数学-【】2023届浙江省中考数学复习 专项5 解直角三角形及其综合应用 解答题30题专项提分计划解析版

【大题精编】2023届浙江省中考数学复习专题5解直角三角形及其综合应用解答题30题专项提分计划（浙江省通用）1．（2022·浙江温州·温州市第十四中学校联考三模）如图1是某路灯，图2是此路灯在铅垂面内的示意图，灯芯A在地面上的照射区域BC长为7米，从B，C两处测得灯芯A的仰角分别为和，且，．(1)求灯芯A到地面的高度．(2)立柱DE的高为6米，灯杆DF与立柱DE的夹角∠D＝120°，灯芯A到顶部F的距离为1米，且DF⊥AF，求灯杆DF的长度．【答案】(1)6米(2)米【分析】（1）过点A作AH⊥BC，交EC于点H，设BH=x，根据tanα＝6得AH=6x，根据tanβ＝1得HC=6x，从而BC=BH+HC=7x，解方程可得出答案；（2）得出四边形EHAD为矩形，由矩形的性质可得出答案．【详解】（1）（1）如图2，过点A作AH⊥BC，交EC于点H，设BH＝x，∵tan＝6，tan＝1∴AH＝6x，HC＝6x，BC＝7x，∵BC＝7，∴7x＝7，∴x＝1，即AH＝6x＝6（米），

答：灯芯A到地面的高度为6米；（2）（2）如图2，连接AD，

∵DE⊥BC，∴DE∥AH，∵DE＝AH＝6，∴四边形EHAD是矩形，∴∠ADE＝90°，即∠FDA＝∠FDE﹣∠ADE＝30°，∵AF＝1，∴DF＝AF＝（米）．答：灯杆DF的长度为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形．解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．2．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，左图是右图推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若米．（1）当E与B重合时，则_________（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为_________米．（结果保留，参考数据：若，则取）【答案】

【分析】对于（1），过点A作AD⊥EF，交EF于点D，再根据

，求出∠EAD的度数，进而得出答案；对于（2），点E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径是以点A为圆心，1米为半径，圆心角是28°的弧，再根据弧长公式求出答案即可．【详解】（1）如图，当点E与点B重合时，过点A作AD⊥BF于点M.则∠AMF=90°.∵AF=AE=1（米），EF=（米），∴（米）．在Rt△AFM中，（米），∴∠FAD=14°，∴∠AFE=90°-14°=76°；（2）∵∠FAD=14°，AF=AB，AD⊥BF，∴∠BAF=28°．点E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径是以点A为圆心，1米为半径，圆心角是32°的弧，即路径长为（米）．故答案为：（1）76°；（2）．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和弧长公式，确定点F的运动路径是解题的关键．3．（2022·浙江宁波·校考三模）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当时，可稳定放置在水平地面上，经测量，，．

(1)当其完全打开且置于水平地面上时，测得，求AB距离；(2)在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为，若保持身体不动，通过旋转支架以及抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据，，）【答案】(1)(2)A点应向内移动厘米，才能达到最佳距离【分析】（1）通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出即可；（2）求出抬高后的的长，根据勾股定理求出，进而求出向内移动的距离即可．【详解】（1）解：如图，过点D作于点M，过点C作于点，则，∴，∴，答：AB距离为；（2）解：根据题意得：桌子要抬高，即要变为，∴，即点A要向内移动，答：A点应向内移动厘米，才能达到最佳距离．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．4．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB

=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：(1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？(2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为，求路线AD的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，在Rt△ADF中，根据三角函数求出DF，AF，在Rt△CDE中，根据三角函数求出CE，即可得到BC；（2）设CD=x，AD=4x，分别求出DF、DE，由DF+DE=EF=100，求出x即可得到AD的长．（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，则四边形ABEF是矩形，∴AF=BE，EF=AB，在Rt△ADF中，AD=140，∠FAD=30°，∴DF=，AF=，在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，∴CE=，∴BC=BE+CE=（米）；（2）

