2024年九年级数学中考复习《将军饮马最值问题》专题提升训练（含答案）

年春九年级数学中考复习《将军饮马最值问题》专题提升训练一、单选题1．已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA+PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（

）．A． B．C． D．2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（

）A．26 B．33 C．27 D．423．已知∠AOB=30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（）A．1.5 B．3 C．33 D．4．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（

）A．2 B．3 C．2 D．15．如图，凸四边形ABCD中，∠A=90°,∠C=90°,∠D=60°,AD=3,AB=3，若点M、N分别为边CD,AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（

A．26 B．36 C．66．如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=2x图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（A．（3，0） B．（72，0） C．（53，0） D．（7．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（

）A．4 B．42 C．258．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为3,4，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是km．10．如图所示，在△ABC中，AB=AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC=4，则△BDM周长的最小值是．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM＋MN取最小值时△BMN的周长为．12．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝°．13．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．14．如图，正方形ABCD中，点G是BC边上一定点，点E、F、H分别是边AD、AB、CD上的动点，若CG=14BC=1，则四边形EFGH的周长最小时

15．如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为．16．如图，抛物线y=x2−4x+3与x轴分别交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则△MAC三、解答题17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为(−2,3)．点B的坐标为(−3,1)，点C的坐标为(1,−2)．

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，其中A′，B′，C′分别是(2)写出C′的坐标；(3)在x轴上找一点P，使得PB+PA的值最小．（保留作图痕迹）18．如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米，为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，

(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）(2)经预算，修建水厂需30万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．19．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

(1)直接写出点E、F的坐标；(2)连接EF交BD于点G，求△BGE的面积．(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线MN的函数解析式；如果不存在，请说明理由．20．已知抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点B(−3,0)(1)求抛物线的顶点坐标；(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段PF⊥x轴，交直线BC于点F，当线段PF取得最大值时，求此时点P的坐标．(3)若取线段BC的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段BE，得到线段B′E′，当C21．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P模型应用：(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点A0，−1和B2，−1，P为x轴上一动点，则当(2)如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，则PB+PE的最小值是___________．(3)如图4，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为___________．(4)如图5，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E，F分别是AG，AD上的两个动点，则参考答案1．解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小故选：C．2．解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴B点与C点关于AD对称，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝23，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝27，故选：C．3．解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时连接OD，∵P、D关于OA对称，∴OD=OP，同理OE=OP，∴OD=OE=OP，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA，同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB=2×30°=60°，∵OD=OE，∴△DOE是等边三角形，∴DE=OD=OP，∵△PMN的周长是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3，∴OP=3故选：B．4．解：连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A关于BD对称，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，∵M是BC的中点，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=AB∴PM+PC=AM=3．故选B．5．解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B′和点B连接B′B″交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB再DC和AD上分别取一动点M′和N′（不同于点M和连接M′B，M′B′∵BB′M′∴BM又∵BMB=MB′，∴NB+NM+BM<BM∴l连接DB，过点B′作B′H⊥DB″如图示2所示：∵在Rt△ABD中，AD=3，AB=3∴DB=A∴∠2=30°，∴∠5=30°，DB=DB又∵∠ADC=∠1+∠2=60°，∴∠1=30°，∴∠7=30°，DB∴∠BDB又∵∠B∴∠6=60°，∴HD=3，H在Rt△B′B′∴l故选：C．6．解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=2x得：y1＝2，y∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入得：k+b=22k+b=1解得：k＝﹣1，b＝3，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，即P（3，0）．故选：A．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，∴DN=BN，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=C故DN+MN的最小值是5．故选：D．8．解：连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P'，当P位于P'位置时，OP'取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3,MQ=4，∴OM=32又MP'=2，∴OP'=3，∴AB=2OP'=6，故选D．9．解：如图，做出点A关于小河MN的对称点A`，连接A`B交MN于点P，则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt△A`DB中，由勾股定理求得A`B=则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．10．解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD=1∴S△ABC∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．11．解：如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于B'M+MN的最小值，∴当B′N⊥AB时，∴作B'N'⊥AB交AC于M'，则B'N'即BM+MN的最小值；∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，DC∥AB，∴∠DCA=∠BAC，又∵∠B∴∠B∴AE=CE，设EC=AE=x，∴在Rt△AED中，DE2+A解得：x=25∴B'E=AB设△B′EC中EC由对称性可得B′C=BC=5，∴S△B'CE=1B′N′=h+5=8，即∴在Rt△AB′N∴BN∴△BMN的周长＝BN故答案为：1212．解：如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．13．解：如图，连接A′∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴∠ABC=∠A′BC′=60°，A∴∠CBC′∴∠CBC′=∠A′B∵BD=BD，∴△CBD≌△A′BD∴CD=A′D∴AD+CD=A′D+CD∴当A、D、A′三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A′故答案为：4．．14．解：如图，作点G关于CD的对称点G1，作点G1关于AD的对称点G2，作点G关于AB的对称点G3，连接G2G3交AB于点F，交AD于点E，连接EG1，交CD

