中考数学总复习《二次函数及反比例函数》专项训练题附有答案

第1页（共1页）中考数学总复习《二次函数及反比例函数》专项训练题(附有答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．动点问题的函数图象（共4小题）1．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A． B． C． D．2．如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A． B． C． D．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝45°，∠C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A． B． C． D．4．如图，△ABC和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，∠A＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，FG⊥BC于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过△ABC的面积为S（cm2），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（）A． B． C． D．二．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣26．如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A． B． C．3 D．4三．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）7．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经过点D，则k的值为（）A． B．﹣4 C． D．48．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A． B．8 C．6 D．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）9．如图，函数y＝﹣（x＜0）和y＝kx﹣1（k≠0）的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式1﹣＞kx的解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．﹣2＜x＜0 D．x＞﹣210．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为．11．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是．五．二次函数的图象（共3小题）12．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．5a+3b＜113．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①2a﹣4b+c＜0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c≥0，其中正确的命题是（）A．①②③ B．①④ C．①③ D．①③④14．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，下列命题：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③当y＜0时，﹣3＜x＜1；④a﹣2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个六．二次函数的性质（共8小题）15．二次函数y＝ax2+bx+c（b≤0）图象经过点（﹣2，4），（0，﹣2），（2，m），其中m≥﹣2，以下选项错误的是（）A．a+b＜ B．≤a≤ C．2a+b≥0 D．﹣2≤m≤416．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，例如：min{5，3，1}＝1，min{8，5，5}＝5．如果min{4，x2﹣4x，﹣3}＝﹣3，那么x的取值范围是（）A．1≤x≤3 B．x≤1或x≥3 C．1＜x＜3 D．x＜1或x＞317．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①5a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c≥0其中正确的命题是（）A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④19．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（）A． B．+ C． D．220．如图，直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n＝．21．已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．22．一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．七．二次函数图象与几何变换（共2小题）23．设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝；（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是．24．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．八．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）25．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P（2，﹣1）．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）点A（t，y1），B（t+1，y2）在该抛物线上，当t＞2时，比较y1与y2的大小；（Ⅲ）Q（m，n）为该抛物线上一点，当2m+n取得最小值时，求点Q的坐标．九．抛物线与x轴的交点（共1小题）26．已知：抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k＞1）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）k＝2时，求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过一个定点，求这个定点的坐标；（3）点P为抛物线上一点，且位于直线BC上方，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，求PF长度的最大值（用含k式子表示）．一十．二次函数综合题（共2小题）27．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+a2+2a．（1）当a＝1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当a＝2时，直线y＝2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2a与直线x＝4交于点A，求点A到x轴的最小值．28．如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．

