备战2024年高考模拟数学试卷01(新高考Ⅱ数学试卷专用)(解析版)

PAGEPAGE1备战2024年高考数学模拟卷01（新高考Ⅱ卷专用）第I卷（选择题）一、单项选择题1．设集合，，且，则（

）A．6 B．4 C． D．〖答案〗D〖解析〗，，∵，∴，∴，故选：D.2．已知，则（

）.A． B． C．2 D．1〖答案〗C〖解析〗由，得，则，所以.故选：C.3．已知的图象与直线在区间上存在两个交点，则当最大时，曲线的对称轴为（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗D〖解析〗当时，要使得的图象与直线存在两个交点，则，解得，又因为，所以，所以，此时曲线的对称轴为，，解得，，故选：D4．函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

〖答案〗C〖解析〗设，对任意，，所以，所以的定义域为，，所以函数为奇函数.令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定义域为，又，所以函数为奇函数，排除BD选项，当时，是减函数，则，，所以，排除A选项.故选：C5．如图，正方形中，是线段上的动点，且，则的最小值为（

）

A． B． C． D．4〖答案〗C〖解析〗正方形中，，则，而，则，又点共线，于是，即，而，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：C6．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（

）

A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗第一种挖掉的三角形边长为，共个，面积为；第二种挖掉的三角形边长为，共个，面积为，第三种挖掉的三角形边长为，共个，面积为，故被挖去的三角形面积之和是.故选：D7．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗依题意，对于任意实数，都有成立，不妨设，则，所以在上单调递减，所以，解得.故选：D8．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，因为，则四边形为矩形，所以，则，．．．即，则，因为，则，可得，即，所以，即双曲线离心率的取值范围是，故选：C．二、多项选择题9．已知圆M：，则下列关于圆M的结论正确的是（

）A．点在圆M内B．圆M关于直线对称C．圆M与圆O：相切D．若直线l过点，且被圆M截得的弦长为，则l的方程为〖答案〗BC〖解析〗圆的方程为，即圆心为，半径为，对于A：因为，所以点在圆外，故选项A错误；对于B：因为，所以圆心在直线上，故选项B正确；对于C：因为圆O、圆的圆心距为，两圆的半径差为，所以两圆内切，故选项C正确；对于D：当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线l的距离为，直线被圆所截得的弦长为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，圆心到直线l的距离为，解得，可得直线l的方程为，综上所述，直线l的方程为或，故选项D错误.故选：BC.10．下列说法正确的是（

）A．若数据的方差为1，则新数据，，…，的方差为1B．已知随机事件A和B互斥，且，，则等于0.5．C．“”是直线与直线互相垂直的充要条件D．无论实数λ取何值，直线恒过定点〖答案〗ABD〖解析〗对于A：若数据的方差为1，则新数据，，…，的稳定程度没有发生改变，方差还是，A正确；对于B：随机事件A和B互斥，且，，则，则，B正确；对于C：若直线与直线互相垂直，则，解得或，故“”是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，C错误；对于D：直线即为，令，解得，即无论实数λ取何值，直线恒过定点，D正确.故选：ABD.11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（

）A．当点是中点时，直线平面；B．直线到平面的距离是；C．存在点，使得；D．面积的最小值是〖答案〗AC〖解析〗对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接，于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确；对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，，，，，由，得，B错误；以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,对于C，设，则，，，，由，得，解得，由于，因此存在点，使得，C正确；对于D，由选项C得在的投影点为，则P到的距离，面积为，所以当时，取得最小值为，D错误.故选：AC12．已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中一定正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．的图像关于直线对称〖答案〗AD〖解析〗因为是定义在上的函数，且为奇函数，所以，故A正确；因为是定义在上的函数，且的图像关于直线对称，所以，不一定为0，故B错误；C明显错误；因为，所以的图像关于直线对称，故D正确.故选：AD第II卷（非选择题）三、填空题13．已知的展开式中各项系数的和为，则实数的值为.〖答案〗〖解析〗因为的展开式中各项系数的和为，令，可得，解得.故〖答案〗为：.14．已知等差数列的前项和分别为，且，则．〖答案〗〖解析〗等差数列的前项和分别为，且，所以.故〖答案〗为：15．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的最大值为．〖答案〗〖解析〗由题意，,所以消去得，由,得，当且仅当时等号成立，∴，∴原式故〖答案〗为：.16．在棱长为2的正方体中，点M是对角线上的点（点M与A、不重合），则下列结论正确的是.（请填写序号）

①存在点M，使得平面平面；②存在点M，使得平面；③若的面积为S，则；④若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使得.〖答案〗①②④〖解析〗连接,,

①设平面与对角线交于M,由,，且平面，平面，且，所以平面，即平面,所以存在点M，使得平面平面，所以①正确；②连接,,由，平面，平面，所以平面，同理由可得平面，又，平面，平面，所以平面平面，设平面与交于点M，则平面，所以平面，所以②正确；③连接交于点O,过O点作,

在正方体中，由①平面，同理可证平面，且平面，所以,所以OM为异面直线与的公垂线,根据,所以,即,此时的面积为,所以③不正确；

④设点在平面的正投影为，在平面的正投影为如图，因为平面，则在平面内的射影为，由，则，故在点从的中点向着点A运动的过程中，点也从的中点向着点运动.由平面，则，故当为中点时，正投影也为中点，此时在平面的正投影的面积，因此，在点从的中点向着点A运动的过程中，的面积即从1减少到趋向于0,即,同理，在点从的中点向着点A运动的过程中，点也从的中点向着点运动，的面积即从0开始增加，当与重合时，正投影与重合，此时在平面的正投影的面积，所以,故在此过程中,必存在某个点使得,所以④正确,故〖答案〗为：①②④.四、解答题17．已知点是角终边上一点．(1)求的值；(2)若将角终边绕着坐标原点逆时针旋转得到角的终边，求的值．解：(1)因为点是角终边上一点，所以，，，(2)将角终边绕着坐标原点逆时针旋转得到角的终边，故，所以18．（12分）已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证．(1)解：当时，，解得．当时，由①，可得，②①②得：，即．，．是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列的通项公式．(2)证明：由（1）可得，，，，，，，，.19．如图，在四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，.

(1)求与平面所成角的正弦值；(2)若四棱柱的体积为16，点在棱上，且，求点到平面的距离.解：(1)因为四棱锥是正四棱锥，连接交于点，则，连接，则平面，所以两两垂直.如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

设，因为，,则，设与交于点，则为的中点，所以，，所以，设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，直线的一个方向向量为，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.(2)因为四棱柱的体积为，所以，由(1)知，，.因为，则，所以，，设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，所以点到平面的距离为.20．第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛．挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜．若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，且每次答题互不影响．(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少?(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少?(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利．若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并说明理由．解：(1)设事件为挑战者获胜，事件为不多于两次答题比赛结束．．(2)设为先答题者获胜的概率，则，解得，所以挑战者获胜的概率是.(3)设随机变量为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数，为此时挑战者获胜的概率；为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数，为此时挑战者获胜的概率．，，显然，，即该挑战者胜利的概率没有增加．21．已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点．

(1)求椭圆M的标准方程；(2)若，求的面积；(3)是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由左焦点、左顶点可知：，则，所以椭圆的标准方程为.(2)因为，，则过的直线的方程为：，即，解方程组，解得或，所以的面积.(3)若点B在以线段为直径的圆上，等价于，即，设，则，因为，则，令，解得：或，又因为，则不