延长线。找出关节轴i-1和i的公垂线或交点，作为坐标系i-1的原点。规定Zi-1的指向是沿着第i-1个关节轴。规定Xi-1轴得指向是沿着轴i-1和i的公垂线的方向，如果关节轴i-1和i相交，则Xi-1轴垂直于关节轴i-1和i所在的平面。Yi-1轴的方向由右手定则确定Yi-1=

Zi-1×Xi-1。当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1}重合，对于坐标系{N}，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.（4）建立连杆坐标系的步骤αi-13.1.3连杆附加坐标系的规定【例题1】iai-1αi-1diθi1000θ12L100θ23L200θ33.1.4操作臂运动学方程

目的：求出相邻连杆间的坐标变换的形式，进一步求出连杆n相对于连杆0的位置和姿态。（1）推导过程：1.坐标系{i-1}相对于坐标系{i}的变换是由连杆四个参数构成的函数，其中只有一个变量。2.为求解，对每个连杆建立坐标系，分解成4个子变换问题，每个子变换只包含一个连杆参数。3.定义三个中间坐标系{R}{Q}

{P}：坐标系{R}是由坐标系{i-1}绕Xi-1轴偏转αi-1得到；坐标系{Q}是由坐标系{R}沿着Xi-1轴平移ai-1得到；坐标系{P}是由坐标系{Q}绕Zi轴旋转Θi得到；坐标系{i}是由坐标系{P}沿着Zi轴平移di得到。{R}{Q}{P}3.1.4操作臂运动学方程最后，得到相邻连杆的一般变换为：（相对于运动坐标系，算子右乘）3.定义三个中间坐标系{R}{Q}

{P}：坐标系{R}是由坐标系{i-1}绕Xi-1轴偏转αi-1得到；坐标系{Q}是由坐标系{R}沿着Xi-1轴平移ai-1得到；坐标系{P}是由坐标系{Q}绕Zi轴旋转Θi得到；坐标系{i}是由坐标系{P}沿着Zi轴平移di得到。3.1.4操作臂运动学方程（2）连续连杆变换定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学方程，坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵为：变换矩阵是关于n个关节变量的函数，这些变量可以通过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆在基坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。例题例题建立下图所示的SCARA机器人的正运动学方程。3.1.5PUMA560型机器人运动学方程3.1.5PUMA560型机器人运动学方程3.1.5PUMA560型机器人运动学方程1.确定D-H坐标系2.确定各连杆D-H参数和关节变量αi-1=沿Xi-1轴,从Zi-1到Zi的距离；ai-1=绕Xi-1轴,从Zi-1到Zi的角度；di=沿Zi轴,从Xi-1到Xi的距离;θi=绕Zi轴,从Xi-1旋转到Xi的角度;iαi-1ai-1diθi100°0θ1(90°)20-90°d2θ2(0°)3α20°0θ3(-90°)4α3-90°d4θ4(0°)5090°0θ5(0°)60-90°0θ6(0°)3.求出两杆间的位姿矩阵3.1.5PUMA560型机器人运动学方程不同的坐标系下D-H矩阵是不同的，关键是约定!!3.1.5PUMA560型机器人运动学方程4.求末杆的位姿矩阵3.1.5PUMA560型机器人运动学方程3.1.5PUMA560型机器人运动学方程3.1.5PUMA560型机器人运动学方程5.验证与图示情况一致。3.2机器人逆运动学方程

已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？3.2机器人逆运动学可解性多解性求解方法PUMA560逆解过程3.2.1可解性解的存在问题取决于操作臂的工作空间（Workspace） 工作空间：操作臂末端执行器所能到达的范围（反解存在的区域）所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有个6自由度或小于6个自由度时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。要使机器人有解析解，设计时就要使机器人的结构尽量简单，而且尽量满足连续三个旋转关节的旋转轴交会于一点，或连续三个关节轴互相平行的充分条件。（Pieper准则）3.2.2多解性对于给定的位置与姿态，它具有多组解。造成机器人运动学逆解具有多解是由于解反三角函数方程产生的。对于一个真实的机器人，只有一组解与实际情况对应，为此必须做出判断，以选择合适的解。通常采用剔除多余解的方法：为此必须做出判断，以选择合适的解。通常(1)根据关节运动空间来选择合适的解。

(2)选择一个最接近的解。

(3)根据避障要求选择合适的解。

(4)逐级剔除多余解。3.2.3求解方法操作臂全部求解方法分为：封闭解和数值解法。数值解法是利用迭代性质求解，速度慢。封闭解是我们主要的求解方法。封闭解分为代数解和几何解（1）代数解3.2.3求解方法通过比较，我们得出四个方程：求得：3.2.3求解方法几何方法中，首先将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度（2）几何解3.2.4PUMA560机器人逆运动学方程问题：已知求：各转角再利用三角代换:和，其中3.2.4PUMA560机器人逆运动学方程首先求θ1

，将等式两端左乘，得上式两端的元素（2，4）对应相等，得：把它们代入代换前的式子得：

再求θ3。再令矩阵方程两端的元素（1,4）和（3,4）分别对应相等得：3.2.4PUMA560机器人逆运动学方程两边平方相加得：合并同类项并整理得：令，再利用三角代换可得：式中正，负号对应着θ3

的两种可能解。3.2机器人逆运动学然后