第七章知识资料知识资料弯曲变形

§7-1引言

§7-2挠曲轴近似微分方程

§7-3计算梁位移的积分法

§7-5计算梁位移的叠加法

§7-6简单静不定梁

§7-7梁的刚度条件与合理刚度设计第七章弯曲变形

§7-1引言思考：梁在载荷作用下，要有足够的强度，因此必须满足强度条件。但是，是否梁满足了强度条件之后，它就能够正常地工作呢？起重机正常运行时，车轮轮缘与运行轨道之间需保持一定的间隙，但梁变形情况下，车轮不在其踏面中间运行，当起重机运行中轮缘与轨道侧面相挤时，则出现啃轨现象，影响起重机安全运行。梁变形引起的事故与安全问题挠曲轴是一条连续、光滑曲线

对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线挠曲轴

轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴，弯曲变形的特点如何计算和描述梁的变形？AB对称弯曲条件下,如果忽略梁横截面的面内变形和截面形心的轴向位移，那么梁横截面上任一点的位移可以通过如下两个变量描述:1、各截面形心的线位移

——挠度w2、截面绕中性轴的角位移

——转角

及转角方程q(x)F挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程w=w(x)

梁变形的描述方法：挠曲轴方程w=w(x)AB这样，梁的变形描述可由单一方程完成：梁的转角不再是独立量,一般很小—q=q’»dw/dx，

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计，因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交§7-2挠曲轴近似微分方程Q

中性层曲率表示的弯曲变形公式Q

由高等数学知识

Q

挠曲轴微分方程

——二阶非线性常微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）方程推导Q简化的挠曲轴方程正负号确定:弯矩:

坐标系：w

向上为正小变形时：曲线下凹挠曲线下凹,弯矩M为正方程取正号

正弯矩负弯矩xwoxoŒ

小变形Q应用条件：Q挠曲轴的近似微分方程正弯矩xo挠度坐标轴w向上，弯矩下凹为正土木建筑部门，采用坐标轴w

向下坐标系小结F

C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。一、梁的挠曲轴方程§7-3计算梁位移的积分法位移边界条件w=0w=0w=0q=0二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件ACDMFB挠曲轴在B、C点连续且光滑连续：wB左=wB右光滑：qB左=qB右

自由端：无位移边界条件固定端：

连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件边界条件：例：中间支撑C：E点：中间铰B：ABCDFEABCDFE思考：该梁可分几段积分（判断依据是什么）？(2).分3段。ED段不受力，保持直线，仅作刚性转动。

(1).分4段。已知EI,建立该梁的挠曲轴方程AB解:2、挠曲轴近似微分方程1、弯矩方程:例：AB3、积分常数的确定w(0)=0D=0w’(0)=0C=0已知EI,建立该梁的挠曲轴方程

AB解:计算约束反力，建立坐标系。AB段BC段例:x(分几段积分？）边界和连续条件:

四个方程定4个常数ABxADBC绘制挠曲轴的大致形状：弯矩图过零点处为挠曲轴拐点弯矩正负突变处也经常是拐点支座性质定该处线和角位移1.绘制弯矩图。2.绘制挠曲轴的大致形状F弯矩图符号定挠曲轴凹凸性凹凸凹直线挠曲轴大致形状+_Fs+M曲线，直线？上凸，下凹？关键点的，w以及拐点若弯矩图中有一段M=0，则此段挠曲线为直线作业7-1b7-3c,d7-67-7§7-5计算梁位移的叠加法

载荷叠加法

逐段变形效应叠加法

两类叠加法比较

例题一、载荷叠加法(原理）梁在同时承受多个载荷时的挠度和转角，等于该梁在各个载荷单独作用下的挠度和转角的代数和成立条件：材料线弹性和小变形M(x)＝Mi(x),为载荷(F,q,Me)的线性齐次函数EIw=

Mi(x)dx=

Mi(x)dx=wi

积分后，w仍然是载荷(F,q,Me)的线性齐次函数依据：(前提：材料线弹性)前提：(梁的变形很小,不影响其它载荷的作用效果)载荷叠加法的应用例：EI=常数，求，载荷由集中力F，均布力q和力偶M0构成，分别计算各个载荷在A端引起的位移，然后将它们叠加。AFqQ分析方法：基本梁在几种基本载荷作用下的挠度和转角方程已被总结成表（请熟记P351附录E中1，3，4，6，8，9各梁的挠度和转角）查表,p351AAFAqAFq()Fq叠加：例：载荷集度为，求自由端挠度xq0BFB分析方法：将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。注意(1)a

取为变量x(2)载荷向上为正查表P351(2):例：载荷集度为，求自由端挠度xq0BFB例：EI=常值，求ACBq0(a)+q0(b)BACq0(c)分析：故：为什么？例：矩形截面梁斜弯曲问题——求挠曲轴方程与端点C位移yCzF分析思路：载荷沿两对称轴分解：