设CD=x，AD=4x，在Rt△ADF中，∠FAD=30°，∴DF=，在Rt△CDE中，∠DCE=60°，∴，∵DF+DE=EF=100，解得x=，∴AD=4x=（米）．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造合适的直角三角形是解题的关键．5．（2022·浙江台州·统考二模）“测温门”用于检测体温．某测温门截面如图所示，小明站在地面M处时测温门开始显示额头温度，此时在离地1.6米的B处测得门顶A的仰角为30°；当他向前走到N处时，测温门停止显示额头温度，此时在同样高度的点C处测得门顶A的仰角为45°．已知测温门顶部A处距地面的高度AD为2.6米，对小明来说，有效测温区间MN的长度约为多少米？（结果保留一位小数）．【答案】0.7米【分析】延长BC交AD于点E，则AE=AD-DE=1（米），再求出BE、CE的长，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC交AD于点E，

则AE=AD-DE=2.6-1.6=1（米），在Rt△ABE中，∠ABE=30°，∴BE，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，，（米），答：对小明来说，有效测温区间MN的长度约为0.7米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．6．（2022·浙江金华·统考二模）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民李阿姨测温时的手绘图，图2是其侧面示意图，其中枪柄和手臂始终在同一条直线上，额头为F，枪身与身体保持垂直，量得胳膊，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为（即的长度），枪身．(1)求的度数．(2)根据疫情防控相关操作要求，规定测温时枪身端点E与额头F之间的距离需在到之间．若，李阿姨与测温员之间的距离为．求此时枪身端点E与李阿姨额头F之间的距离，并判断测温枪与额头之间的距离是否在规定范围内，说明相应理由．（结果保留小数点后两位，参考数据：）【答案】(1)60°(2)3.03cm；测温枪与额头之间的距离在规定范围内；理由见解析【分析】（1）过点D作DG⊥BH于G．根据矩形的判定定理和性质求出HG的长度，根据线段的和差关系求出BG的长度，根据直角三角形的边角关系求出∠DBH

的余弦值，根据特殊角的三角函数值即可求出∠DBH．（2）延长BH交PQ于J，延长HB交MN于K．根据角的和差关系求出∠ABK，根据直角三角形的边角关系求出BK，根据线段的和差关系求出JH的长度，根据矩形的判定定理和性质求出EF的长度，再根据题目中规定判断即可．（1）解：如下图所示，过点D作DG⊥BH于G．根据题意得∠DEH=∠EHB=90°．∵DG⊥BH，∴∠DGH=∠DGB=90°．∴四边形EHGD是矩形．∴HG=DE．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴∠DBH=60°．（2）解：如下图所示，延长BH交PQ于J，延长HB交MN于K．根据题意得∠EFJ=∠FJH=∠JHE=90°，∠AKB=90°，．∴四边形FJHE是矩形．∴EF=JH．∵∠ABC=75°，∴∠ABK=180°-∠ABC-∠DBH=45°．∵，∴．∴．∵3<3.03<5，∴测温枪与额头之间的距离在规定范围内．【点睛】本题考查矩形的判定定理和性质，线段的和差关系，解直角三角形的实际应用，特殊角的三角函数值，角的和差关系，熟练掌握这些知识点是解题关键．7．（2022·浙江台州·统考一模）火钳是铁制夹取柴火的工具，有保洁员拿它拾捡地面垃圾使用，图1是实物图，图2是其示意图．已知火钳打开最大时，两钳臂的夹角，若，求两钳臂端点C，D的距离．（结果精确到，参考数据：）

【答案】【分析】连接，过点O作于点H，利用等腰三角形的性质得到，，根据求得DH的长度，即可得出CD的长度．【详解】解：如图，连接，过点O作于点H，∵，∴，．∴∴．答：两钳臂端点C，D的距离约为．【点睛】本题考查了三角函数的应用，等腰三角形的性质，近似数等知识点．灵活运用三角函数，正确作出辅助线是解答本题的关键．8．（2021·浙江金华·统考二模）如图，一个五角星ABCDEFGHIJ，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J，I四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JA，∠A＝∠C＝∠DEF＝∠FGH＝∠I＝36°，现测得AB＝2cm．

