专题01 数列大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）含解析

专题01数列大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）专题01数列大题解题秘籍解题秘籍等差数列通项公式：或等比数列通项公式：的类型，公式数列求和的常用方法：对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；等差数列求和，等比数列求和对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；万能公式：形如的数列求和为，其中，，（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.即常见的裂项技巧：；；指数型；对数型.等模拟训练模拟训练一、解答题1．（22·23·保定·二模）设等差数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．2．（22·23·潍坊·三模）已知数列和满足．(1)证明：和都是等比数列；(2)求的前项和．3．（22·23·广州·三模）已知数列的前项和为，且，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，求证：．4．（22·23·山东·二模）已知两个正项数列，满足，．(1)求，的通项公式；(2)若数列满足，其中表示不超过的最大整数，求的前项和．5．（22·23下·绍兴·二模）设数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.6．（22·23·济宁·三模）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.7．（22·23下·无锡·三模）记为数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.8．（22·23下·苏州·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.9．（22·23下·江苏·三模）已知正项数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前2023项的和.10．（22·23下·镇江·三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.11．（22·23·张家口·三模）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.12．（22·23·汕头·三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.13．（22·23·衡水·一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列，的前项和为，证明：.14．（22·23·东莞·三模）已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.15．（22·23·深圳·二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，记，求.16．（22·23·梅州·三模）已知数列满足，，.(1)证明：数列为等比数列.(2)数列满足，求数列的前项和.17．（22·23下·长沙·三模）已知等差数列前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求和：.18．（22·23下·岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．19．（22·23·济南·三模）已知等差数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.20．（23·24上·永州·一模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和．21．（23·24上·郴州·一模）在数列中，为数列的前项和，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若.求数列的前项和.22．（22·23下·湖北·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列.(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和.23．（22·23下·武汉·三模）记为数列的前n项和，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．24．（22·23下·襄阳·三模）已知数列满足，且的前100项和(1)求的首项；(2)记，数列的前项和为，求证：.25．（22·23下·武汉·三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求正整数的最大值.26．（23·24上·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证．27．（22·23·日照·三模）已知数列满足：.(1)当时，求数列中的第10项；(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.28．（22·23下·烟台·三模）已知数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和29．（22·23·菏泽·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)分别求出数列的通项公式；(2)设数列，求出数列的前项和．30．（22·23·福州·二模）已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.31．（22·23·唐山·二模）已知为等差数列的前项和，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．32．（22·23·宁德·二模）已知为等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前15项和．33．（22·23·三明·三模）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，证明：.34．（22·23·厦门·三模）记为数列的前项和.已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最小值.35．（22·23·龙岩·二模）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．(1)求数列的通项公式；(2)令，证明：．36．（22·23下·浙江·二模）设数列的前n项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)设且，求数列的前n项和为．37．（22·23下·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列.(1)求；(2)求最小的正整数，使得存在数列，.38．（22·23下·江苏·二模）已知等差数列的各项均为正数，，.(1)求的前项和；(2)若数列满足，，求的通项公式.39．（22·23下·温州·二模）已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数，求使的最大正整数的值.40．（22·23·沧州·三模）设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.专题01数列大题解题秘籍解题秘籍等差数列通项公式：或等比数列通项公式：的类型，公式数列求和的常用方法：对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；等差数列求和，等比数列求和对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；万能公式：形如的数列求和为，其中，，（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.即常见的裂项技巧：；；指数型；对数型.等模拟训练模拟训练一、解答题1．（22·23·保定·二模）设等差数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于与的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果.【详解】（1）设数列的公差为d，由题意可得，解得，∴.（2）由（1）可知，∴．2．（22·23·潍坊·三模）已知数列和满足．(1)证明：和都是等比数列；(2)求的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得，，即可求出和的通项公式，从而得到，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.【详解】（1）因为，，所以，，又由，得，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．3．（22·23·广州·三模）已知数列的前项和为，且，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用和的递推式，得出，进而求得的通项公式；（2）利用裂项相消法求得，即可得出结论.