相交线与平行线复习学案

第五章相交线与平行线一、知识结构〔见教材P34〕二、重难点解析1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角11243∠1与∠43有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为对顶角即∠1∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线。领补角∠3+∠4=°2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。符号语言记作：如下图：AB⊥CD，垂足为O推理:eq\o\ac(○,1)∵∠COB=90°〔〕∴AB⊥CD〔垂直的定义〕——证明两直线垂直的方法eq\o\ac(○,2)∵AB⊥CD()∴∠COB=90°(或∠AOC=90°,…)〔〕⑵垂线性质1：过一点一条直线与直线垂直(与平行公理相比拟记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短。简称：〔4〕垂线的画法：一靠，二移，三画注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的。3、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的，叫做点到直线的距离如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。4、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于直线的共同特征。(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即点与垂足)间距离。⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。5.平行线〔1〕定义：在同一平面内，不的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。〔2〕、两条直线的位置关系在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：和。〔备注：垂直是是相交的一种特例。〕6、平行公理及其推论〔1〕平行公理：经过一点，有且只有条直线与这条直线平行〔2〕平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相如下图，∵∥，∥〔〕∴∥〔平行于同一直线的两条直线互相平行〕7、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图，直线被直线所截①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做②∠5与∠3在截线的两旁〔交错〕，在被截直线之间〔内〕，叫做③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间〔内〕，叫做④三线八角也可以从模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，其中共线的直线是截线，另两边所在直线为被截线。(备注：识图技巧：有时需要将有关的局部“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。总之看构成角的相关边所在直线)8、两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：〔1〕∵∠3＝∠2〔〕∴AB∥CD〔同位角相等，两直线平行〕〔2〕∵∠1＝∠2〔〕∴AB∥CD〔〕〔3〕∵∠4＋∠2＝180°〔〕∴AB∥CD〔〕⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点〔不相交〕，那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。另外例题结论：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。9、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；ABABCDEF1234几何符号语言：如右图，AB∥CD，EF为截线。〔1〕∵AB∥CD〔〕∴∠3＝∠2〔两直线平行，角相等〕〔2〕∵AB∥CD〔〕∴∠1＝∠2〔〕〔3〕∵AB∥CD〔〕∴∠2＋∠＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕10、平行线的性质与判定区别平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。其中，由角的相等或互补〔数量关系〕的条件，得到两条直线平行〔位置关系〕这是平行线的判定；由平行线〔位置关系〕得到有关角相等或互补〔数量关系〕的结论是平行线的性质。11、两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，那么称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。12、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。注：一般问句、作图语句均不是命题。⑵命题的组成每个命题都是、两局部组成。〔3〕命题的一般形式：如果…，那么…(4)真命题与假命题13、平移〔1〕平移变换〔平移〕定义①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点③连接各组对应点的线段平行且相等〔2〕、平移的特征：①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行〔或在同一直线上〕且相等，对应角相等，图形的形状与大小都完全相同。AEDBCAEDBC第1题三、典型例题例1.如图，于平分，那么的度数为例2.如图，直线l1∥l2，那么α为〔〕A．150°B．140°C．130°D．120°CDBAECDBAEF124题图2ABCDEF〔第5题图〕A(第3A(第3题图)BCDE130°70°αl1l2第2题图例4.如图，，于交于，，那么〔〕A．20°B．60°C．30°D．45°例5.如图，，假设，，那么C等于〔〕A．20° B．35°C．45°D．55°例6.如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形〔下底挖去一小半圆〕，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，那么∠1+∠2＝度.例7.如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC。理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G〔〕∴∠ADC=∠EGC=90°〔〕∴AD∥EG〔〕∴∠1=〔〕=∠3〔〕又∵∠E=∠1〔〕∴∠2=∠3〔〕∴AD平分∠BAC〔〕。例8.：如图，AB与CD交于点O，AB⊥GH于点O,OE平分∠BOH，∠1＝30°.求∠COE的度数。例9.如图，假设AB//CD,EF与AB、CD分别相交于点E、F,EP与∠EFD的平分线相交于点P，且∠EFD=60°，EP⊥FP,求∠BEP的度数。例10.：如图∠1=∠2，∠E=∠F,试说明AB∥CD，并说明理由。CC12FEABD四、稳固训练1.如图直线a、b相交〔1〕.假设∠1=40°，那么∠2=°；∠3=°；∠4=°．(2).假设∠1：∠2=1：3，那么∠3=°；∠4=°．〔3〕假设∠2-∠1=100°．那么∠2=°；∠3=°；2.判断：〔1〕相等的角是对顶角〔〕〔2〕对顶角的平分线一定共线，领补角的平分线互相垂直〔〕3.如图，AB、CD交于O，OA平分∠COE，∠DOE=80°，那么∠BOC=°4.如图，⑴由∠2＝∠B可判定∥，根据是；⑵由∠1＝∠D可判定∥，根据是；⑶由∠3＋∠F＝180°可判定∥，根据。第4题图cCCaCCbCC2CC1CC第5题图第4题图cCCaCCbCC2CC1CC第5题图A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，6.如图,∠1=∠2，∠3=80O，那么∠4=〔〕A.80OB.70OC.60OD.50O7.如图，直线AB//CD，∠C=115°，∠A=25°，∠E=〔C〕ABCDE(第8题图)A、70ABCDE(第8题图)第9第9题图第6题图8.如下图，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，那么∠E的度数为_______________．9.如图，，∠1=130o，∠2=30o，那么∠C=．10.如图，，∠1=120°，∠2=100°，那么∠3=〔〕 A．20° B．40° C．50° D．60°第11题图11.如图，直线a、b被直线c第11题图A．当∠1=∠2时，一定有a∥bB．当a∥b时，一定有∠1=∠2C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2=180°D．当a∥b时，一定有∠1＋∠2=90°12.如图，在四边形中，点在上，，，，那么的度数为〔〕A． B． C． D．第12题图13.如图，把矩形沿对折后使两局部重合，假设，那么=〔〕第12题图A．110°B．115°C．120°D．130°14．将一直角三角板与两边平行的纸条如下图放置，以下结论：〔1〕∠1＝∠2；〔2〕∠3＝∠4；〔3〕∠2+∠4＝90°；〔4〕∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是〔〕123412345第15题图第15题图第14题图第13题图15、如图，以下各式是正确的选项是〔〕A、∠1与∠4是同位角B、∠1与∠3是同位角C、∠2与∠4是同位角D、∠2与∠3是同位角16、以下运动属于平移的是〔〕A.空中放飞的风筝B.飞机在平直的跑道上滑行到停下来C.篮球运发动投篮入框的过程D.国旗在风中飘扬17、下面的每组图形中，左面的平移后可以得到右面的是〔〕A