初中数学自招讲义06 不定方程（详解版）

与氢06不定方程

考点一二元一次不定方程的整数解问题

,考点点拨

重要定理：设“、八C、4为整数，则不定方程"X+〃v=c有：

1、若（“乃）=4且4不能整除，，则不定方程•没有整教解；

2、若（.%,"）是不定方程/1+号=C且的一组整数解（称为特解3则尸=J+此（t为

整数）是方程的全部整颗解（称为通解）.（其中（“，）=〃，且"能整除C.

求整系致不定方程。1一+上'=<的正督懈，通常有以下步骤：

《1》判断有无整数解；（2）求出一个特解；（3）写出通解；

（4）有整数t同时要莉足的条件（不等式组），代入通解，写出不定方程的正整数解.

+典例精选

1.（新编）方程27x+81y=9999的整数解有几组（）

A.0B.1C.2D.多于2

【点拨】将原式化简，变为x+3y=粤，利用反证法，假设左侧有整数解，则与右侧不是整数相矛盾,

得出此题无整数解.

【解析】解：显然，方程两边同时除以9,得到：

3x+9y=1111

等式的两边同时除以3,得到：

要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾.

因此整数解0组.

故选：A.

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，关键是利用“整数”这个条件和二元一次方程有无数

组解，进行推理.

2.（新编）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买1

本，10元钱刚好用完），则不同买法的总数是」^

【点拨】先根据组合公式求出都买2元的有多少种情况，再求出1元的2本，2元的就得4本共多少种

情况，相加即可.

【解析】解：首先，都买2元的，就是从8本书中任意选5本这样就有:

「58x7x6x5x4“劫

C8=5x4x3x2x1=56种，

其次，买1元的2本，2元的就得4本，这样就是从3本1元的里面选2本出来然后又从8本2元的里

面选4本出来:

3x2x18x7x6x5二2。用

CCb—2x1X4x3x2xl—神.

.♦.56+210=266种.

故答案为:266.

【点睛】此题考查了组合数公式的应用，难度不答大，要知道，不仅涉及组合数公式，还要用到乘法原

理.

3.（新编）求方程6x+22y=90的非负整数解.

【点拨】首先对原方程进行化简，先根据一组解求得原方程整数解的表示形式，再求原方程的非负整数

解即可.

【解析】解：因为6,22都能被2整除，所以方程两边同除以2得:

3x+Uy=45.①

由观察知，XI=4,yi=-1是方程3x+lly=l②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

x0=45x4=180

,y0=45x(-1)=-45

由定理，可得方程①的一切整数解为

x=180-lit

（f为整数）,

y=-45+3t

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

180-11/^0③,

-45+3,20④,

由于f是整数，由③，④得15W/W16,所以只有f=15,1=16两种可能.

当f=15时，x=15,y=0；当f=16时，x=4,y—3).

所以原方程的非负整数解是

(x=15俨=4

ly=0ly=3'

【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求方程的非负整数解.当没有条件限制时，方程的解有无数

个.求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条

件的所有整数值，再求出另一个未知数的值.

4.(新编)求1支+15)，=7的整数解.

【点拨】首先将原方程变形，以求得符合条件的一组整数解，再利用参数表示出所有的整数解即可.

【解析】解：方法1：将方程llx+15y=7变形得：工=笥乙

是整数，

：.7-15y应是11的倍数.

由观察得加=2,>-o=-1是这个方程的一组整数解，

方程的解为：ZntG为整数)•

方法2：先考察llx+15y=l,

通过观察易得：11X(-4)+15X(3)=1,

11X(-4X7)+15X(3X7)=7,

可取xo=-28,yo=21.

二方程的解为：c为整数).

—z1I11L

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的知识.注意二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有

无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是

一样的.将解中的参数/做适当代换，就可化为同一形式.

5.(新编)用S(〃)表示自然数"的数字和，如S(1)=1,S(12)=3,S(516)=12,等等，

试问是否存在这样的自然数〃，使得“+S(")=2008?请说明理由.

【点拨】先弄清S(〃)与自然数〃的关系，根据关系列出等式，得到二元一次方程组，并确定x、y的取

值范围，进而推知x、y的整数解与〃的取值范围.

