数学-专题14 古代数学文化中的二元一次方程组的应用（带答案）

专题14古代数学文化中的二元一次方程组的应用（解析版）专题解读：因为中考必考又有趣，所以练练很必要！一、《算法统宗》里的二元一次方程组的应用1．（2021秋•招远市期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．思路引领：设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可．解：设小和尚有x人，大和尚有y人，依题意，得：x+y=1001解得：x=75y=25答：小和尚有75人，大和尚有25人．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2022春•丹阳市期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？该批住店房客多少人？思路引领：该店有客房x间，该批住店房客有y人，由题意：如果每一间客房都住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．列出二元一次方程组，解方程组即可．解：该店有客房x间，该批住店房客有y人，

由题意得：7x+7=y9(x−1)=y解得：x=8y=63答：该店有客房8间，该批住店房客有63人．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．（2022春•鄞州区校级月考）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？思路引领：设共有x人，共有y两银子，根据“若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两”列二元一次方程组，求解即可．解：设共有x人，共有y两银子，根据题意，得7x+4=y9x−8=y解得x=6y=46∴银子共有46两．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用题，根据等量关系列二元一次方程组是解决本题的关键．4．（2020•蜀山区校级一模）《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，其大意是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两多少文？思路引领：设肉价每两x文，哑子有钱y元，根据买一斤（16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，列出方程组，再解即可．解：设肉价每两x文，哑子有钱y元，由题意得：16x−30=y8x+18=y解得：x=6y=66答：肉价是每两6文．总结提升：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．

5．（2019•颍泉区模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深多1尺，问绳长、井深各是多少尺？”．若设这个问题中的绳长为x尺，求x的值．思路引领：用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．解：设井深为y尺，则绳长为x，依题意得：x=3(y+4)x=4(y+1)解得x=8y=36答：井深为18尺，绳长36尺．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．《九章算术》里的二元一次方程组的应用6．（2022春•溧阳市期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？思路引领：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据“每人出5钱，还差45钱；每人出7钱，还差3钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出答案．解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，由题意得：5x+45=y7x+3=y解得：x=21y=150答：合伙人数21人，羊价150钱．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．（2022•安徽模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典北作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：“甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？”试求黄金、白银每枚的重量．思路引领：直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案．解：设黄金每枚重x两，则白银每枚重y两，根据题意列方程得，

解：9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13解得x=143答：黄金每枚重1434两，白银每枚重117总结提升：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．8．（2022春•铜山区期末）《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊五，值金十六两．问牛、羊各值金几何？”译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上译文，解决下列问题：（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？（2）某人计划用17两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），共有几种不同的购买方案？请列出所有可能的方案．思路引领：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设某人买了m头牛，n只羊，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得：5x+2y=192x+5y=16解得：x=3y=2答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．（2）设某人买了m头牛，n只羊，依题意得：3m+2n＝17，∴n=17−3m又∵m，n均为正整数，∴m=1n=7或m=3n=4或∴有3种不同的购买方案，

方案1：购买1头牛，7只羊；方案2：购买3头牛，4只羊；方案3：购买5头牛，1只羊．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．9．（2022春•青县期末）阅读下列材料：《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题：（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，①小鸡有只，买小鸡一共花费文钱；（用含x，y的式子表示）②根据题意，列出一个含有x，y的方程：；（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．思路引领：（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；②根据总价＝单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程；（2）根据（1）中②的结论结合母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）根据总价＝单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程，结合x、y均为整数，即可求出结论．解：（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，∴买了（100﹣x﹣y）只小鸡，买小鸡花了100−x−y3故答案为：（100﹣x﹣y）；100−x−y3

②根据题意得：3x+5y+100−x−y故答案为：3x+5y+100−x−y（2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有（100﹣x﹣y）只，根据题意得：x=4y+23x+5y+解得：x=18y=4∴100﹣x﹣y＝78．答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只；（3）根据题意得：3x+5y+100−x−y化简得：x＝25−74当y＝0时，x＝25，100﹣x﹣y＝75；当y＝4时，x＝18，100﹣x﹣y＝78；当y＝8时，x＝11，100﹣x﹣y＝81；当y＝12时，x＝4，100﹣x﹣y＝84；当y＝16时，x＝﹣3，舍去．故除了问题（2）中的解之外，以下四组答案，写出其中任意两组即可，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合x、y均为整数求出二元一次方程的解．10．（2022•安徽一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每1束之实各为多少？思路引领：设上、下禾每1束之实分别为x升，y升，根据有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当列出关于

x、y的方程组，解之即可．解：设上、下禾每1束之实分别为x升，y升，根据题意，得：6x−18=10y15y−5=5x整理，得：3x−5y=9x−3y=−1解得x=8y=3答：上、下禾每1束之实分别为8升和3升．总结提升：本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程组．11．（2022•包河区校级一模）《九章算术》中记载这样一道问题．原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”请解答上述问题．思路引领：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕的总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出雀、燕每只的重量．解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，依题意得：4x+y=5y+x5x+6y=1解得：x=2答：每只雀重219斤，每只燕重3总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．（2022•安徽二模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．