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，即，所以．即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以.（2），故数列的前项和，因为，所以，所以．4．（22·23·山东·二模）已知两个正项数列，满足，．(1)求，的通项公式；(2)若数列满足，其中表示不超过的最大整数，求的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依题意可得，，即可求出、；（2）根据高斯函数先推出的解析式，再运用等差数列求和公式计算可得.【详解】（1）由，得，由，得，，因为是正项数列，，；（2）因为，所以，所以当时，当时满足，所以.5．（22·23下·绍兴·二模）设数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列求得，即，再根据与的关系采用相减法即可求得数列的通项公式；（2）由题意得，利用等比数列求和公式即可得数列的前项和.【详解】（1）是首项为1，公差为1的等差数列，.时，也符合（2）显然于是6．（22·23·济宁·三模）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系得到为等比数列求解即可;（2）利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，当时，，当时，，所以，即，又因为，满足上式，所以是以为首项，为公比的等比数列，则.（2）因为，所以.7．（22·23下·无锡·三模）记为数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据等差数列的定义和增位相减以及累乘法即可求解；（2）根据等比数列求和和二项式定理即可求解.【详解】（1）因为，，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以，即①，所以②，由②－①可得，即，所以.（2）由（1）可得，则，所以，所以所以除以3的余数为2.8．（22·23下·苏州·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和；（2）根据数列的周期性求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，对于任意，有，所以，故数列的前2023项和为.9．（22·23下·江苏·三模）已知正项数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前2023项的和.【答案】(1)(2)2023【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得的通项公式，分析可得的通项公式；（2）根据的关系式，结合并项求和即可得的前2023项的和.【详解】（1）对任意的，因为，当时，，因为，故.当时，符合，所以，.（2），所以当时，，故.10．（22·23下·镇江·三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据利用可得，利用等差数列定义可求得；（2）选择①②都可以得到新组成的数列是原来数列的偶数项，利用等比数列前项和公式即可得.【详解】（1）因为数列满足①，当时，，解得；当时，，②②-①得，即因，所以，从而，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.因为等差数列满足.所以.设公差为，则，解得.所以.所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；（2）若选①，则有.所以取出的项就是原数列的偶数项，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以；若选②，则有，因为所以当时，对应的，由二项展开式可知能被3整除，此时为整数，满足题意；当时，对应的，由二项展开式可知所以除以3的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；所以取出的项就是原数列的偶数项，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以.11．（22·23·张家口·三模）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，求得；当时，可得，两式相减得，得到，进而求得数列的通项公式；（2）令，得到，结合裂项法求和，求得，即可得证.【详解】（1）解：由题意，数列满足，当时，可得，解得；当时，可得，两式相减得，所以，当时，，适合上式，所以数列的通项公式为.（2）解：令，由，可得，所以，因为，可得，所以.12．（22·23·汕头·三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.【答案】(1)不是“紧密数列”，理由见解析(2)数列是“紧密数列”，理由见解析(3)【分析】（1）利用“紧密数列”的定义判断即可；（2）利用求得数列的通项公式，再证得，由此证得是“紧密数列”；（3）先根据是“紧密数列”，求得的一个取值范围，对于对分成、和三种情况，利用列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】（1），所以不是“紧密数列”；（2）数列为“紧密"数列；理由如下：数列的前项和，当时，；当时，，又，即满足，因此，所以对任意，所以，因此数列为“紧密”数列；（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，当时，有，所以，满足题意；当时.，因为为“紧密"数列，所以.即或，当时，，，所以，满足为“紧密”数列；当时，，不满足为“紧密"数列；综上，实数的取值范围是.13．（22·23·衡水·一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列，的前项和为，证明：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由前项和与通项之间关系可求得，进而由已知等式得到，推导可得；（2）由（1）可得，采用裂项相消法可整理得到，结合和可证得结论.【详解】（1）当时，，；当且时，，；经检验：满足，；当时，，；当且时，，，；经检验：满足，.（2）由（1）知：，；，在上单调递减，在上单调递增，，；又，.14．（22·23·东莞·三模）已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过题中关系，可得，进而可得数列是以为首项，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，，则，可利用分组求和与错位相减求和解题.【详解】（1）由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）知，∴，∴，设，则，两式相减得，从而∴.15．（22·23·深圳·二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，记，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项；（2）由（1）可得，在分为偶数、奇数两种情况讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）由题意知，，所以．当为偶数时，，当为奇数时，．综上．16．（22·23·梅州·三模）已知数列满足，，.(1)证明：数列为等比数列.(2)数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知递推式可得，结合，可得，即可证明数列为以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由已知，得，，两式作差可得，再由错位相减法求数列的前项和．【详解】（1），．已知，，得，可得，数列为以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）知，，由，①取，得，可得；当时，，②①②得：，即．也满足上式，．，，两式作差得：，．17．（22·23下·长沙·三模）已知等差数列前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求和：.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用等差数列前项和公式与性质得到，从而结合条件求得公差，从而得解；（2）先利用推递作差法求得，从而求得，再利用错位相减法即可得解.【详解】（1）因为等差数列前项和为，所以，又，所以，又，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以的通项公式为.（2）因为，所以，两式相减得：，又满足上式，所以，又，所以.所以，，两式相减得：.18．（22·23下·岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件求出公比，，直接写出等比数列的通项公式即可；（2）由（1）得，分组求和即可，注意分类讨论的思想.【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.19．（22·23·济南·三模）已知等差数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式计算可得答案；（2）由题意可知，利用错位相减求和可得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为.