【解析】解："=1985或2003(2分)(每个1分)

'：n+S(")=2008,

1900<n<2008,

则可设”=1900+10x+.y或〃=2000+1Ox+y,

其中0WxW9,0WyW9,且x,y为整数.(4分)

（I）若"=1900+1Ox+y,

则l9OO+IOx+y+l+9+x+y=2OO8,

即llx+2y=98,

•••｛；；：，"=1985.（8分）

（2）若"=2000+10x+y,

则2（X）0+1Ox+v+2+x+y=2008,

即llx+2y=6,

n=2003.

ty=3

."=1985或2003.（12分）

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，同时是一道材料分析题，需要通过阅读，得到解题的

信息，再加以分析.

6.（潮安区）已知关于x的方程9x-3=fcc+14有整数解，求满足条件的所有整数k的值.

【点拨】将原式转化，得到（9-k）x=17,根据x与k均为整数，即可推出女的值.

【解析】解：9x-3=h+14,

（9-jt）x=17,

♦x,二都是整数,

（9-jt）,x都是整数，

：.9-k=-17,-1,1或17,

.•/=26,10,8,-8.

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，根据“整数”这一条件即可将方程的解限制在有限的

范围内通过试解即可得到A的值.

图精准预测

1.方程㈤+|），卜3=0共有（）组不同的整数解（工y）

A.16B.14C.12D.10

【点拨】分别求出当用=0、|x|=E|x|=2、国=3时y的值，然后即可求出所有的整数解.

【解析】解：原方程化为：国+飙=3,

当|x|=0时，lyl=3,y=±3；

当值|=1时，|y|=2,y=±2；

当㈤=2时，|y|=l,y=±1；

当国=3时，|y|=0,y=0.

故其整数解有（0,3）、（0,-3）、（1,2）、（-1,2）、（1,-2）、（-1,-2）、（-2,1）、（2,1）.（-

2,-1）、（2,-1）、（-3,0）、（3,0）,共12个.

故选：C.

【点睛】本题考查二元一次不定方程的整数解，难度适中，注意分类讨论思想的灵活应用.

2.方程|x-2y-3\+\x+y+]\=\的整数解的个数是2组.

【点拨】要求整数解，则可得x-2y-3、x+.v+l都为整数，从而可将原方程化为4个方程组，解出符合

题意的即可.

【解析】解：由题意得，x、y都是整数，

故可得x-2y-3、x+yH都为整数，

从而可得：①

解得：

②俨-2y-3=-l

+y+1=0

解得：i

⑶俨一2y-3=0

⑷卜+y+1=1'

解得：卮2i；

④俨-2y-3=0

W（x+y+1=-r

fx=-1

解得：（I；

综上可得解得整数解为故有2组.

故答案为：2组.

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，解答本题的关键是将原方程化为四个独立的方程组，

难度一般.

3.求方程9x+24），-5z=1000的整数解.

【点拨】设出参数9x+24），=3/,根据9x+24），-5z=1000,得到x、y、z的参数表达式，根据式子特点,

即可得方程有无数组整数解.

【解析】解：设9x+24y=3r,即3x+8y=f,于是3L5z=1000.

于是原方程可化为卜+8y=t①

(3t-5z=1000@

用前面的方法可以求得①的解为：匕：及二胎"是整数；

②的解为什黑，v是整数.

lz=1000+3v

(x=6000—8u+15v

消去r,得，y=—2000+3a—5v,M,v是整数.

z=1000+3v

即当"、V取不同整数的时候，会得到相应的X、y、Z的整数值.

【点睛】此题考查/用参数法求一元三次不定方程的整数解，将每个未知数用相应的参数表达是解题的

关键.

4.我们知道：142857X4=571428；此外，满足此条件的六位数还有吗？如果有，请求出所有满足条件的

六位数；如果没有，请说明理由.

【点拨】设满足条件的六位数为abcdef,则abcdefx4=efabcd.再令abed=x,ef=y,则4(lOOx+j)

=lOOOOy+x,其中(1000Vx<9999,10<y<99).(不定方程式取解时，应考虑x、y的数位分别满足四

位与两位).

【解析】解：设满足条件的六位数为abedef,则abedefx4=e/abed.

