全国高中数学联赛预赛试题及答案

20XX年全国高中数学联赛山东省预赛

20XX年全国高中数学联赛山东省预赛由山东省数学会普及工作委员会及山东省数学竞赛

委员会主办，由山东省数学竞赛委员会组织及负责命题.

试题以《全日制普通高中(新)课程标准》的内容和要求为依据，在方法和能力的要求上

有所提高，试题包括10道选择题、4道填空题、5道解答题，全卷满分150分.

预赛时间：20XX年9月10日(星期六)9:30--11:30

预赛地点：全省各市组织进行.

一、选择题(每小题6分，共60分)

1.已知集合”={xl(x-l)(x-3)(x-5)<0,xeR},AT={x|(x-2)(x-4)(x-6)>0,xeR}.

则用c%=().

(A)(2,3)(B)(3,4)(0(4,5)(D)(5,6)

2.已知z=(6—3i)",若z为实数,则最小的正整数〃的值为().

(A)3(B)4(C)5(D)6

3.已知p：成等比数列，(\：ad=be,则p是4的().

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(0充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件

4.函数/(x)=logo3(x2+x—2)的单调递增区间是()

(A)(-oo,-2)(B)(-oo,l)(C)(-2,1)(D)(l,+oo)

5.已知均为正实数，则」一+二一的最大值为().

2x+yx+2y

24

(A)2(B)-(04(D)-

33

6.直线y=5与y=-1在区间0,——上截曲线y=msin—x+〃(m>0,〃>0)所得的弦长相等且

_coJ2

不为零，则下列描述正确的是().

3535

(A)m<—,n=—(B)m<3,n=2(C)m>—,n=—(D)m>3,n=2

2222

7.有6名同学咨询成绩.老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差的，而且6人

的成绩各不相同.那么他们6人的成绩不同的可能排序共有()

(A)120种(B)216种(C)384种(D)504种

8.若点P在曲线y=f2—1上，点。在曲线％=1+V上，贝山尸。的最小值是().

，、c大,、3夜/、30/、3夜

(A)3V2(B)-^―(0(D)—^―

248

9.已知函数/(乃=(1一+工)/+"+6"/为常数，a>\),且.f(lglogg1000)=8,则

<2—12

y(igig2)的值是().

(A)8(B)4(0-4(D)-8

10.在等差数列｛凡｝中，若似<-1,且它的前〃项和S“有最大值，那么当5“取最小正值时，n=

。10

().

(A)1(B)10(C)19(D)20

二、填空题(每小题6分，共24分)

11.已知/(x)=cos2x+p|cosx|+p,xeR.记/(x)的最大值为％(p),则％(p)的表达式

为.

12.已知sin(x+sinx)=cos(x-cosx),xe[0,7v\,则x=.

13.设为抛物线y2=2px(p>0)上相异两点，则烟+班「一脚『的最小值为.

14.已知\ABC中，G是重心，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

56aGA+40hGB+35cGC=0,则NB=.

三、解答题(本大题共5题，共66分)

15.(12分)不等式

sin26-(2V2+伍)sin(6+-)-----—>-3-2a

4cos((9一()

7F

对de0,-恒成立.求实数a的取值范围.

2

16.(12分)已知在正方体A3CD—44G〃中，O,E,F,G

分别为80,34,42,26的中点，且AB=1.求四面体OEFG的体积.

17.(12分)在平面直角坐标系中，已知圆G与圆G相交于点P，。，点P的坐标为(3,2),两

圆半径的乘积为13苗.若圆G和。2均与直线/:y=依及X轴相切，求直线/的方程.

18.(15分)甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分

比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即

经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为p

(0</;<1),乙获胜的概率为4=1-假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经J次结束,

求J的期望的变化范围.

19.(15分)集合M={1,2,…,2011},若M满足：其任意三个元素a,6,c,均满足必则称M

具有性质P,为方便起见，简记MGP.具有性质P的所含元素最多的集合称为最大集.试问具

有性质P的最大集共有多少个？并给出证明.

解答

1.B.提示：A/=(-o,l)U(3,5),N=(2,4)U(6,+8).所以MCN=(3,4).

2.A.提示：z=(6—3i)"=(—2j5)"(—g+等i)",〃=3是使z为实数的最小的正整数.

3.A.提示：充分性显然成立，必要性不成立.例：a=l,Z?=2,c=5,d=10.

4.A.提示：由对数函数的性质知，X2+X-2>0,则X>1或X<-2.当x<-2时，/(x)为增函

数；当x〉l时，/(x)为减函数.

5.B.解法一令s=2x+y,，=x+2y,则

x=—(2s—t),y=—(2/—5).