分解为对称弯曲问题2.求解各分载荷作用下的挠曲轴方程与C点位移3.合成为总的挠曲轴方程与总的C点位移解：(1)载荷分解方位角F

一般b

¹

q，弯曲变形不发生在外力作用面内。(2)分力挠曲轴方程与端点位移端点C：yCzF静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形(其余梁段刚化)在该截面引起的位移的代数和或矢量和。二、逐段变形效应叠加法（逐段刚化法）该方法更多地应用于单载荷、多段组合梁（如阶梯梁、直角拐）的变形计算。思考：该方法的优点是什么？ABC例:求图示外伸梁C点的挠度和转角ABCABCqa/2qa2/2仅考虑BC段变形(刚化AB,可视BC为悬臂梁)仅考虑AB段变形(刚化BC)总挠度和转角ABCABCABCqaqa2/2ABCqa2/2BCqa2/2A三、两类叠加法比较1、静定条件下，等价2.逐段变形效应叠加法与载荷叠加法适用范围不同右图的叠加法为什么不成立？两类叠加法适用范围比较线弹性、非线弹性与非弹性线弹性小变形小变形静定杆系与刚架静定与静不定结构，包括杆、板、壳及一般三维体逐段变形效应叠加法载荷叠加法例：EI=常数，求ABCFABCBC刚化FBCAFFaAB刚化加

a.BC弯曲刚度刚化b.BC扭转刚度刚化w32.BC扭转(AB刚化，BC弯曲刚度刚化)3.BC弯曲(AB刚化，BC扭转刚度刚化)1.AB弯曲(BC刚化）例：E常数,,求，FABC刚化AB段：1.BC段变形效应（刚化AB段）2.AB段变形效应（刚化BC段）刚化BC段：ABCABCF,求例：E常数,，FABCEFABCEFABCEF对称性的应用F/2CFBABCEFF/2F/2逐段变形效应叠加法思考：图示各阶梯刚架几何尺寸，材料与外载均相同，加阴影线段表示.该段已刚化，设图示(a)、(b)、(c)、(d)各刚架自由端(即A端)的垂直位移分别为Wa，Wb，Wc，Wd,，则Wa＝Wb＋Wc＋Wd,。该结论对吗？ACBqBACq/2ACq/2反对称：中点挠度为0，弯矩0→铰支对称：思路：载荷分解Cq/2例：利用对称性求

(

)(↓)例：组合梁的变形分析，求：AqCBABC’解：梁挠曲轴如图CB保持直线AC悬臂梁问题分析：采用逐段变形效应叠加法例：组合梁/刚架各处EI,EA,B处梁间活动铰，求ABCF刚化刚架BDH,AB为简支梁，刚化梁AB，下面求刚架的位移ABHDCF解：1.求BHDF/2（1）刚化DH的拉压与弯曲刚度，BD相当于悬臂梁（2）刚化BD和DH的拉压刚度（3）刚化BD和DH的弯曲刚度ABCF

2.求2EA2EA3.求设b×h矩形截面4.比较弯曲与拉压位移结论:

(如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同作用时，拉压引起的位移可以忽略。ABHDCF例：细长梁置于水平刚性平台上。设单位长度重量为q，弯曲刚度EI，求wc解：设拱起长度为aDA段包括A点截面上的弯距MA为零，B点同理A,B两点处的转角为零AB段的简化模型由叠加法确定A处的转角：再由叠加法确定C处的挠度：图示直梁和刚性园拄面，求梁在集中力F作用下的端点挠度lRFABC梁、拄面接触的条件设F>Fo，AC段与拄面接触，AC段长度为x作业7-9b,d7-117-127-14a§7-6简单静不定梁静不定度与多余约束多余约束多于维持平衡所必须的约束多余反力与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3=2度静不定6-3

=

3度静不定AB静定基:一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统(左下)相当系统：作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统(右下)AB静定基与相当系统qABABRBqABq静定基与相当系统的选择不是唯一的小结：分析方法与分析步骤

步骤：

1、判断静不定度（确定多余约束数）；2、选取与解除多余约束，建立相当系统；3、列出多余约束处的变形协调条件；4、结合平衡方程，求多余支反力。方法：选取并解除梁多余约束，代之以支反力,构造相当系统，使多余约束点处的变形满足位移边界或连续条件相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种例：求支反力1.

静不定度：6-3=32.选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略

HA=HB=0。两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立变形协调条件4.联立求解qABRBMB对称性的应用利用对称性直接求出RA=RB=ql/2，它可取代方程（1）、（2）之一。三人扛木问题等截面原木长l=5m,直径d=30cm,密度=0.7g/cm3,弹性模量E=4GPa.三个等身高工人的着力点分别为原木的两端及中点.试求每人分担的原木重量.解:首先将问题抽象成材料力学模型,然后依据相关理论求解.ABCll/2三支座梁，q=A＝495g/cm=484N/m

问题转化为求解上述静不定梁三个支座的支反力!移去支座B,代之以支反力FB,解静定梁,求支反力FB,变形协调条件

B=0qABCll/2FBABC查附录E－8：均布力q引起的B点挠度：ABCl/2FB查附录E－6：集中力FB引起的B点挠度：令例:

直径为d

的圆截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：AB存在装配误差的静不定问题分析例：求A点的垂直方向的位移，A处梁间活动铰。ADR’A组合梁/刚架静不定问题的分析ABCDM0方法：将铰链拆开，建立铰链处的变形协调条件BCM0RA例：求支反力

变形协调条件：RRB点位移按右图计算

ABRqaqa2/2ABqCDECABqRDRE§6-6梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件[d