二次函数及反比例函数中考常考题型参考答案与试题解析一．动点问题的函数图象（共4小题）1．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A． B． C． D．【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形∴△GEJ为等边三角形．∴GH＝EJ＝x∴y＝EJ•GH＝x2．当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y＝FJ•GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．2．如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A． B． C． D．【分析】当0≤x≤1时，y＝2x，当1＜x≤2时，y＝2，当2＜x≤3时，y＝﹣2x+6，由此即可判断；【解答】解：当0≤x≤1时，y＝2x当1＜x≤2时，y＝2当2＜x≤3时，y＝﹣2x+6∴函数图象是A故选：A．【点评】本题考查动点问题函数图象、分段函数等知识，解题的关键是理解题意，学会构建函数关系式解决问题，属于中考常考题型．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝45°，∠C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】分三种情形：如图1中，当0＜t≤2时，如图2中，当2＜t≤3时，如图3中，当3＜t≤3.5时，分别求解即可．【解答】解：如图1中，当0＜t≤2时，过点M作MH⊥AN于H．S＝•AN•MH＝×2t×t•cos45°＝t2如图2中，当2＜t≤3时，连接DM，S＝S△MND+S△AMD﹣S△ADN＝×（2t﹣4）×（4﹣t）+×4×t﹣×4×（2t﹣4）＝﹣t2+4t如图3中，当3＜t≤3.5时，连接BD，S＝S△MND+S△AMD﹣S△ADN＝×（2t﹣4）×1+×4×3﹣×4×（2t﹣4）＝﹣3t+12由此可知函数图象是选项B故选：B．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．如图，△ABC和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，∠A＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，FG⊥BC于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过△ABC的面积为S（cm2），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（）A． B． C． D．【分析】先根据勾股定理求出BC的长；过点A作AM⊥BC于点M，根据相似求出BM的长，根据GF的运动需要分两段进行讨论，①当点Q在BM上时，GF扫过的面积是三角形，设GF与AB交于点P；②当点Q在CM上时，GF扫过的面积是四边形；画出对应的图形，再根据三角形和四边形的面积进行求解即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm由勾股定理可得，BC＝5cm∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠AMB＝90°∴△BAM∽△BCA∴BA：BM＝BC：AB＝AM：AC，即4：BM＝5：4＝AM：3解得BM＝cm，AM＝cm．设GF与BC交于点Q如图1，当点Q在BM上时，GF扫过的面积是三角形，设GF与AB交于点P此时BQ＝tcm则△BPQ∽△BCA∴PQ：AC＝BQ：AB，即PQ：3＝t：4∴PQ＝tcm∴S＝•BQ•PQ＝t•t＝t2（cm2），是一段过原点且开口向上的抛物线，排除选项C，D；如图2，当点Q在CM上时，GF扫过的面积是四边形由运动可知，BQ＝tcm，则CQ＝（5﹣t）cm同理可证△CNQ∽△CBA∴CQ：AC＝NQ：AB∴NQ＝（5﹣t）cm∴S＝×3×4﹣•（5﹣t）•（5﹣t）＝6﹣（5﹣t）2（cm2），是一段开口向下的抛物线，排除选项B．故选：A．【点评】本题主要考查了一次函数，二次函数的性质三角形的面积公式等知识点，解此题的关键是能根据移动规律把问题分成两种情况，并能求出每种情况的S与x的关系式．二．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】设B（a，），根据四边形OBAD是平行四边形，推出AB∥DO，表示出A点的坐标，求出AB＝a﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．【解答】解：设B（a，）∵四边形OBAD是平行四边形∴AB∥DO∴A（，）∴AB＝a﹣∵平行四边形OBAD的面积是5∴（a﹣）＝5解得k＝﹣2故选：D．【点评】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键．6．如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A． B． C．3 D．4【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质可得＝，进而得出＝，求出三角形AOC的面积，根据反比例函数系数k的几何意义求出答案．【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为E∵A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴∴S△AOC＝S△BOE∵AC∥BE∴△OCD∽△OEB∴＝（）2又∵D是OB的中点∴＝∴＝∴＝∴＝又∵S△AOD＝1∴S△AOC＝＝|k|∵k＞0∴k＝故选：B．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．三．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）7．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经过点D，则k的值为（）A． B．﹣4 C． D．4【分析】利用三角形全等求出线段的长度，从而得出点的坐标，得出k的值．【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，设D（x，y）∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点∴A（1，0）、B（0，3）根据一线三等角及AB＝AD得：△ABO≌△DAE（AAS）∴DE＝AO＝1，AE＝OB＝3∴OE＝4∴D（4，1）∴k＝4．故选：D．【点评】本题考查了反比例函解析式的求法，利用全等求线段的长度得点的坐标是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A． B．8 C．6 D．【分析】作BF⊥x轴于点F，根据有一个30°角的直角三角形的性质，求出各边的长，得B的坐标，即可求出k的值．