(1)求BJ的长（精确到0.01）．(2)作直线EG，求点A到EG的距离（精确到0.1）．（参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°≈0.8090，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511）【答案】(1)1.24cm(2)5.0cm【分析】（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，在Rt△ABK中，利用锐角三角函数先求出BK，再求BJ；（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，在Rt△AEL中，利用锐角三角函数求出AL．（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K．∵AB＝AJ＝2m，∠BAJ＝36°，∴∠BAK＝18°．∴BK＝AB•sin18°≈2×0.31＝0.62（cm）．∴BJ＝1.24cm．（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，则BD＝BJ＝1.24cm．∴AE＝2+1.24+2＝5.24（cm）．在Rt△AEL中，AL＝AE•cos18°≈5.24×0.95＝5.0（cm）．∴点A到地面MN的距离为5.0cm．【点睛】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角间关系和等腰三角形的三线合一是解决本题的关键．

9．（2021·浙江金华·统考一模）为保护师生健康，深圳某中学在校门安装了测温门，如图为该“测温门”示意图．身高1.7米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，≈1.73，最后结果精确到0.1米）【答案】测温门顶部A距地面的高度约为2.6米【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDMB，设AE=x米．通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据BC=BE-CE得到1.73x-0.58x=1，解得即可求得AE进而即可求得．【详解】解：延长BC交AD于点E，设AE=x米．∵，，∴（米），（米），∴BC=BE-CE=1.73x-0.58x=1（米）．解得x≈0.87，∴AE≈0.87（米），∴AD=AE+ED≈0.87+1.7≈2.6（米）．答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．10．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC

垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：）【答案】【分析】过点作交于点．构造直角三角形，在中，计算出，在中，计算出.【详解】解：如图所示：过点作交于点．在中，又∵在中，答：的长度为【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，

．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？【答案】(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析(2)没有触礁危险，证明见解析【分析】（1）过C作于O，通过证明，即可求出CB的长；判断C到AB的距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；（2）过C作交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断．【详解】（1）过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，∵在A处测得岛C在北偏东的方向，∴，又∵B处测得岛C在北偏东方向，∴，，∴，∴（海里），∵，，∴，∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；（2）过C作交BF于D，交BO于E，，∴没有触礁危险．

【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．12．（2022·浙江嘉兴·一模）某项目学习小组用测倾仪、皮尺测量小山的高度，他们设计了如下方案（如图）：①在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数；②在点A与小山之间的B处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数（点A，B与N在同一水平直线上）；③量出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：测量项目第一次第二次平均值的度数（度）的度数A，B之间的距离150.2米149.8米150米(1)写出的度数的平均值．(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：）(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】(1)22°(2)101.5米(3)小山的影子长度无法测量【分析】（1）根据平均数公式，用两次测量得的的度数和除以2即可求解；（2）在Rt△MDE中，利用仰角∠MDE的45°，即可求得ME=DE，在Rt△MCE中，利用仰角∠MCE的正切值，可得ME=CEtan∠MCE，进而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由MN=ME+NE求解；

（3）可根据小山的影子长度无法测量解答即可．【详解】（1）解∶的度数的平均值=，答：的度数的平均值为22°；（2）解：在Rt△MDE中，∵∠MDE=45°，∴∠DME=∠MDE=45°，∴ME=DE，在Rt△MCE中，∵，∴ME=CEtan∠MCE，由题意知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，∴，∴ME=100(米)，∴MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，答：小山的高度约为101.5米．（3）答：因为利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，由于小山的内部无法到达，则小山的影子长度无法测量，所以没有用物体在阳光下的影子来测量小山的高度的原因是小山的影子长度无法测量．【点睛】本题考查仰角，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．13．（2022·浙江舟山·统考二模）我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（参考数据：，，，，，）