再令abed=x,ef=y，则4«10(k+y)=10000y+x,其中(1000<x<9999,10<^<99).

y=57,x=1428=142857x4=571428

y=76,x=1904=190476x4=761904

(y=95,x=2380=>238095x4=952308

故另外两个是190476,238095.

【点睛】本题主要考查数位变换能力及不定方程求整数解的能力.

5.已知关于x的方程2〃?x-8=(〃?+2)x有正整数解，求整数巾的值.

【点拨】将x转化为关于,〃的代数式，根据x为整数，即可推知勿的值.

【解析】解：由2/〃x-8=(m+2)x,

因为x是正整数，则，2是8的正因数,

故2的值只能取以下1,2,4,8,

那么整数，〃的值是3,4,6,10.

【点睛】此题考查了二元一次不定方程，将原式转化为关于一个未知数的代数式，根据“整数”这一条

件进行推理是解题的关键.

6.用S(〃)表示自然数〃的各位数字之和，如S(1)=1,5(12)=3,S(516)=12,…，试问是否存

在这样的自然数，使得"+S(〃)=2015?请说明理由.

【点拨】先假设n是三位数和四位数，依据〃+S(〃)=2015判断出n的大致范围是在1900到2015之间，

设十位数字为。，个位数字为6,根据〃+5(”)=2015列出关于0、〃的二元一次方程，根据0W“<9,

0W6W9且小匕均为非负整数可得答案.

【解析】解：存在这样的自然数1993和2011,使得〃+S(〃)=2015.

(I)若〃是三位数，〃的最大取值为999,

此时999+S(999)=999+27=1026V2015,

所以n不是三位数；

(2)若〃是四位数，

①假设1800<n<1900,

设十位数字为“，个位数字为方，

则“+S(〃)=1800+1Oa+b+9+a+b=2015,

整理得：11“+26=226,

由于0WaW9,09W9,且a、匕均为整数，

所以lla+2bW117<226,

则”N1900；

②若1900W〃<2000,

则1900+10a+b+10+a+6=2015,

整理得lla+2b=105,

：0WaW9,0W6W9,且a、〃均为整数，

6?=9»b=3,

此时几=1993；

③若200()W〃<2015,

贝|J〃+S(n)=2000+10a+b+2+a+b=2015,

整理得lla+2b=13,

由于0<aW9,0W6W9,且。、均为整数,

••11b=:1；

此时“=2011：

综上，存在这样的自然数1993和2011,使得〃+S（〃）=2015.

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，同时是一道材料分析题，需要通过阅读，得到解题的

信息，再加以分析.

考点二二元一次不定方程的应用

,考点点拨

我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的13往往是不确

定的，例如方程

x-2尸3，

方程组

x+y+z=100,

{x+3y+2z=180

等，它们的解是不确定的.像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组.

不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富.我国对不定方程的研究已

延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国则余定

理.近年来，不定方程的研究又有新的进展.学习不定方程，不仅可以柘宽数学知识面，

而且可以培赛思维♦劭，提高数字解题的技能.

+典例精选

1.（昌江区校级）一个十几岁的孩子把自己的年龄写在父亲年龄的后面，以这个四位数中减去他出生时父

亲的年龄得到4289,则孩子有16岁.

【点拨】先表示出这个四位数为100x+y,进而建立不定方程100x+y-（x-y）=99x+2y=4289,而10

<A<20,确定出y的范围取整即可得出结论.

【解析】解：设父亲x岁，儿子y岁，

,父亲与儿子的年龄相差（x-y）岁，

♦.•把自己的年龄写在父亲年龄的后面，

.••X的个位在百位上，是原来x的100倍.

.•.组成的四位数应该是：100x+y,

；这个四位数中减去他出生时父亲的年龄得到4289

100.r+y-（x-y）=99x+2y=4289

•••是一个十几岁的男孩，

，10<x<20,

.,.20<2y<40,

.\4249<99X<4269,

.,.42,9<x<43.l,

是整数，

.♦.x=43,

儿子的年龄为（4289-43X99）+2=16岁

故答案为：16.

【点睛】此题是二元一次不定方程，主要考查了解不等式，读懂题意，列出相关的代数式的方法，解本

题的关键是根据题意列出方程.