所以，所以，，所以；（2）由题意可知，所以①，②，①②得，，，，.20．（23·24上·永州·一模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；（2）利用（1）的结论化简，利用裂项求和法即可求得答案.【详解】（1）由题意可得，即得，则，即，可得，由于，故得，则，故；（2）由（1）结论可得，故的前项和.21．（23·24上·郴州·一模）在数列中，为数列的前项和，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若.求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由前n项和求递推关系，应用等比数列定义证明等比求通项公式；（2）应用裂项相消法计算即可.【详解】（1）当时，，解得.当时，即，易知，所以.所以是以为首项，以2为公比的等比数列.故.（2），22．（22·23下·湖北·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列.(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过基本量计算可得，然后由等比数列前n项和公式可得，利用定义可证；（2）由错位相减法可得.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以1，所以，即，又正项等比数列，所以，解得，因为，所以，得，所以所以，，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）得，，所以，所以①②①-②得，整理得：.23．（22·23下·武汉·三模）记为数列的前n项和，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．【答案】(1)，(2)（ⅰ），；（ⅱ），，证明见解析【分析】(1)根据与的关系计算即可，同时注意讨论的情况；(2)对于（ⅰ）结合上问结果及等比中项的性质建立方程计算公差即可；对于（ⅰi）由，可放缩，裂项求和即可证明结论.【详解】（1）因为，所以，所以，整理得．又因为，所以当时，，所以，当时，不满足．所以，.（2）（ⅰ）设数列的公差为．因为，，成等比数列，且，，，所以，即．又因为，所以．所以数列的通项公式为，．（ⅰi）．证明如下：由（ⅰ）知，，，易知所以．，，．24．（22·23下·襄阳·三模）已知数列满足，且的前100项和(1)求的首项；(2)记，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分为奇数和为偶数两种情况进而讨论即可求解；（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）当为奇数时，；则偶数项构成以为公差的等差数列，所以当为偶数时，；当为偶数时，，则奇数项构成以1为公差的等差数列，所以当为奇数时，，则，又，所以，解得，.（2）由（1）得，，，，当时，，∴，综上，知.25．（22·23下·武汉·三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求正整数的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，当时，求得，当时，得到，两式相减化简求得，得到数列中奇数项和偶数项分别构成等差数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，结合当时，和当时，，即可求解.【详解】（1）解：由题意，各项均不为零的数列的前项和为，满足且，当时，，解得，当时，，两式相减得，因为数列中各项均不为零，即.所以数列中奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，当时，，即；当时，，即，综上，数列的通项公式为.（2）解：由（1）知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，可得，因为，所以，当时，，即不等式恒成立；当时，.故正整数的最大值为.26．（23·24上·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求；（2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明.【详解】（1）当时，，解得．当时，由①，可得，②①②得：，即．，．是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列的通项公式．（2）由（1）可得，，，，，，，，.27．（22·23·日照·三模）已知数列满足：.(1)当时，求数列中的第10项；(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，，证明见解析【分析】(1)根据隔项等比数列的定义和通项公式即可求解；(2)根据是等比数列的必要条件解出，再根据证明充分性即可.【详解】（1）由已知，所以，相除得；又，所以，所以.（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，由得，由，得，因为是等比数列，，即，下面证明时数列是等比数列，由（1）知数列和都是公比是的等比数列，所以，；所以为奇数时，，为偶数时，，所以对一切正整数，都有，所以，所以存在正数使得数列是等比数列.28．（22·23下·烟台·三模）已知数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】（1）先把题干条件等价变成，然后用累加法进行求解；（2）结合特殊的三角函数值，利用分组求和进行求解.【详解】（1）由得，，所以时，，故，又，则，当时，成立，所以，．（2）由（1）知，，所以，，因为，于是，所以，．故数列的前项和为．29．（22·23·菏泽·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)分别求出数列的通项公式；(2)设数列，求出数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）当时，根据，利用两式相减得，由等比数列的通项公式可求出；根据等差数列的通项公式可求出；（2）根据错位相减法可求出结果.【详解】（1）当时，，得，当时，，所以，所以，即，因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以，则，（2）由（1）知，，，所以，所以，，所以，所以，化简得.30．（22·23·福州·二模）已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由与的关系可求出通项公式；（2）利用裂项相消法求数列的和即可.【详解】（1）当时，，得，当时，，得，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列，所以.（2）由（1）可得，所以，所以31．（22·23·唐山·二模）已知为等差数列的前项和，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求出可得答案；（2）利用裂项相消求和可得答案．【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，即，所以，

数列的首项为3，公差为1，则，即；（2）由，得，所以．32．（22·23·宁德·二模）已知为等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前15项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可根据等差数列的性质求解，（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，，且，，，，．（2）由（1）可知其中．故的前15项和为．33．（22·23·三明·三模）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可；（2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论.【详解】（1）因为，，所以，所以.所以，所以为等差数列，首项为，公差，所以，所以（2）证明：因为，所以.所以，因为，所以，即.34．（22·23·厦门·三模）记为数列的前项和.已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）应用等差数列定义证明等差数列；（2）应用等比数列列式求参，再应用等差数列求和公式计算求解.【详解】（1）证明：由，①，把换成，，②，②-①可得：，整理得：，由等差数列定义可得为等差数列；（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）可得其公差为1，故，解得，故，所以，故可得：，，，故在或者时取最小值，，故的最小值为.35．（22·23·龙岩·二模）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．(1)求数列的通项公式；(2)令，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由为常数，则为常数，即，然后结合等差数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得，