(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点B到海面的距离；(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．【答案】(1)点B到海面的距离为3米(2)【分析】（1）过点B作，垂足为F，延长交于E，垂足为E，首先根据求出的长度，然后加上的长度即可求出点B到海面的距离；（2）过点B作，垂足为N，延长交于点M，垂足为M，由求出，即得，由求出，从而求出的长，利用勾股定理求出，利用即可求解．【详解】（1）解：过点B作，垂足为F，延长交于E，则，

∵，∴，∴，即，∴，答：点B到海面HC的距离为3米（2）解：过点B作，垂足为N，延长交于点M，由，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，即点O到岸边的距离为．

【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解决关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．14．（2022·浙江绍兴·校联考二模）如图，广场上空有一个热气球，热气球的探测器显示，离这栋楼底部水平距离为BD=30m，从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．(1)求热气球A离地面的高度（精确到1m）；(2)当热气球沿着与BD平行的路线飘移20s后到达点C，这时探测器显示，从热气球底部C处看这栋高楼底部B的俯角为45°，求热气球漂移的平均速度．（精确到0.1m/s，≈1.414，≈1.732）【答案】(1)(2)1.1m/s【分析】（1）根据题意可得，再解即可；（2）过点C作CE⊥BD于点E，则四边形ADEC是矩形，可得CE=52m，再证明BE=CE，从而求出AC=DE，进一步可得出结论．【详解】（1）∵从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．∵，在中，，，∵,∴(m)，所以，求热气球A离地面的高度约为52m；（2）过点C作CE⊥BD于点E，如图，则四边形ADEC是矩形，∴∵，

∴,∴是等腰直角三角形，∴(m)，∵，∴(m)∴AC=22（m）∴热气球漂移的平均速度为22÷20=1.1m/s．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数的知识求解直角三角形．15．（2022·浙江宁波·统考二模）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点C，B调节角度，DE为手机的支撑面，，支点A为DE的中点，且．(1)若支杆BC与桌面的夹角，求支点B到桌面的距离；(2)在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角，求支撑面下端E到桌面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，）【答案】(1)B到桌面距离为；(2)E到桌面距离大约为

【分析】（1）过B作于F，则，代入数值即可求解；（2）过A作于G，过B作于H，过E作于K，由，，求得，根据E到桌面的距离即可求解．（1）过B作于F

则∴∴B到桌面距离为（2）过A作于G，过B作于H，过E作于K∵

∴∵，∴∵，

∴，∴

∴答：E到桌面距离大约为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．（2022·浙江宁波·模拟预测）我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A

处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向．(1)求此时渔船与灯塔B的距离．(2)若渔船继续向东行驶，还要行驶多少千米与B的距离达到最小值．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】(1)(2)4.68【分析】（1）作CE⊥AB，根据正弦的定义求出CE，再根据直角三角形的性质计算，得到答案；（2）过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，此时BD之间距离最小，求出CD的长即可．【详解】（1）如图，作CE⊥AB于E，∵∴AC＝9km，∵∠CAB＝45°，∴CE＝AC•sin45°＝9km，∵灯塔B在它的南偏东15°方向，∴∠NCB＝75°，∠CAB＝45°，∴∠B＝30°，∴BC＝，

答：此时渔船与灯塔B的距离为18km．（2）过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，此时BD之间距离最小，∵BC=18，∠BCD=75°∴CD=BC×cos75°=18×0.26≈4.68km∴再行驶4.68km，渔船与B距离最短．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向．(1)直接写出∠ACB的度数是；(2)测量发现，A岛与C岛之间的距离海里，求A岛与B岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，，）【答案】(1)(2)18.8海里【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求得∠C的度数即可；（2）由（1）可知：∠C＝70°，已知∠BAC＝20°，得到∠ABC＝90°，AC＝20海里，由cos20°＝求得线段AB的长．（1）解：∵两正北方向平行，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣45°﹣25°＝110°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°；（2）解：由（1）可知：∠C＝70°，∵∠BAC＝20°，∴∠ABC＝90°，∵AC