2.（大庆）小颖带了10元钱购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，则可供她选择

的购买方案有（两样都买，余下的钱少于0.8元）（）

A.6种B.7种C.8种D.9种

【点拨】设购买x支中性笔，y本笔记本（x、y均为正整数），根据总价=单价X数量结合余下的钱少于

0.8元，即可得出关于x、y的二元一次不定方程，再结合x、y值均为正整数，即可找出各购买方案.

【解析】解：设购买x支中性笔，了本笔记本（x、y均为正整数），

根据题意得：9.2<0.8x+l.2yWl0,

当y=1时，x=ll；

当y=2时，x=9；

当y=3时，X—8；

当y=4时，x=7；

当y—5时，x—5；

当y=6时;x=3；

当y=7时，x=2；

当y=8时，x=0（不合题意，舍去）.

故一共有7种方案.

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据数量间的关系，列出关于x、y的二元一次不定方程

是解题的关键.

3.（辉县市）有一根长40〃〃〃的金属棒，欲将其截成x根长的小段和y根9根》7长的小段，剩余部分作

废料处理，若是废料最少，则正整数x,y分别为（）

A弋工C.［；：：D.陞

【点拨】根据金属棒的长度是40〃向，则可以得到7x+9yW40,再根据x,y都是正整数，即可求得所有

可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定.

【解析】解：根据题意得：7x+9）W40,

则启竺尹,

•；40-9>20且夕是正整数，

二了的值可以是：1或2或3或4.

当y=I时，x<^-,则x=4,此时，所剩的废料是：40-1X9-4X7=3，"，〃；

当y=2时,x<=^,则x=3,此时，所剩的废料是：40-2X9-3X7=1,”〃?；

1Q

当y=3时，x<-y-,则x=1,此时，所剩的废料是：40-3X9-1—hmm-,

当y=4时，x<则x=0（舍去）.

则最小的是：x=3,y=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用，读懂题意，列出算式，正确确定出x,），的所有取值情况

是本题的关键.

4.（南岸区校级）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分

到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论

的重要方法.

阅读材料一：

利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法,

常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.

11

例如，ab—1求证:---+---7

1+a1+b

证明：原式=言3+击=备+击=1

波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群

生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.

阅读材料二:

基本不等式属S嘤(a>0,b>0),当且仅当〃=匕时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.

例如：在x>0的条件下，当x为何值时，x+1有最小值，最小值是多少？

1X+工

x,一,即x+]N2Jx•••.%+]22

解：Vx>0,—X），-->

x2

当且仅当x=J,即X=1时，x+1有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

(1)己知浦=1,求下列各式的值:

①"号二」

②-------+--------=1

^l+anl+bn-------

Sax5bxSex

(2)若abc=l,解方程ab+a+1+bc+b+1+ca+c+1

(3)若正数a、6满足曲=1,求+的最小值・

JLILvJLl乙L/

【点拨】(1)①由题意可得代入式中可求值;

②由题意可得代入式中可求值；

(2)将"c=l代入方程可求解；

(3)由M=+1=11+把+工h=1上士上?=1-----\—,可得当a+2取最

1+Ql+2b(l+a)(l+2b)1+2Q8+Q+2ba+2b+3a+-+3a

a

小值时，M的值最小.

【解析】解：(1)①'.•“6=1

.1

''a=b

.国31,182,1

.•原式=用+1?浜=不干+讦前=1

故答案为：1

@'：ab=\

1

b

11

原式==1

1+4+1+bn

故答案为：1

Sax5bxSex

(2)V=1»且ahc=1

ab+a+1bc+b+1ca+c+19

SaxSbx5ex

1

ab+a+abcbc+b+1ca+c+abc

5x+5bx5x

-------+--------=1

bc+b+1a+l+ab

a(5x+5Dx)5x

a(bc+b+l)Q(bc+b+l)

5%(a+匕Q+1)

a(bc+b+l)

(3)一正数a、b满足而=1

；・b=a>0,b>0,

6z+=(\fo.—)~+2A/2>2A/2

..股_11_l+2b+l+a_2+2b+a_〔1_〔1

*1+Ql+2b(l+a)(l+2b)l+2ab+a+2ba+2b+3Q+?+3

，当a+[=2&时，M的值最小，

...M最小值=1一焚短=2V2-2

【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键.

