中考数学总复习《菱形》专项提升训练带答案

第第页中考数学总复习《菱形》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.第1题图(1)若四边形ABCD为平行四边形，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；【判定依据】________________________；(2)若AB＝BC，AD＝CD，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；【判定依据】________________________．2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知∠ABC＝60°，AB＝2.第2题图(1)BC＝________，AO＝________，OC＝________，BO＝________；(2)∠BCD＝________，∠ABD＝________，∠BAO＝________；(3)菱形ABCD的周长为________，面积为________．知识逐点过考点1菱形的性质及面积边对边平行，四条边①________角对角②________对角线对角线互相③________，并且每一条对角线④________一组对角(人教独有)对称性既是轴对称图形又是中心对称图形，有⑤______条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点面积公式S＝ah＝eq\f(1,2)mn【温馨提示】菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形考点2菱形的判定边1.有一组⑥________的平行四边形是菱形(定义)；2．⑦________相等的四边形是菱形对角线对角线互相垂直且平分的四边形是菱形真题演练命题点与菱形性质有关的计算1.菱形的边长为5，则它的周长为________．2.如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．第2题图拓展训练3.如图，在边长为5的菱形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，则△DEF的面积为________．第3题图教材原题到重难考法与菱形有关的证明与计算例如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠DEF＝∠DFE.例题图变式题1.变菱形中所含的三角形顶角为特殊角，满足120°角含60°角的半角模型如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且∠A＝∠EDF＝60°.若AE＋CF＝6，求菱形ABCD的面积．第1题图2.连接对角线，探究线段间的数量关系如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的动点，AB＝4，AE＝BF，∠A＝60°，连接BD，DE，DF，EF，EF与BD相交于点G.(1)求证：△AED≌△BFD；(2)若BF＝1，求eq\f(GF,GE)的值．第2题图基础过关1.如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°D.80°第1题图2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()A.1B.2C.3D.4第2题图3.如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是()A.(5，－2)B.(2，－5)C.(2，5)D.(－2，－5)第3题图4.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝()A.2B.eq\f(5,2)C.3D.4第4题图5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：__________，使四边形ABCD成为菱形．第5题图6.若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为__________．7.如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为__________．第7题图8.在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3∶4，那么sin∠BAC＝__________．第8题图9.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为点B，D，若AB＝6cm，则EF＝________cm.第9题图10.如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.(1)求证：AE∥BF；(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形．第10题图综合提升11.如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为________.第11题图新考法推荐12.(注重教材定理的证明)思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为点O.求证：▱ABCD是菱形．知识应用(2)如图②，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝eq\f(1,2)∠ACD，求eq\f(OF,EF)的值．图①图②第12题图菱形1.(1)AC⊥BD(答案不唯一)【判定依据】对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2)AB＝AD(答案不唯一)【判定依据】四条边都相等的四边形是菱形．(1)2，1，1，eq\r(3)；(2)120°，30°，60°；(3)8，2eq\r(3).知识逐点过①相等②相等③垂直且平分④平分⑤两⑥邻边相等⑦四条边真题演练1.20【解析】∵菱形的四条边都相等，且边长为5，∴菱形的周长为20.2.(1)证明：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝AD＝AF，∴△ABF是等腰三角形，又∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF；(3分)(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，由(1)知AB＝AD＝AF，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，(5分)∵∠BAD＝∠FAD，∴∠BAD＝30°，又∵AB∥CD，∴∠ADC＋∠BAD＝180°，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝150°.(7分)3.9【解析】如解图，连接AC交BD于点O，记EF交BD于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，且AO＝CO，BO＝DO＝eq\f(1,2)BD＝4，在Rt△ABO中，AB＝5，BO＝4，∴AO＝3，∴AC＝6，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝3，GO＝eq\f(1,2)BO＝2，∵DO＝4，∴DG＝6，∴S△DEF＝eq\f(1,2)EF·DG＝eq\f(1,2)×3×6＝9.