2024年高考二轮复习测数学试卷（全国卷理科专用）（解析版）

PAGEPAGE12024年高考数学二轮复习测试卷（全国卷理科专用）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由题意全集，集合，，则，.故选：D.2．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限〖答案〗B〖解析〗由题意知，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限．故B正确.故选：B.3．已知，则与的夹角为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由，得，而，则，于是，则，而，所以与的夹角为.故选：A4．若实数，满足，则的最大值为（

）A．5 B．7 C．9 D．6〖答案〗C〖解析〗作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即，代入目标函数得．即目标函数的最大值为故选：C．5．某学校一同学研究温差（单位：℃）与本校当天新增感冒人数（单位：人）的关系，该同学记录了5天的数据：5689121620252836由上表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（

）A．与有正相关关系 B．经验回归直线经过点C． D．时，残差为0.2〖答案〗C〖解析〗由表格可知，越大，越大，所以与有正相关关系，故A正确；，，样本点中心为，经验回归直线经过点，故B正确；将样本点中心代入直线方程，得，所以，故C错误；，当时，，，故D正确.故选：C6．的展开式中，的系数为（

）A．1 B．5 C．10 D．20〖答案〗C〖解析〗二项展开式的通项为，令，即，有，故的系数为10.故选：C.7．若，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，因为，，所以，即可以推出，充分性成立；当时，比如取，此时有，但，所以当时，不能推出，必要性不成立；故是的充分不必要条件.故选：A8．函数关于直线对称，且在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗函数的图象可由函数的图象向左平移1个单位而得，因此函数的图象关于y轴对称，则，显然，又在区间上单调递增，于是，所以.故选：D9．已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗当时，，当时，，所以不满足的情况，所以，对于A：当时，由指数函数单调性可知：，所以，故A错误；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：当时，，满足；当时，，不满足，故不恒成立，故C错误；对于D：当时，，满足；当时，由指数函数的单调性可知为递减数列，此时，且恒成立，所以，也满足；所以，故D正确；故选：D.10．已知圆的方程为，直线过点且与圆交于两点，当弦长最短时，（

）A． B． C．4 D．8〖答案〗B〖解析〗当最短时，直线，，.故选：B.11．已知双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．3〖答案〗A〖解析〗设，可得，过P作x轴的垂线，垂足为N，所以,又因为,∠PAB＝∠PBM，所以，可得即,所以，结合，可得，又，所以双曲线的离心率为.故选：A．12．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗令，则，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，若，令，则，则在上递增，可得，即对任意恒成立，则在上递增，可得，综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．已知，则的值为．〖答案〗〖解析〗，因为，所以.故〖答案〗为：.14．甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为．〖答案〗〖解析〗因为一共有7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张），甲先抽，乙后抽，所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有：①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片，所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为.故〖答案〗为：.15．已知，若为偶函数，则．〖答案〗〖解析〗函数有意义，则，，解得或，所以函数定义域为，因为为偶函数，则有，解得，所以，，由，有，则有，所以.故〖答案〗为：16．在正四棱柱中，，平面与棱分别交于点，其中分别是的中点，且，则．〖答案〗3〖解析〗因为平面经过棱的中点，所以四边形为菱形，连接、，、，令，则，又底面，平面，故，又、平面，且，故平面，又分别是的中点，故，故平面，由平面，故，又因为，、平面，，故平面，又平面，故，则与相似，，，故有，即，即.故〖答案〗为：3.三、解答题（一）必考题17．（12分）已知数列中，.（1）求；（2）设，求证：.（1）解：由题意，得，故为常数列.，故.（2）证明：故18．假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．（1）求a，b，c，d的值；（2）现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，①求在各组应该抽取的人数；②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．解：（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为，又因为第五小组的频数为2400，所以样本容量．因为第六小组的频率为，所以第六小组的频数是．由频率之和为1，得，所以．因为频率分布直方图中的满足，所以．所以代入中，得，得，解得．所以．（2）①因为前4组的频率之比为，且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，所以在应该抽取的人数分别是．②由题意，随机变量的所有可能取值是．则故随机变量的分布列为0123故随机变量的数学期望为．19．如图，在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，其中，为中点．（1）证明：平面平面；（2）已知，二面角的大小为，求三棱锥的体积．（1）证明：由题知，平面平面，且平面平面,又为等腰直角三角形，其中，所以,又平面,则平面，又平面，则平面平面.（2）解：作,交于点,由平面平面，平面平面,知平面,因为，所以，设，则，以点为坐标原点，建立所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为为中点，所以，则,设平面的法向量为，则，令，则，则，又由得，平面的一个法向量，所以，解得或（舍），故，则三棱锥的体积.20．已知椭圆E的中心为坐标原点，左焦点为，长轴长为8．（1）求E的标准方程；（2）记E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于M，N两点（M，N均不与A，B重合），直线MA与NB交于点P，试探究点P是否在定直线上，若是，则求出该直线方程；若不是，请说明理由.解：（1）设椭圆E的方程为，依题意，可得解得故所求E的标准方程为．（2）由（1）可得，设，显然直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为，联立，消去x得，且，则，直线MM的方程为，直线NB的方程为，联立直线MA的方程和直线NB的方程可得，由得，，即，由此可得点P在定直线上．21．已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）若函数有2个零点，求的取值范围.解：（1）当时，，，，，根据导数的几何意义可知，的图象在点处的切线方程为；（2），令，即，整理为：，设，即，则，化简为，，设，，令，得，，当，，单调递减，当，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，，若函数有2个零点，即函数有2个零点，所以，得，，则，则在区间有1个零点，，设，,，设，，所以在上单调递增，，则在上单调递增，，即，则，根据函数大单调性可知，在区间有1个零点，所以函数有2个零点，则的取值范围是.（二）选考题选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）判断直线与曲线的交点个数，若有两个交点，求两交点间的距离.解：（1）由，得，得曲线的普通方程为.将代入，得直线的直角坐标方程为.（2）由（1）知，曲线是圆心，半径的圆，圆心