5.(罗源县)体育用品商店胡老板到体育商场批发篮球、足球、排球，商场老板对胡老板说：“篮球、足球、

排球平均每只36元，篮球比排球每只多10元，排球比足球每只少8元”.

(1)请你帮胡老板求解出这三种球每只各多少元？

(2)胡老板用1060元批发回这三种球中的任意两种共30只，你认为他可能是买哪两种球各多少只？

(3)胡老板通常将每一种球各提价20元后，再进行打折销售，其中排球、足球打八折，篮球打八五折，

在(2)的情况下，为了获得最大的利润，他批发回的一定是哪两种球各多少只？请通过计算说明理由.

【点拨】(1)分别设篮球每只x元，足球y,排球z,根据题意可得出三个二元一次不定方程，联立求解

即可得出答案.

（2）假设：①买的是篮球和足球，分别为。只和6只，根据题意可得出两个方程，求出解后可判断出

是否符合题意，进而再用同样的方法判断其他的符合题意的情况；

（3）分别对两种情况下的利润进行计算，然后比较利润的大小即可得出答案.

XVZ

【解析】解：（I）设篮球每只x元，足球y,排球z,得,§=36；x-z=10；y-z=8；

解得x=40；y=38；z=30；

（2）假设：①买的是篮球和足球，分别为“只和。只，

则a+6=30：40a+38b=1060；得。=-40,0=70,则不可能是这种情况；

同理若买的是足球和排球则求得可以是买足球20,排球10只；

若买的是篮球和排球则是篮球16只，排球14只；

（3）对两种情况分别计算，若为足球和排球，即（38+20）X0.8X20+（30+20）0.8X10=1328（元）；

若为篮球和排球，即（40+20）X0.85X16+（30+20）X0.8X14=1376（元），

买篮球16只，排球14只利润最大.

【点睛】本题考查二元一次不定方程的应用，题目的信息较多，在解答时要注意抓住等量关系，利用二

元不定方程的知识进行解答.

6.（西安校级模拟）岳飞是我国古代宋朝的民族英雄，曾任通泰镇抚史、兼泰州知州.据说在泰州抗击金

兵期间，有一次曾向将领们讲了如下一个布阵图，如图4是一座城池，在城池的四周设了八个哨所，一

共由24个卫士把守，按直线算，每边都有11个人，后来由于军情发生变化，连续四次给哨所增添兵力，

每次增加4人，但要求在增加人员后，仍然保持每边11个人把守.请问，兵力应如何调整？

5-------1-------5

5|―|1|~~[5

【点拨】如果设角上有x人，边上有y人，有；2x+y=i\,这是一条直线上的.4x+4.y=24,这是所有哨

所的.显然x=5,y=l.现在要添加4人，要求添加后每条直线上仍有11人，则有：2x+y=ll,4x+4y

=28,解得x=4,y=3.因此第一次增加兵力后，应调整为：4人，3人，4人；3人，城池，3人；4

人，3人，4人.同理可得第二次：3人，5人，3人：5人，城池，5人：3人，5人，3人.第三次：2

人，7人，2人；7人，城池，7人；2人，7人，2人.第四次：1人，9人，1人；9人，城池，9人；1

人，9人，1人.

【解析】解：兵力调整如图所示:

【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用，找到等量关系每边都有11个人，结合四条边卫士的总人

数的变化规律列出方程组求解即可.

7.（沙坪坝区校级）一堆糖果分给儿童，如果分给每位儿童4颗，那么剩下28颗；如果分给每位儿童5颗，

那么最后一位儿童分不到5颗，但至少能有2颗.问儿童至少有多少个.

【点拨】设有x位儿童，y块糖，由“如果分给每位儿童4颗，那么剩下28颗；如果分给每位儿童5颗，

那么最后一位儿童分不到5颗，但至少能有2颗”，即可得出关于x,y的二元一次不定方程，解之即可

得出x的取值范围，取其中的最小正整数即可得出结论.