第3题解图教材原题到重难考法例证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝CD，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD,∠A＝∠C,AE＝CF))，∴△ADE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)知△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE.1.解：如解图，连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABD和△BCD均为等边三角形，∴CD＝BD，∠C＝∠DBE＝∠BDC＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠EDB＋∠BDF＝∠BDF＋∠FDC＝60°，∴∠EDB＝∠FDC，∴△DBE≌△DCF，∴BE＝CF，∵AE＋CF＝6，∴AE＋BE＝6＝AB，∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2×eq\f(\r(3),4)AB2＝18eq\r(3).第1题解图2.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，又∵∠A＝60°，∴∠C＝60°，∴△ABD和△BCD是等边三角形，∴∠A＝∠DBF＝60°，AD＝BD.在△AED和△BFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝BF,∠A＝∠DBF,AD＝BD))，∴△AED≌△BFD(SAS)；(2)解：如解图，过点E作EM∥AD交BD于点M，第2题解图由(1)知△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠ABD＝60°，∵EM∥AD，∴∠BEM＝∠A＝∠ABD＝60°，∴△BEM为等边三角形，∵AB＝4，BF＝1，∴EM＝BE＝AB－AE＝AB－BF＝3，∵EM∥AD，BF∥AD，∴BF∥EM，∴△BGF∽△MGE，∴eq\f(GF,GE)＝eq\f(BF,ME)＝eq\f(1,3).基础过关1.C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∠ACD＋∠2＝90°.∵∠1＝20°，∴∠2＝90°－20°＝70°.2.B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4.∵将线段AB水平向右平移得到线段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF为平行四边形．当CD＝CE＝4时，四边形ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.3.B【解析】∵四边形ABCD是菱形且对角线交点与坐标原点O重合，∴OA＝OC，且点A与点C关于原点对称．∵点A(－2，5)，∴点C的坐标是(2，－5).4.B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC.∵BD＝8，AC＝6，∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝eq\r(42＋32)＝5.在Rt△OBC中，∵∠BOC＝90°，点E是BC的中点，∴OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2).5.AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等)【解析】当添加AD∥BC时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加AB＝CD时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加OB＝OD时，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)，∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；当添加∠ADB＝∠CBD时，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.6.24【解析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半可得，该菱形的面积为eq\f(1,2)×6×8＝24.7.10【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵AB＝10，∴AC＝AB＝10.8.eq\f(4,5)【解析】由题意可设AC＝6x，BD＝8x，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝3x，OB＝4x，∴AB＝eq\r(AO2＋BO2)＝5x.在Rt△BAO中，sin∠BAC＝eq\f(BO,AB)＝eq\f(4x,5x)＝eq\f(4,5).9.2eq\r(3)【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵∠DAB＝60°，∴∠EAB＝∠DCF＝30°，∠ADC＝120°，∴∠FDA＝∠FAD＝30°，∴AF＝DF，AB＝CD.∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠ABE＝∠CDF＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(ASA)，∴BE＝DF.∴BE＝AF，在Rt△ABE中，设BE＝AF＝x，则AE＝2x，即x2＋62＝(2x)2，解得x＝2eq\r(3)，∴EF＝AE－AF＝2eq\r(3).10.证明：(1)∵AD＝BC，∴AD＋DC＝BC＋DC，即AC＝BD.在△AEC和△BFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BD,AE＝BF,CE＝DF))，∴△AEC≌△BFD(SSS)，∴∠A＝∠B，∴AE∥BF；(2)方法一：由(1)知，∠A＝∠B，在△ADE和△BCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝BF,∠A＝∠B，,AD＝BC))∴△ADE≌△BCF(SAS)，∴DE＝CF.又∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形．∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形．方法二：由(1)知，△AEC≌△BFD，∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF.又∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形．∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形．11.24【解析】∵CF∥BE，∴∠BEO＝∠CFO.∵BC的垂直平分线EO交AD于点E，∴BO＝CO，∠BOE＝∠COF＝90°，∴△BOE≌△COF(AAS)，∴BE＝CF，OE＝OF，∴四边形BFCE为平行四边形．∵EF⊥BC，∴▱BFCE为菱形．∵在▱ABCD中，AD＝8，∴BC＝8，∴OC＝eq\f(1,2)BC＝4.∵CE＝5，∴在Rt△EOC中，OE＝eq\r(EC2