所以

2x+yx+2y33st3

解法二令f=2，贝he(0,+8),此时

X

xy1

-------1----=--+---=

2x+yx+2yr+22/+1

即有

3(『-1)

fW=Q+2)2⑵+1/

显然当r<l时，f'(t)>0；当/〉1时，/(r)<0,所以函数/⑺在，=1,即x=y时取得最大值

6.D.提示：函数y=〃2sin——,xe0,——的图象只有被y=a及y=-a,O<a<m这样的两直

2co

线所截，截得的弦长才能相等，且不为零.所以截取函数

.CDX「八4%]

y=/nsin-•+〃，xe0,-~-

21

的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为、=〃+。,丁=〃—“，0<a<m,即有"+a=5,〃一。=—1.

解得〃=2,a=3.进而m>3.

7.D.解法一以A记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集，以8记乙成绩排名为最后的所有可

能的排序之集，则网=恸=5!,|An却=4!.

甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为

伊113=网+同一|405|=216.

按照老师所述，这6位同学成绩可能的排序数为6!-216=504.

解法二以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序.

(1)甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为团=120；

(2)甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为

所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为120+384=504.

8.C.提示：两抛物线y=—V—1,x=l+y关于直线>=一》对T

称.所求|PQ|的最小值为抛物线y=-x2-l上的点到直线y=-X距离的T

最小值的两倍.设P(X,—Y—1)为y=—》2_i上任意点，则/

|X一尤"一1|X—X+1

372

9.B.提示：由已知可得

3

/(lglog81000)=/(lg-)=/(-lglg2)=8.

------1--=------1--

ax-\2\-ax2

令/(x)=/*)—6,则有"一幻=一尸(幻.从而有

/(-lglg2)=F(-lglg2)+6=-F(lg1g2)+6=8.

即知

F(lglg2)=-2,/(lglg2)=F(lglg2)+6=4.

10.C.提示:设该等差数列的公差为d.显然4<0.由包<一1,知40>0,61I,且a”+/<0.

。10

因此

S20=”号9X20=10(«10+a”)<0，

S19=H^X19=19%O>O.

由41+。10<。，知24+19dv0.从而有

。。s19x18J

S、9-S]=19tZjH--——cl—Uy

=18q+9xl9d

=9(24+19J)<0.

所以〃=19.

p—1,p<-2,，一,.

11.〃(〃)=《提不：cos2x=2cos~x-l,令A|cosR=〃，则0<«<1且

[2p+l,p>-2.11

f(x)=2u2+pu+p-\=F(u).

抛物线＞=F(M)顶点的横坐标为-所以

F(l),

42

〃(p)=<

、1

F(0),P

42

p-1,〃<-2,

即〃(p)=V

2〃+l,p>-2.

71

⑵了提示：原方程等价于:

cos(---x-sinx)=cos(x-cosx)..

所以

x-cosx=2k万4-----x-sinx,kGz,...........(1)

2

或

JI

x-cosx=2Z;^-(--x-sinx),ksz,...........(2)

由(1)得：

冗

2x+sinx—cosx=2Z/rH——,

2

且函数/(x)=2x+sin九一cos尤在［0,句上为增函数.所以

71八

-1=/(0)<2攵万+—</(乃)=2九+1.

JT

由此得Z=0.所以2x+sinx-cosx=—.

2

令g(x)=2x+sinx-cosx-/,易知g(x)在［。,4］上单调递增，且当时，g(x)>0；当

7T

时，g(x)<0,因此当且仅当x=一时，g(x)=0.

4

由(2)得：sinx+cosx=&一2匕r.因为\<三-2k兀<立,故左无整数解，即此方程无解.

22

7T

综上所述，原方程的解为x=X.

4

13.-4/?2.解法一设4(4,%),8(4,为)，则

22

\0A+研=(xA+xB)+(yA+yB),

|福|2=(乙一4)2+(%-%)2，

22

|OA+SB|-|AB|=4(X4•/+%力)・

设直线A3和x轴交于点尸(a,0).若直线43的斜率存在，设为m,则直线AB的方程为

y=777(%-a),将其代入抛物线方程得

m2x2-2^am2+p'jx+nra2-0.

由二元一次方程根与系数的关系得,由此得

yAyB=毋(尤A―0)(/-«)=—2ap.

所以

1^4+0B［一］丽］=4区•Xp+X,•%)=4［(a-p)2-p2］>-4p2.

当直线A8的斜率不存在时，有为,=/=q凹,=—ys=J标.所以仍有

|SA+OB|'-|AB|'=4区•Xp+%•%)=4[(a-p)2-p2]>-4p2.