【解析】解：设有x位儿童，），块糖，

根据题意得：f:y-v4x=28

[2<y—5（x-1）<5

解得：28cxW31.

为正整数，

的最小值为29.

答：儿童至少有29个.

【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出关于x,y的二元•次

不定方程是解题的关键.

3、精准预测

1.小杨在商店购买了。件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件7元，乙种商品每件

19元，那么a+b的最大值是27.

【点拨】根据题意得出关于。和〃的二元一次方程，然后用人表示出a,继而用b表示出a+力，然后可以

利用函数的思想得出a+b取得最值的条件，即能得出答案.

【解析】解：由题意得，7〃+1鲂=213,

213-19万

a=7

空产+.=组产

■：a+b是关于b的一次函数且a+b随b的增大而减小,

当〃最小时,4+6取最大值,

又一是正整数,

...当6=2时，的最大值=27.

故答案为：27.

【点睛】本题考查二元一次不定方程的应用，技巧性较强，解答本题的关键是函数思想的应用，同学们

要注意掌握这种解题思想，它会在以后的解题中经常用到.

2.一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数.起先，每辆车乘坐22人，发现有一人

坐不上车.若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车.已知每辆车的载客量不能多

于32人，则原有人辆汽车,这批旅客有529人.

【点拨】设原有A辆汽车，则开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐〃个人，显然上22,“W32,然后得出

旅客人数等于22Z+1,当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为〃（&-1）,继而可列出方程，

然后讨论得出符合题意的解即可.

【解析】解：设原有k辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐〃个人，显然）t22,“W32,

易知旅客人数等于22A+1,当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为〃（Z-1）,

由此列出方程22Z+1=〃Ck-1）,

.22fc+l22（/c-1）+23„„,23

''n=-k=r=—e—=22+0,

23

因为〃为正整数，所以;一必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和23两个，且女22,

k-1

*.k-1=1,或左-1=23,

如果…=1,则％=2,〃=45,不满足〃<32的条件.

如果氏-1=23,则k=24,〃=23,符合题意.

所以旅客人数等于〃（Jt-I）=23X23=529（人）.

故答案为：24,529.

【点睛】本题考查二元一次不定方程的应用，难度较大，需要较强的分析探讨能力，解答本题的关键是

根据题意列出方程，利用实际情况讨论可能的取值.

3.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的〃

倍”；小玲对小倩说：“你若给我〃元，我的钱数将是你的2倍”，其中〃为正整数，则〃的可能值的个数

是（）

A.1B.2C.3D.4

【点拨】首先设小倩所有的钱数为X元、小玲所有的钱数为y元，x,y均为非负整数，根据题意可得方

程组：『：2=：?一2%消去x,可整理求得2〃=i+熹，由〃为正整数分析求解，即可求得答案.

【解析】解：设小倩所有的钱数为X元、小玲所有的钱数为y元，X,y均为非负整数.

由题设可得：卜+2=律？-2图,

(y+n=2(x-n)(2)

将(y-2)-2代入②得：

消去x得：(2y-7)〃=y+4,

B|J：(2y-7)+15_15

2n=2y-7~1十2y-7,

:行为正整数,

，2y-7的值分别为1,3,5,15,

.••y的值只能为4,5,6,11.

二〃的值分别为8,3,2,1；x的值分别为14,1,6,7.

即〃的可能值的有4个.

故选：D.

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的应用.此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据与题意求

得方程组：产：2=：?-22,注意掌握消元思想与分类讨论思想的应用.

4.小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布”的划拳游戏.游戏规则为：胜一次得3分，平一次得1分，负

一次得0分，一共进行7次游戏，游戏结束时，得分高者为胜.若游戏结束后，小王得分为10分，则小

王7次游戏比赛中最少要胜()

A.1次B.2次C.3次D.4次

【点拨】设小王胜x次，平y次，由此可以得到3x+y=l0,又x+yW7,而x、y为自然数，联立这些数

量关系解之即可求解.

【解析】解：设小王胜x次，平)，次，x,y为自然数，

3x+y=10

x+y<7

{0<x<4.

解得x=3,y=l或x=2,y—4.

即小王的比赛结果为3胜1平3负，或2胜4平1负.