由对称的性质知，GH=G∴HG+EH=G1H+EH≥EG1，当E、H同理可得：GH+EH+EF+FG≥G2G3，当G2、E、F∵CG=14BC=1∴BC=CD=4，AD∥BC，∠BCD=90°由对称的性质知，CG1=CG=1，BG3=BG=3，∴∠G∵FG=FG∴△FGG∴BF=BG=1∴GF=故答案为：3215．解：直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，∴当y=0，x=−4，即A(−4,0)；当x=0，y=4，即B(0,4)，∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴C(−2,2)，D(0,2)，如图所示，过点C关于x轴的对称点C′∴C′∴直线C′D的解析式为：当y=0，x=−1，即P(−1,0)，故答案为：(−1,0)．16．解：∵抛物线y=x2−4x+3与x轴分别交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y∴当y=0时，0=x2−4x+3解得x=1或x=3，即A1,0,B3,0；当由二次函数对称性，A,B关于对称轴对称，即MA=MB，∴C△MAC∵AC=O∴△MAC周长的最小值就是CM+MB的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共线时线段CB长，∵CB=O∴△MAC周长的最小值为CA+CB=32故答案为：3217．解：（1）如图△A

（2）C′点的坐标为(−1,−2)；（3）如图，点P即为所求作．18．（1）解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B，交CD

即M为所求．（2）如图，连接A′A交CD于H点，过点B作

由题意可知AH=A′H=1km，∴PA=PH−AH=2km，∴在Rt△APB中，BP=∴在△A′PB由对称性质可知AM=A′即完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50（万元）．19．（1）解：∵OA=3，OC=2，∴点A(3,0)，点C(0,2)，点∵点E是AB的中点，∴点E(3,1∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．∴BF=BA=2，CF=1，点F(1（2）∵△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．∴∠ABD=∠FBD=1∴AB=AD=BF=DF=2，DF∥BE，即：∠DGF=∠BGE，∠FDB=∠GBE∴△DFG∽△BEGFGEG∴EFEG=∵S△BEF∴S△BGE∴△BGE的面积为13

（3）在x轴、y轴上存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小；如图，作点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，连接E′F′，E′F′与x轴、y轴上交于点M、点

由对称性可知：点E′(3,−1)，点F′(−1,2在Rt△B∵BE′=2−(−1)=3∴E′∴ME+MN+NF=ME又∵EF=BBE+MN+NF+EF=5+5四边形MNFE的周长最小为：5+5设直线MN的函数解析式y=kx+b，∵直线MN经过点E′(3,−1)，点F′3k+b=−1−k+b=2直线MN的函数解析式：y=−320．（1）解：由题意，抛物线过B(−3,0)，A(1,0)，∴9a−3b+3=0解得a=−1b=−2∴y=−x∴抛物线的顶点坐标为(−1,4)；（2）解：把x=0代入y=−x2−2x+3∴点C坐标为0,3．如图，设经过B，C两点的直线的解析式为y=kx+n，将B(−3,0)，C(0,3)代入得−3k+n=0n=3解得k=1n=3∴直线BC的解析式为y=x+3，∴设点P的坐标为(m,−m2−2m+3)，点F∴PF=(−m因为−1<0，∴当m=−32时，PF有最大值此时，点P的坐标为−3（3）解：连接EE∵B(−3,0)和C(0,3)，∴中点E(−3由平移得BE与B′∴CE与B′∴四边形EB∴CE∴CB作点E关于x轴