＝20海里，∴cos20°＝≈0.94，∴AB＝20×0.940≈18.8海里．【点睛】本题考查了方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型，并利用解直角三角形求解．18．（2022·浙江·统考二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB=8mm，两脚BC=BD=56mm，如图2所示．当时：(1)求A离纸面CD的距离．(2)用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【答案】(1)(2)403.2mm【分析】（1）连接，过点点作，垂足为，根据等边三角形的性质求得，解直角三角形，分别求得，根据，即可求解．（2）根据正六边形的性质，正六边形的边长等于半径，等于的长，即可求得正六边形的周长．（1）如图，连接，过点点作，垂足为，，，，，即A离纸面CD的距离为．

（2），．正六边形的边长等于外接圆的半径，则正六边形周长=．【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．19．（2022·浙江绍兴·校联考二模）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡比（注：坡比i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为．(1)求山脚A到河岸E的距离．(2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（参考数据：）【答案】(1)18m；(2)40m【分析】（1）由坡比可求的长，由平行线的性质可知，，可知，根据计算求解即可；（2）由题意知，由求出的值，根据计算求解即可．（1）解：∵坡面的坡比为，，∴m，∵，∴，∴m，∴m，

∴山脚A到河岸E的距离为18m．（2）解：∵，∴m∴m．∴河宽的长为40m．【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于明确线段的数量关系．20．（2022·浙江台州·统考二模）2022年2月4日晚，当我国运动员迪妮格尔·衣拉木江和赵嘉文将最后一棒火炬嵌入主火炬“大雪花”中央时，第24届北京冬奥会向世界展示了低碳环保的“点火”仪式，小华有幸在现场目睹这一过程，在“大雪花”竖直升起的某一刻，从小华的位置（点O）观测“大雪花”的顶部A的仰角为12.8°，底部B的俯角β为15.3°，已知“大雪花”高AB约14.89m，求小华的位置离“大雪花”的水平距离OC．（结果精确到0.lm，参考数据：tan12.8°0.23，sin12.8°0.22，tan15.3°0.27，sin15.3°0.26）【答案】小华的位置离“大雪花”的水平距离OC约为29.8m【分析】通过解和得AC=OC，BC=OC，再根据求出OC的长即可．【详解】解：，，，∴AC=OC，BC=OC．又AB=14.89m，且,即，解得OC29.8m．

【点睛】本题考查仰角和俯角的定义，要求学生能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形．21．（2022·统考二模）如图，在中，D为的中点，点E在的延长线上，使．(1)求证：．(2)若，求的值．【答案】(1)见解析，(2)，【分析】（1）过点B作，过点C作，先可以证，得到CF=BG，再证就可以证明CE=AB；（2）由，可令，用勾股定理可算出a的值，这样DE，DG，AG的长都可以表示出来，两个三角形面积的比值也就算出来了．（1）证明：如图1过点B作，过点C作，

∴，∵D为中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，（2）由，则设，在中，有，即，解得，则，由得，在中，则．

【点睛】本题考查全等三角形、三角函数的应用和勾股定理；熟练掌握全等三角形的判定和用勾股定理解三角形是解决本题的关键．22．（2022·浙江嘉兴·统考一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“某某”模式时，表示，如“看电视”模式时．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，，初始状态时．(1)求“125°阅读”模式下的度数．(2)求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．(3)小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：，，）【答案】(1)(2)cm(3)133cm【分析】（1）直接利用代入求值即可;（2）利用弧长公式计算即可;（3）过点A作交CB的延长线于点E，过点作于点F．分别求得，，利用即可求解．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：由条件得，过点A作交CB的延长线于点E，过点作于点F．

∴，∴所以点A，之间的水平距离为133cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，弧长公式的应用，在解直角三角形时构造直角三角形是解题的关键．23．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，小刚想测量学校的旗杆AB的高度，他先站在C点处观察旗杆顶端A点，测得此时仰角为45°．然后他爬上三楼站在D处观察旗杆顶端A，此时的仰角为30°．已知三楼的高度即米．请帮小刚计算求出旗杆AB的高度．（小刚的身高不作考虑，最后结果保留根号．）【答案】旗杆AB的高度为()米【分析】过点D作于点E，证明四边形DCBE是矩形，得BE=CD=10米,设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10，通过解直角三角形ADE即可得到结论．【详解】解：过点D作于点E，如图，