【解答】解：如图，作BF⊥x轴于点F∵∠OAE＝30°，AE＝DE＝AD＝2∴OE＝AE＝1，∠AEO＝60°∴OA＝，∠CED＝60°∴∠DCE＝30°∴CE＝2DE＝4∴CD＝2∴在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，在Rt△ABF中，∠ABF＝30°∴AF＝AB＝，BF＝3∴B的坐标为（2，3）∴＝6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数k的求法和解直角三角形，解题的关键是掌握一个30°角的直角三角形的性质．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）9．如图，函数y＝﹣（x＜0）和y＝kx﹣1（k≠0）的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式1﹣＞kx的解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．﹣2＜x＜0 D．x＞﹣2【分析】确定交点A的坐标，再根据函数的增减性进行判断即可．【解答】解：∵函数y＝﹣（x＜0）过点A（m，3）∴m＝﹣2∴点A（﹣2，3）又∵y＝kx﹣1的图象过点A（﹣2，3）由图象可知，关于x的不等式1﹣＞kx的解集，即﹣＞kx﹣1的解集∴自变量x的取值范围为﹣2＜x＜0故选：C．【点评】本题考查一次函数与反比例函数交点坐标，求出交点坐标，掌握函数的增减性是正确判断的前提．10．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为2．【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．【解答】解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k）则△OAB的面积＝OA•OB＝k2，而矩形ODCE的面积为k则k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2故答案为2．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，计算矩形ODCE与△OAB的面积是解题的关键．11．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是y＝x﹣3．【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m）∴2m＝6解得：m＝3故A（2，3）则3＝2k解得：k＝故正比例函数解析式为：y＝x∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B∴B（2，0）∴设平移后的解析式为：y＝x+b则0＝3+b解得：b＝﹣3故直线l对应的函数表达式是：y＝x﹣3．故答案为：y＝x﹣3．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出A，B点坐标是解题关键．五．二次函数的图象（共3小题）12．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．5a+3b＜1【分析】A选项，由图象可得|ax2+bx|＝k有无实数根与k的大小有关，B选项，由图象可得x＝1时，y＜1，即|a+b|＜1．C选项由图象对称轴为直线x＝﹣可得0＜﹣＜1进行判断．D选项分别将x＝1和x＝2代入函数解析式由对应y的大小关系求解．【解答】解：由图象可得|ax2+bx|＝k有无实数根与k的大小有关，实数根可能有0个，2个，3个，4个．∴选项A错误，不符合题意．∵x＝1时，y＜1∴|a+b|＜1∴﹣1＜a+b＜1∴选项B错误，不符合题意．∵图象对称轴为直线x＝﹣，且0＜﹣＜1，a＜0∴b＜﹣2a，即2a+b＜0∴选项C错误，不符合题意．由图象可得0＜x≤1时，y＝ax2+bxx≥2时，y＝﹣ax2﹣bx∴x＝1时，a+b＜1①x＝2时，﹣4a﹣2b＞0②由①﹣②得5a+3b＜1∴选项D正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象及二次函数的性质求解．13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①2a﹣4b+c＜0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c≥0，其中正确的命题是（）A．①②③ B．①④ C．①③ D．①③④【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可得a+b+c＝0，由对称轴为x＝﹣1，推出b＝2a，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断；根据a、c的符号，以及c＝﹣3a，b＝2a，对①④做出判断；最后综合得出答案．【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过（1，0）点∴图象与x轴交于点（﹣3，0）把（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝0对称轴为直线x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②不正确；∴3a+c＝0∴c＝﹣3a∴2a﹣4b+c＝2a﹣8a﹣3a＝﹣9a＜0，故①正确由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0）因此方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由a＞0，b＞0，c＜0，且b＝2a，则a﹣2b+c＝a﹣4a﹣3a＝﹣6a＜0，因此④不正确；故选：C．【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴，y轴的交点，以及增减性上寻找其性质．14．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，下列命题：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③当y＜0时，﹣3＜x＜1；④a﹣2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点判断①；根据抛物线与x轴的交点判断②；根据抛物线的对称性判断③；根据抛物线与x轴的交点为（1，0）判断④；根据函数的最小值判断⑤．【解答】解：①∵抛物线开口向上∴a＞0∵对称轴为直线x＝﹣1∴b＞0抛物线与y轴交于负半轴∴c＜0∴abc＜0，本小题说法正确；②∵抛物线与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＞0，本小题说法错误；③∵抛物线与x轴的交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）∴当y＜0时，﹣3＜x＜1，本小题说法正确；④∵对称轴为直线x＝﹣1∴﹣＝﹣1∴b＝2a∵抛物线与x轴的交点为（1，0）∴a+b+c＝0∴c＝﹣3a∴a﹣2b+c＝a﹣4a﹣3a＝﹣6a＜0，本小题说法错误；⑤∵对称轴为直线x＝﹣1∴当x＝﹣1时，y有最小值∴am2+bm+c≥a﹣b+c∴m（ma+b）+b≥a（m为实数），本小题说法正确；故选：B．