所以最少要2胜.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了二元一次不定方程的应用，解题是首先正确理解题意，然后根据已知条件设未

知数列出方程或不等式，联立所以方程、不等式解之即可解决问题.

5.天意花店在母亲节感恩大特卖活动中，康乃馨1.5元/支，玫瑰花2元/支，包装成整束加工费2元.莉莉

手里有21元钱，想买10支花，包装成整束后送给妈妈，应该如何搭配()

A.7支康乃馨，3支玫瑰花B.8支康乃馨，2支玫瑰花

C.3支康乃馨，7支玫瑰花D.2支康乃馨，8支玫瑰花

【点拨】设买康乃馨x支，玫瑰花y支，根据已知条件可以得到1.5x+2y+2=21,x+y=10,联立组成方

程组解之即可求解.

【解析】解：设买康乃馨x支，玫瑰花)，支，

依题意得

(l.Sx+2y+2=21

(x+y=10

•••解之得［；晨，

答：应该买2支康乃馨，8支玫瑰花即可.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后

根据题目的数量关系列出方程组解决问题.

6.中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡

雏各几何？

【点拨】设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x、y、z,则有［5x+3y+q=100’通过消元，将问题转化为求二

元一次不定方程的非负整数解.

【解析】解：设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，那么根据已知条件列方程，有：

x+y+z=100…(1)

5x+3y+z/3=100…(2)

(2)X3-(I),得

14x+8y=200

即，7x+4y=100-(3)

显然x=0,y=25符合题意，得，

所以，x=0,y=25,z=75；

在（3）式中4y和100都是4的倍数：

7x=100-4y=4（25-y）,

因此7x也是4的倍数，7和4是互质的，也就是说x必须是4的倍数；

设x=4r,

代入（3）得，y=25-7t

再将x=4f与y=25-7/代入（1）,有：z=75+3f,

取r=I,/=2,f=3就有：

x—4,y—18,z=78或x=8,y=ll,z=81或x=12,y—4,z=84：

因为x、z都必须小于100且都是正整数，所以只有以上三组解符合题意：

①买公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；

②买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只：

③或买公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；

④或买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只.

【点睛】本题主要考查了二元一次不定方程的应用，注意：方程变形后的隐含条件，互质数的应用，以

及正整数的取值范围必须使本题由意义.

考点三三元一次不定方程

+典例精选

1.（浙江校级自主招生）一宾馆有一人间、二人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租

用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）

A.6种B.5种C.4种D.3种

【点拨】首先设宾馆有客房:一人间x间、二人间y间、三人间z间,根据题意可得方程组:。（。匕丫；15

解此方程组可得y+2z=8,又由x,y,z是整数，即可求得答案.

【解析】解：设宾馆有客房：一人间x间、二人间y间、三人间z间，

根据题意得：15,

解得：y+2z=8,

''x,y,z是整数，

...y可选：0,2,4,6共4种情况.

故选：c.

【点睛】此题考查了三元一次不定方程组的应用.此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列

方程组，然后根据X,y,Z是整数求解，注意分类讨论思想的应用.

2.（新编）在打靶中，某运动员每发子弹都是命中8、9、10环，他打了多于11发子弹.，共得100环，那

么，他命中10环的次数是（）

A.0B.1C.2D.不能确定

【点拨】首先设环数为8,9,10的次数分别为x,y,z,然后根据题意得：x+y+z>\\,8x+9y+10z=100,

又由8x+9y+10z28X13>100,即可求得该运动员打靶的次数，然后由x,y,z是正整数，则可求得环数

为8、9、10的次数分别是多少.

【解析】解：设环数为8,9,10的次数分别为尤，y,z,

/.x+y+z>11,8x+9y+10z=100>

若x+y+z^13>

则8x+9,y+10z》8X13>100,

故x+.y+z=12.

•••该运动员打靶的次数为：12.

当x=10时，y=0.z—2,

当x=9时，y=2,z=\,

当x=8时，y=4,2=0.

故他命中10环的次数分别为：0,1,2.

故选：D.

【点睛】此题考查了三元不定方程的应用.此题难度较大，解题的关键是分类讨论思想的应用.

3.（南充自主招生）甲、乙、丙三名学生分20支相同的铅笔，每人至少1支，则不同的分配方法有171

种.

