广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题注意事项：1．本试卷共4页，共22题，满分150分，考试用时120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应〖答案〗的选项涂黑.4．非选择题的〖答案〗写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5．考试结束后，考生上交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以，，所以焦点坐标为，故选：D2.已知直线l的方向向量为，则l的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直线的一个方向向量为，则直线斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：B.3.设平面和的法向量分别为．若，则（）A.4 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，解得.故选：C4.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.18 B.19 C.20 D.〖答案〗C〖解析〗由题意，所以.故选：C.5.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为双曲线的离心率为，所以，解得，且焦点在x轴上，所以其渐近线方程为，故选：C6.正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，得，所以，即直线与所成角的余弦值为.故选：D7.已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意,其中.设，由，得，即，代入椭圆得，解得离心率.故选：A8.己知是公比不为1的等比数列的前n项和，则“成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由题意知为等比数列，设其公比为，，充分性：若成等差数列，则，即，得，由，，，，所以，因为，所以，所以成等差数列，故充分性满足；必要性：若成等差数列，即，即，化简得，则，所以，即，所以成等差数列，故必要性满足；综上，“成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的充要条件，故C正确.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则两两夹角为，，所以，对于A，，正确；对于B，因为，所以，错误；对于C，因为，所以，所以，正确；对于D，因为，所以，错误.故选：AC10.已知直线与圆交于A，B两点，则（）A.圆D的面积为 B.l过定点C.面积的最大值为 D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A：圆即的圆心为，半径，故圆D的面积为，正确；对于B：将直线整理为：，令，解得，即直线过定点，正确；对于C：定点到圆心的距离，设点到直线距离为，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故的面积的最大值为，错误；对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小，当直线过圆心时，弦的长度最大，所以可得，正确.故选：ABD11.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗由，得，即，由，得，即，所以.A：由，可知，故A正确；B：由，可知数列的公差，故B错误；C：，由知随的增大而增大，则，所以的最小值为，故C正确；D：当时，；当时，；当时，；当时，，所以当时，；当时，；当时，，又，，所以，，所以，即，所以的最小值为，故D正确；故选：ACD12.过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与E的另外两个交点分别为A，B，则（）A.E的准线方程为B.过点M与E相切的直线方程为C.直线AB过定点D.的最小值为〖答案〗BD〖解析〗对于A,因为点在抛物线上，所以，则，抛物线方程为，则其准线方程为，故A错误；对于B,联立，消元得，则，故直线与抛物线相切，又点在直线上，则过点M与E相切的直线方程为，故B正确；对于C,依题知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，联立，消元得，设，则，，，又,则，则，即，所以，或者，当时，直线方程为，化，则过定点，当时，直线方程为，即，过定点，此时不符合题意，故C错误；对于D,设直线，联立，消元得，设，则，则，所以，因为,用替换得，，所以（利用了权方和不等式:，当且仅当时，等号成立），当且仅当即，时等号成立，故D正确，故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与直线平行，则_____________．〖答案〗〖解析〗因为直线与直线平行，则，解得.故〖答案〗为：.14.圆与圆的公共弦的长为_____________．〖答案〗〖解析〗由，得，即两圆公共弦所在直线的方程为，圆，圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以公共弦长为.故〖答案〗为：15.知数满足，则数列的通项公式_____________．〖答案〗〖解析〗由可得：，又,，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故〖答案〗为：16.已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线l与C只有一个公共点P，且，则C的离心率为_____________．〖答案〗〖解析〗由题意可知：，若过的直线l与C只有一个公共点P，可知直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且，可知为锐角，不妨设直线l的斜率，即，联立，解得，且，可得，又因为，即，可得，所以C的离心率为.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．解：（1）设等差数列的公差为，又，所以，解得，所以的通项公式．（2），所以．18.如图，正方体的棱长为2，O为的中点，点E在棱上，且．（1）证明：平面ABCD；（2）求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）在棱长为2的正方体中，以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，则，，由，得，解得，即，显然平面ABCD，即为平面ABCD的法向量，而，则，即平面ABCD，又平面ABCD，平面ABCD．（2）由（1）知，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，，，所以直线与平面所成角的余弦值为.19.己知动点P到直线距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．解：（1）因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，所以动点P到直线的距离和到点距离相等，故曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线E的方程为．（2）设，易知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为，联立，消去x得，，所以，，解得，所以直线l的方程为或．20.已知数列的前n项和为，满足，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）由可得，当时，，以上两式相减可得，当时，，满足，所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列，故．（2）由（1）可得，所以，所以，两式相减，得所以．21.如图，在三棱柱中，底面侧面．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为为锐角，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）平面平面，平面，平面平面，平面，平面，，，，，四边形为菱形，，平面，平面．（2）平面ABC，，，可得，又，，为锐角，以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，平