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．六．二次函数的性质（共8小题）15．二次函数y＝ax2+bx+c（b≤0）图象经过点（﹣2，4），（0，﹣2），（2，m），其中m≥﹣2，以下选项错误的是（）A．a+b＜ B．≤a≤ C．2a+b≥0 D．﹣2≤m≤4【分析】将（﹣2，4），（0，﹣2）代入解析式可得a与b的等量关系，将（2，m）代入解析式可得m与a的等量关系，由b≤0，m≥﹣2可求a的取值范围，进而求解．【解答】解：将（﹣2，4），（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得解得∴y＝ax2+（2a﹣3）x﹣2．把（2，m）代入y＝ax2+（2a﹣3）x﹣2得m＝4a+2（2a﹣3）﹣2＝8a﹣8∵m≥﹣2∴8a﹣8≥﹣2∴a≥∵b＝2a﹣3≤0∴a≤∴≤a≤，选项B正确．∵a+b＝3a﹣3∴﹣≤a+b≤，选项A错误．∵2a+b＝4a﹣3∴0≤2a+b≤3，选项C正确．∵﹣2≤8a﹣8≤4∴﹣2≤m≤4，选项D正确．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程的关系．16．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，例如：min{5，3，1}＝1，min{8，5，5}＝5．如果min{4，x2﹣4x，﹣3}＝﹣3，那么x的取值范围是（）A．1≤x≤3 B．x≤1或x≥3 C．1＜x＜3 D．x＜1或x＞3【分析】由4，x2﹣4x，﹣3中最小值为﹣3可得x2﹣4x≥﹣3，进而求解．【解答】解：由题意得4，x2﹣4x，﹣3中最小值为﹣3∴x2﹣4x≥﹣3即x2﹣4x+3≥0解得x≤1或x≥3故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．17．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①5a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过（1，0）点把（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝0，a≠0，所以5a+b+c≠0，因此①错误；对称轴为直线x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②错误；由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由图可得，抛物线有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故④正确；故选：B．【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴，y轴的交点，以及增减性上寻找其性质．18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c≥0其中正确的命题是（）A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断；根据a、c的符号，以及对称轴可对④做出判断；最后综合得出答案．【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过（1，0）点把（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝0，因此①正确；对称轴为直线x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②不正确；由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由a＞0，b＞0，c＜0，且b＝2a，则a﹣2b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，因此④不正确；故选：B．【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴，y轴的交点，以及增减性上寻找其性质．19．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（）A． B．+ C． D．2【分析】函数的图象如下图所示，当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），即可求解．【解答】解：函数的图象如下图所示当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2）同理点C（，﹣）则b﹣a的最大值为2﹣＝故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，正确画出函数图象，利用二次函数的性质解答．20．如图，直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n＝1．【分析】作抛物线的对称轴，交BC于D，根据抛物线的性质和等腰直角三角形的性质得出B（n+3，n），代入解析式求得即可．【解答】解：作抛物线的对称轴，交BC于D∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、点C∴BC∥x轴∵△ABC是等腰直角三角形∴∠CAB＝90°，AC＝BC∵直线CD是抛物线的对称轴∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD＝45°∴△ADB是等腰直角三角形∴AD＝BD∵抛物线的顶点为（2，﹣1）∴AD＝n+1∴B（n+3，n）把B的坐标代入y＝（x﹣2）2﹣1得，n＝（n+3﹣2）2﹣1解得n＝1或﹣1（负数舍去）故答案为1．【点评】本题考查了抛物线的性质，等腰直角三角形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，求得B点的坐标是解题的关键．21．已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．【分析】（1）根据公式，对称轴为直线x＝﹣，代入数据即可；（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；（3）分别联立直线y＝m与两抛物线的解析式，表示出A，B，C，D的坐标，再表示出线段AB和线段CD的长度，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1∴a＝1．（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2∵a＝1＞0∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大∴y1＞y2．（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+，m），B（1﹣，m）∴AB＝2联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（1+，m），D（1﹣，m）∴CD＝2×＝∴＝．【点评】本题主要考查二次函数的性质，题目难度适中，根据题意得出AB和CD的长是解题基础．22．