【点拨】根据题意确定甲最多能分到18只，最少能分到1只，以此类推，确定所有分法，相加后即可求

解.

【解析】解：•••每人至少要分到一支，全部笔又要分完，

...每最多可以分到20-2=18支.

•••只要甲乙两人的分法确定后，内的分法就是唯一的.

甲乙的总分配方法就是三人全部的分法.

当甲分18支时，乙就只能分I支，有1种分法:

当甲分17支只，乙就可分1到2支，有2种分法；

当甲分16支时，乙就可分1到3支，有3种分法；

依此类推，

当甲分1支时，乙就可分1到18支，有18种分法.

总的分配方法共有：

1+2+3+…+18=18X（；8+1）=171（种）

答：不同分配方法有171种.

故答案为：171.

【点睛】考查了三元一次不定方程的知识，解决此类问题的关键是熟练掌握分步计数原理与分步计数原

理，以及能够观察出4名学生的分配方法.

4.（黄冈校级自主招生）某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，

大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购

买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？

【点拨】根据题意结合奖品的价格得出5x+7y+10z=346,y=2z,再利用共花费346元，分别得出x,»

z的取值范围，进而得出z的取值范围，分别分析得出所有的可能.

【解析】解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，

贝IJ有5x+7y+10z=346,y=2z,

易知0<xW69,0<yW49,0<zW34,

.,.5x+14z+10z=346,5x+24z=346,g|JA=5.

y,z均为正整数，346-24z》0,即0<z<14,

Az只能取14,9和4,

①当z为14时，X=—5—=2,y=2z=28,x+y+z=44.

②当z为9时，x=史浮生=26,y=2z=18.x+y+z=53.

③当z为4时，x=-----g-----=50,y=2z=8.x+y+z=62.

综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.

【点睛】此题主要考查了三元一次不定方程，根据题意得出x,y,z的取值范围是解题关键.

5.(苏州校级自主招生)已知：a、b、c是实数，且a+6+c、=0,abc=4,求证：“、b、c中至少有一,个数大

【点拨】根据第一个等式可消去c,代入第2个等式可得含h的一元二次方程，利用根的判别式判断出

最大数的取值即可.

【解析】解：a+b+c—Q<

c=-a-b

'.abc—ab(-a-b)--ab(a+b)--a2b-ab2=4

得ba2+b2a+4=0

"：a,b,c为实数

判别式=/-4X6X4=/-16620

这时不妨设6为。、氏c,中的最大的数，

则可得到b>0得宜-1620万、16

：.b>V16>2,5

所以a,b,c中至少有--个数大于三.

2

【点睛】考查三元一次不定方程的应用；遵循消元的思想，和利用根的判别式解决问题是解决本题的基

本思路.

精准预测

1.球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为

10元的比票价为20元的多的张数是()

A.12B.16C.20D.24

【点拨】设三种票分别买了x、y、z张.则根据题意列出关于x、y、z的三元一次方程组,

然后解x-z的值即可.

【解析】解：分别设三种票买了x、y、z张.

则根据题意，得1+15y+20z=480®

(%+y+z=40②

由②，得：y=4Q-x-z,③

将③代入①，得：x-z=24.

故选：D.

【点睛】本题考查了三元一次不定方程的应用.根据题意列出三元一次方程组，本题是通过“代

入消元法”来解三元一次方程组的.

2.方程2“+v+x+y+z=3的非负整数解（小v,x,y,z）有几组？（）

A.10B.20C.24D.30

【点拨】分别从〃=0时，vxyz若只有一个0,vxyz若只有两个0,vxyz若只有三个。与“=1时去分析，

即可求得答案.

【解析】解：•••若”=0时，这时叼，z若只有一个0,则有4种情况；

若〃=0时，vxyz有两个0,则有6X2=12种情况；

若〃=（）时，vxyz有三个0,则有4种情况；

若“=1时，其他四个数只能有一个不为0,故有4个情况；

这样一共就有4+12+4+4=24种情况.

.•.方程2"+v+x+y+z=3的非负整数解v,x,y,z）有24组.

故选：C.

【点睛】此题考查了多元不定方程.解题的关键是分类讨论思想的应用.

3