西藏自治区拉萨市高三上学期第一次模拟考试数学（文）

拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学文科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则（）A B. C. D.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限3.双曲线的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，4.的值为（）A.0 B. C. D.5.将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（）A. B. C. D.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.7.已知抛物线：焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（）A. B. C.4 D.58.四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面相交的概率是（）A. B. C. D.9.若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.10.若一个圆锥轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A B.C. D.11.已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.12.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，向量，.若，则______.14.已知正数，满足，则的最小值为______.15.如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________．16.函数是奇函数，则实数______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等比数列的公比，且.（1）求的通项公式；（2）若为等差数列，且，，求的前项利.18.如图，正方体的棱长为2.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.19.果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差；（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图.（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数（结果保留整数）.20.设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.（1）求的标准方程；（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.21已知函数.（1）证明：，有；（2）设（），讨论的单调性.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修44：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.【选修45：不等式选讲】23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：，，使得.拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学文科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案.【详解】因为，，所以，因为，所以.故选：A2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】，则在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B．3.双曲线的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】先求得，进而求得焦点坐标.【详解】因为，，所以，得，所以焦点坐标为和.故选：C4.的值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求得正确答案.【详解】.故选：D5.将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换求得的解析式，然后根据为偶函数求得.【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，因为为偶函数，且，所以，得.故选：A6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据趋于正无穷时函数值大于0可得到答案.【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B.故选：A.7.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（）A. B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义求得点的坐标，进而求得.【详解】设，由得，又，得，所以，.故选：B8.四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面相交的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】设各棱中点依次为，，，，，，如图所示，确定的直线有15条：，，，，，，，，，，，，，，，其中在条与平面平行：，3条在平面内：，其余与平面相交，共有9条，故所求概率.故选：D9.若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出可行域，然后利用斜率的知识求得的最小值.【详解】根据约束条件画出如图所示的可行区域，再利用几何意义知表示点与点连线的斜率，直线的斜率最小，由，得，所以.故选：C10.若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积.【详解】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，所以圆锥的母线长，底面圆半径，所以该圆锥的侧面积为.故选：B11.已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由在区间上恒成立列不等式，分离参数，根据函数的单调性求得的取值范围.【详解】依题意可得在区间上单调递减，则在区间上恒成立.因为，所以在区间上恒成立，而在区间上单调递减，∴，的取值范围是.故选：B12.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得圆的直径，结合正弦定理，即可求得的长.【详解】因为，所以为圆的直径，根据题意，可得，又因为在以为直径的圆上，即以为直径的圆为的外接圆，由正弦定理，可得.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，向量，.若，则______.【答案】##0.5【解析】【分析】根据向量平行列方程，从而求得的值.【详解】因为，所以，即.故答案为：14.已知正数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】正数，满足，利用“1”的代换，将已知转化为，再利用基本不等式求解即可.【详解】正数，满足，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.15.如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________．【答案】【解析】【分析】先求出半径之比，从而可求体积之比.【详解】根据球的表面积公式，可求得两个球的半径之比为，利用球的体积公式可得出两个球的体积比为故答案为：.16.函数是奇函数，则实数______.【答案】【解析】【分析】根据是奇函数，由求解.【详解】因为是奇函数，所以，，所以.故答案为：2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等比数列的公比，且.（1）求通项公式；（2）若为等差数列，且，，求的前项利.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得.（2）求得的首项和公差，从而求得.【小问1详解】因为等比数列公比，所以，，所以.【小问2详解】由（1）得，，所以的公差，所以，所以.18.如图，正方体的棱长为2.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得结论成立.（2）利用等体积法求得点到平面的距离.【小问1详解】由于，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，∴平面.小问2详解】设点到平面的距离为，因为，所以，即，解得.所以点到平面的距离为.19.果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差；（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图.（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数（结果保留整数）.【答案】（1）5；3.6（2）（ⅰ）120；（ⅱ）24.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据频率分布直方图求得正确答案；（ⅱ）根据中位数的求法求得正确答案.【小问1详解】，.【小问2详解】（ⅰ）600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为:.（ⅱ）由，，可得，所以，解得，所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24.20.设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.（1）求的标准方程；（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，可直接求出点，，从而确定基本量的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，直曲联立，解方程即可进行取舍；当斜率存在时，直曲联立，结合韦达定理和中点坐标公式列方程即可求.【小问1详解】由题意，直线与轴的交点为，与轴的交点为，所以，，，因此标准方程为.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，：，联立，解得或，故，，不满足，即不是的中点，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线：，，.联立可得，即.所以.由于为的中点，所以，即，解得.综上，直线的方程为，即.21.已知函数.（1）证明：，有；（2）设（），讨论的单调性.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得的最小值，从而证得结论成立.（2）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案.【小问1详解】因为，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.【小问2详解】因为，所以，因为，令，得或，若，则，时，，单调递减，和时，，单调递增；若，则，，在上单调递增；若，则，时，，单调递减，和时，，单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果