一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数图象的顶点在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2∴一次函数为y＝﹣2x+4又∵二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是另一个交点，代入y＝﹣2x+4得：c＝4把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2．（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则BC＝|x1﹣x2|＝2∴W＝OA2+BC2＝∴当m＝1时，W取得最小值7．【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．七．二次函数图象与几何变换（共2小题）23．设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝0；（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是2．【分析】（1）把点（﹣1，m），直接代入抛物线解析式，即可得出结论；（2）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．【解答】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．故答案为：0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2∵﹣＜0∴n的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单．24．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），根据题意得出+q＝+1，由抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，从而得出q的最大值．【解答】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：∵直线y＝x+m经过点A（1，2）∴2＝1+m，解得m＝1∴直线为y＝x+1把x＝2代入y＝x+1得y＝3∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同∴抛物线只能经过A、C两点把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得解得a＝﹣1，b＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q）∵顶点仍在直线y＝x+1上∴+q＝+1∴q＝﹣++1∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．（3）另解∵平移抛物线y＝﹣x2+2x+1，其顶点仍在直线为y＝x+1上设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+h+1∴y＝﹣x2+2hx﹣h2+h+1设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c，则c＝﹣h2+h+1＝﹣（h﹣）2+∴当h＝时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．八．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）25．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P（2，﹣1）．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）点A（t，y1），B（t+1，y2）在该抛物线上，当t＞2时，比较y1与y2的大小；（Ⅲ）Q（m，n）为该抛物线上一点，当2m+n取得最小值时，求点Q的坐标．【分析】（Ⅰ）利用顶点式直接写出抛物线的解析式；（Ⅱ）根据二次函数的性质判断y1与y2的大小；（Ⅲ）先用m表示2m+n得到2m+n＝m2﹣2m+3，然后配成顶点式，从而得到2m+n取最小值时m的值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1）∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1即y＝x2﹣4x+3；（Ⅱ）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，而t＞2∴点A（t，y1），B（t+1，y2）在对称轴的右侧的抛物线上∵t＜t+1∴y1＜y2；（Ⅲ）∵点Q（m，n）在该抛物线上∴n＝m2﹣4m+3∴2m+n＝2m+（m2﹣4m+3）＝m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2∴当m＝1时，2m+n有最小值2∴Q（1，0）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．九．抛物线与x轴的交点（共1小题）26．已知：抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k＞1）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）k＝2时，求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过一个定点，求这个定点的坐标；（3）点P为抛物线上一点，且位于直线BC上方，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，求PF长度的最大值（用含k式子表示）．【分析】（1）将当＝2时，代入解析式，再将解析式化为项点式即可得到答案．（2）令y＝0，则﹣x2+kx+k+1＝0利用十字相乘法解方程可得x1＝﹣1，x2＝k+1，即可得到答案．（3）先确定A（﹣1，0），B（k+1，0），C（0，k+1），再由待定系数法求出直线BC解析式，设P（t，﹣t2+kt+k+1），则F（t，﹣t+k+1），用含t的代数式表示出PF的长度求最值即可．【解答】解：（1）当k＝2时，解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4所以其顶点坐标为（1，4）．（2）令y＝0，则﹣x2+kx+k+1＝0∴（x+1）[x﹣（k+1）]＝0∴x+1＝0或x﹣（k+1）＝0．解得x1＝﹣1，x2＝k+1．所以，这个定点的坐标（﹣1，0）．（3）∵抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k＞1）与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C∴由（2）得A（﹣1，0），B（k+1，0），C（0，k+1）设直线BC解析式为y＝mx+n，代入B、C坐标得解得：．∴直线BC解析式为y＝﹣x+k+1．设P（t，﹣t2+kt+k+1）∵过点P作PF∥轴，交BC于点F∴F（t，﹣t+k+1）∴PF＝﹣t2+kt+k+1﹣（﹣t+k+1）＝﹣t2+kt+t＝﹣（t﹣）2+．∵点P为抛物线上一点，且位于直线BC上方∴0＜t＜k+1∴