∴又∴四边形DCBE是矩形∴BE=CD=10米，ED=BC∵∴∴BA=BC设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10在Rt△ADE中，∴，即解得，即AB=答：旗杆AB的高度为()米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．24．（2021·浙江宁波·校考三模）中国“祝融号”火星车预计在2021年5月中下旬登陆火星．某一时间，太阳、地球、火星的相对位置如图所示：BC＝BA，∠A＝37°，火星与太阳的距离AC为2.4亿千米．求此时地球与火星的距离BC．（精确到0.1亿千米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】地球与火星的距离BC大约为1.5亿千米．【分析】过B作BD⊥AC，垂足为D，由BC=BA可得CD=AC，∠C=∠A=37°，在Rt△CDB中，根据BC=CD÷cos37°代入计算即可得出答案．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，∵BC＝BA∴CD＝AC＝1.2，∠C＝∠A＝37°，在Rt△CDB中，BC＝CD÷cos37°≈1.2÷0.80≈1.5（亿千米）．答：地球与火星的距离BC大约为1.5亿千米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形进行求解是解决本题的关键．25．（2022·浙江台州·统考一模）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（米），沿俯角为的方向先滑行140米到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处，求她滑行的水平距离约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：）【答案】138.6米【分析】作于于，在中，根据含30°角的直角三角形的性质求出和的长，再根据线段的和差关系求出长，再证明四边形为矩形，求出和长，然后在中计算出长，最后求和长之和即可．【详解】解：如图，作于于，

在中，∵，∴，米，米，∴米，于，于，，∴四边形为矩形，∴，，∴米，米，在中，∵，∴米，米．答：她滑行的水平距离约为138.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题：解题的关键是要了解角之间的关系，找到与已知量和未知量相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．26．（2022·浙江台州·统考一模）如图，为了建设一条贯穿山峰的东西方向隧道，在规划中首先需要测量A，B之间的距离．无人机保持离水平道路的竖直高度，从点A的正上方点C出发，沿正东方向飞行到达点D，测得点B的俯角为．求的长度．（参考数据：）

【答案】280m【分析】过点B作于E，则由矩形性质可得BE的长，在中，由正切可得出DE的长，即可求得．【详解】解：过点B作于E，∴四边形ABEC是矩形，∴，，在中，，即：，m，，．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角形函数以及添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．27．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点均为可转动点，现测得，经多次调试发现当点都在的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．(1)求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小；

(2)当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：）【答案】(1)灯座DC与灯杆DE的夹角为60°(2)此时光线最佳【分析】（1）延长BE交DC于点F，由线段垂直平分线的性质可得EF⊥CD且FD=CD=10cm，由此求解即可；（2）作AM⊥DC于点M，作BG⊥AM于点G，则四边形GMFB是矩形求出AM的长即可得到答案．【详解】（1）解：延长BE交DC于点F，则由题可知EF⊥CD且FD=CD=10cm；∴∴∠D=60°即灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）解：作AM⊥DC于点M，作BG⊥AM于点G，则四边形GMFB是矩形∴∠GBF=90°∵，∴，∵∠ABE=105°，∴∠ABG=15°∴cm

∴AM=37.3+5.2=42.5cm∴此时光线最佳．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．28．（2022·浙江宁波·校考三模）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是(包括)，高度的范围是(包括)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定，（结果精确到，参考数据：，)【答案】符合规定，理由见解析【分析】构造直角三角形，把三个踏步的高度和宽度分别用直角三角形中的、表示，利用锐角三角函数即可求出、的长度，即可求出答案【详解】解：如图，连接，作于点M，∵，，分别垂直平分踏步，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，

即该中学楼梯踏步的高度和踏步的宽度符合规定答：该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练构造直角三角形是解本题的关键．29．（2022·浙江·统考一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2—9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图