显然，当且仅当a=p时,即直线A8的斜率不存在时等号成立，|西+而]丽『有最小值一4〃2.

22

解法二设A(件,力),8(普,力)，则

2p2p

|丽+研=(^1>+(力+%)2,

网I^^2+(力7).

所以

\OA+OB^-\AB[

=4(与4+%・%)

4P

=^[(y---yB-+p)2-p2]

2P

>-4p2

当〃为=-2〃2时，|西+而通『取最小值一4〃2.

14.60°.提示：因为GA+G耳+k=o,所以

40bGA+403GB+403GC=0.

所以

(566zG4-40b)GA+(35c-40Z?)GC=0.

因为GA,反不共线，所以有

la—5b=0,7c—8Z?=0.

设a=5%,则匕=7左，c=8左，由余弦定理可得

八25/+64k2—49公1

cosB=----------------=—.

2x5Zx8Z2

所以N8=60°.

15.设x=sine+cos。，则有

sin2^=%2-1,sin(e+w)=cos(e-w)=_^-x,

原不等式化为:

彳_2g-3—2。.

x2-1-(272+>

V2

—x

2

即

%2—1—(2+ci)x---F3+2。>0,

x

整理得

、4—2x2-x

(2-x)a>2x-x2+-------x(2-x)+2x----

xX

2

因为2-x>0,即得a>x+—.

x

2

令/(x)=x+—,则函数/（X）在上单调递减，所以/（X）在xw[l,亚]上的最大值为

X

/（1）=3.即知a的取值范围为a>3.

16.连结BR交FG于，，连结4G,则BQ±AG.因为EG

AR,2cl的中点，所以R彰4G，因此尸G_LB|R.又因为面

AB£D],FG在平面4B|C|£>|内，所以1.尸G.

由此得打7_1面8与。]。.因为FH=GH,所以

2

%-EFG=VF-OEH+YG-OEH~^F-OEH~]^OEH*FH.

在梯形。B4”中

572V2372_5V2

S^OEH=S梯形088H-St£BH一^^OBE

11~88\6~~i6

因此四面体OEFG的体积为

2xL”农一

v

VO-EFG316448

17.由题意知，共线.设圆G与圆G的半径分别为小空，直线的斜率为tana#O-

令机=cota,则圆G与圆G的圆心分别为GO%,。)，C2(mr2,r2),两圆的方程分别为

(X-叫)2+(＞一4)2=/,

(X-摩)2+(y-2)2

点尸(3,2)是两圆的公共点，所以

(3-/叫)2+(2一4)2=甲,

(3-加弓)2+(2-弓)2=成

由此可知4,乃是方程

nrr2—(6m+4)r+13=0

的两个根，即有彳心=工!■，m=夜.从而知直线/的方程为

小2tanaC六

y=tan2a•1=------x=2<2x.

1-tana

18.以〃(J=Z)记比赛经女次结束的概率.若左为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因而有

PC=Q=O.

考虑头两次比赛的结果：

(1)甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为p2+^；

(2)甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为2Pq.

比赛经人次结束，女必为偶数，则1,2两次，3,4两次，……，％-3,4一2两次均未分胜负.

若女B2(),则第A-1,%两为有胜负的两次，从而有

〃e=/0=(2〃q)2kp2+q2).

若左=2(),比赛必须结束，所以〃e=20)=(2pq)9.

综上所述

9

比"+d)Z2i(2pq产+20(2p].

i=\

由p+g=l,知p?+[2=]_2〃g.令n=2pq,则〃2+,2=]_〃，所以

第=(1—”)22加"+20葭9.

/=1

9

令S=Z2»T,则

/=1

91010

us=2iu>=2(/-1)«/-1=£2(，一1)〃1,

/=11=2i=l

(l-u)s=y2〃T_]8M9=2"")-18i/9,

/=11-〃

EJ=q_h)5+20/

2

=——[1—〃9-9/(1一〃)+10〃9(1一〃)]

1-w

2(1-，)

1-u

因0<w«g,所以有2<EJ44—(3)'.

19.令4={2,3,…,44},B={45,46,…,2011}U⑴.

对任一A/eP)令

M.=MQA,M=MQB.

ADV

显然，集合BeP.

设最大集元素的个数为勺，则如2161=1968.

若MwP,设My中除1之外的最小元为45+p,0<p<42.

集合A中与45+p的乘积大于2011的元素个数记为q,则

20112011

q=44-------<45-------.

_45+p\45+〃

结论1当“24时，有4<p.

2011

事实上，若有〃Wq<45-------,即

45+/?

2

45p+〃445(45+