请解答上述问题．思路引领：从题目中可知，第2节开始相邻两节的容积差相等设为y，第5节的容积直接设为x，然后根据第5节和容积差建立等量关系：第1节容积+第2节容积+第3节容积＝9，第7节容积+第8节容积+第9节容积＝45构建二元一次方程组求解．解：设第五节的容积为x升，每一节与前一节的容积之差为y升，依题意得：(x−4y)+(x−3y)+(x−2y)=9(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)=45解得：x=9y=2答：第五节的容积9升，每一节与前一节的容积之差2升．总结提升：本题考查了二元一次方程组在古典数学中的应用，突出了我国古人在数学方面的成就．难点是用第5节容积和相邻容积来表示竹子各节的容积．13．（2021春•同安区月考）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．”意思是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16两银子．”（1）求1头牛、1只羊共值多少两银子？以下是小慧同学的解答（请你补充完整）：分析：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列表分析：品种单价个数总价合计所付银两第一次牛x55x5x+2y19羊y22y第二次牛x216羊y5从而列出方程组：

5x+2y=19①(ㅤㅤ)②，则①+②，得，所以，x+y＝小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是我们通常所说的“整体思想”．（2）运用“整体思想”尝试解决以下问题；对于实数x，y，定义新运算：x⊗y＝ax+by﹣1，其中a，b是常数．已知2⊗5＝4，2⊗3＝2，求1⊗2的值．思路引领：（1）由题意得5x+2y=19①2x+5y=16②，则①+②得7x+7y＝35，故x+y（2）由x⊗y＝ax+by﹣1，其中a，b是常数．已知2⊗5＝4，2⊗3＝22，得出方程组，求出a+2b＝2，即可求解．解：（1）分析：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列表分析：品种单价个数总价合计所付银两第一次牛x55x5x+2y19羊y22y第二次牛x22x2x+5y16羊y55y从而列出方程组：5x+2y=19①2x+5y=16②①+②得：7x+7y＝35，∴x+y＝5，故答案为：7x+7y＝35，5；小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是我们通常所说的“整体思想”．（2）由题意得：2⊗3=2a+3b−1=2①2⊗5=2a+5b−1②则①+②＝4a+8b﹣2＝6，即4a+8b＝8，4（a+2b）＝8，∴a+2b＝2，∴1⊗2a+2b﹣1＝2﹣1＝1．

总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）理解新运算；x※y＝ax+by﹣1，列出二元一次方程组．《孙子算经》里的二元一次方程组的应用14．（2022春•滑县期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．思路引领：设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设绳子长x尺，长木长y尺，依题意得：x−y=4.5y−解得：x=11y=6.5答：绳子长11尺，长木长6.5尺．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．（2022•蓝田县二模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说：“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？思路引领：设有x个盗贼，有y匹绢，根据“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹”列二元一次方程组，求解即可．解：设有x个盗贼，有y匹绢，根据题意，得6x=y−67x=y+7解得x=13y=84答：有13个盗贼，有84匹绢．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．

16．（2021•安徽二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？思路引领：设共有x人，y辆车，根据“每3人共乘一车，最终剩余1辆车：每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设共有x人，y辆车，依题意得：3(y−1)=x2y+9=x解得：x=33y=12答：共有33人，12辆车．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．17．（2021•义安区二模）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦．问有多少匹大马、多少匹小马？思路引领：设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组求解．解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得x+y=1003x+解得x=25y=75答：有25匹大马，75匹小马．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．18．（2021•双阳区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23思路引领：根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，由题意可得，x+1

解得：x=36y=24答：甲原有36文钱，乙原有24文钱．总结提升：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．19．（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？思路引领：设笼中有x只鸡，y只兔，根据“上有二十五头，下有七十六足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设笼中有x只鸡，y只兔，根据题意得：x+y=252x+4y=76解得：x=12y=13答：笼中有12只鸡，13只兔．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20．（2018•利辛县模拟）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？思路引领：设有x个老头，y个梨，根据“一人一个多一梨，一人两个少二梨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设有x个老头，y个梨，根据题意得：y−x=12x−y