数学-专项15 折叠问题中的勾股定理（原版）

专题15折叠问题中的勾股定理【例题讲解】（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．解：（1）设AB＝xcm，则AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2，∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，∴AE＝AC−EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8−y）2＝42＋y2，解得：y＝3，∴DE＝3cm．【综合解答】1．如图，在中，，，，在边上有一点，将沿直线折叠，点恰好在延长线上的点处，求的长．2．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点

B的对应点为点E.(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．（1）若a＝4，求CE的长；（2）求的值．4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长．5．在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标．

6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．7．（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．8．如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC边上的高线长．(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．

①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．9．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求△MNK的面积．（3）△MNK的面积能否小于0．5？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；10．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以A为顶点的的两边始终与轴交于、两点（在左面），且．（1）如图，连接，当时，试说明：．（2）过点作轴，垂足为，当时，将沿所在直线翻折，翻折后边交轴于点，求点的坐标.

11．综合与探究在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究：（1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处①若，，则的度数为．②，，之间的数量关系为．（2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；（3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．12．问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝；问题解决（3）如图③，在Rt△AB