河北省部分学校2023-2024学年高三上学期六调考试数学试题(含答案)

—2024学年度上学期高三年级六调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共4页，总分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（）A． B． C． D．2．设A，B，C为三个随机事件，则“A，B，C相互独立”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．时代的到来促进了电子商务的飞速发展，某电商统计了线上店铺营业的前4个月的产品销量y（单位：万元）与月份代码的数据如表所示，据此可得到经验回归方程为，则（）x1234y1a4A．1 B．1.5 C．1.6 D．24．已知随机变量，随机变量，若，，则（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．写算是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429，若从表内的8个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中取1个数字，则这个数字大于5的概率为（）A． B． C． D．6．已知，，若直线与曲线相切，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为，已知X，Y的分布列如下表所示，其中，则的值为（）X12Y12PpPpA．0 B．1 C．2 D．48．在数列中，，，且，则实数t的最大值为（）A．4 B．5 C． D．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（）A．展开式的常数项为 B．C．展开式中系数最大的项的系数为80 D．所有幂指数为非负数的项的系数和为10．有两组样本数据分别为，，…，和，，，，且平均数，，标准差分别为6和4，将两组数据合并为，，…，，重新计算平均数和标准差，则（）A．平均数为85 B．平均数为86 C．标准差为10 D．标准差为11．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过郑骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（）A．若，则共有3种不同走法 B．若，则共有5种不同走法C．若，则共有25种不同走法 D．若，则共有27种不同走法12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一组数据2，3，6，9，5，7，12，14，8，13的分位数为__________．14．为增强学生体质，某校在暑假期间组织本校学生开展各项体育比赛，由于工作需要，将10名志愿者分成4组，每组至少2人，则不同的分组方法种数为__________．15．某科研型农场试验了生态柳丁的种植，在种植基地从收获的果实中随机抽取100个，得到其质量（单位：g）的频率分布直方图及商品果率的频率分布表如图．质量/g商品果率0.70.80.80.90.7已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用频率估计概率，现从中随机抽取1个柳丁，则该柳丁为商品果的概率为__________．16．在三棱锥中，，其余棱长均相等，，分别为AB，PC的中点，垂直于的一个平面分别交棱PA，PB，CB，CA于E，F，G，H四点，则四边形EFGH的面积的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动，活动分为A，B两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加．性别A类B类男同学2515女同学a10若采用分层抽样从该班级中抽取6名同学，则有男同学4名，女同学2名．（1）求a以及该班同学选择A类项目的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为同学选择项目的类别与其性别有关？0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：，．18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）若，求．19．（12分）我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下．样本号i12345678910人工测雨量5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得，，，，，．（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（若，则认为两个变量有较强的线性相关性）；（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”．为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的分布列与数学期望．附：相关系数，．20．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成．点C，E，D，G在同一平面内，且．（1）证明：平面平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．21．（12分）设，函数，其中．（1）讨论的零点个数；（2）证明：对任意，都存在，使得．22．（12分）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德雷·马尔可夫得名．其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第次，次，次，…状态无关，即．已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复n次这样的操作．记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．（1）求，和，；（2）证明：为等比数列（且）；（3）求的期望（用n表示，且）．2023—2024学年度上学期高三年级六调考试·数学参考答案及解析一、选择题1．C【解析】由题得，所以．2．A【解析】三个事件A，B，C相互独立的充要条件是，，，，故“A，B，C相互独立”是“”的充分不必要条件．3．B【解析】由表可知，，，即样本中心点为，代入，得，解得．4．C【解析】因为，，，所以，解得或（舍去）．由，得，所以．5．B【解析】表内的8个数字分别为4，8，5，4，0，8，0，9，其中大于5的有8，8，9，所以从表内的8个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中取1个数字有8种取法，这个数字大于5的情况有3种取法，所以这个数字大于5的概率为．6．C【解析】设切点为，由题得，所以切线的斜率，所以切线方程为，即，即直线，所以可得，所以，当且仅当，时，取得最小值9．7．A【解析】XY的分布列为XY124P，，，．8．A【解析】由题意得，若，则．当时，，所以，当时，，所以，与矛盾；若，则，得，又，所以，，所以当时，，所以实数t的最大值为4．二、选择题9．ACD【解析】令，得，解得，B错误；，所以展开式的常数项为，A正确；展开式中系数最大的项的系数为80，C正确；所有罙指数为非负数的项的系数和为，D正确．10．BD【解析】由题意，，，故，则．又，，故，，则，故，，…，的标准差为．11．BD【解析】由题意知正方形ABCD的周长是8．当时，骰子的点数之和是8，列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有，，，共3种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果；当时，三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的有，，，，，，，共7种组合，前2种组合，，每种情况可以排列出种结果，共有种结果．，，，，各有3种结果，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果．12．BC【解析】由可知，由可得，由可得，所以A错误；由可得，所以B正确；由条件概率公式可得，所以C正确；由可得，，所以D错误．三、填空题13．12【解析】将这10个数按由小到大的顺序排列为2，3，5，6，7，8，9，12，13，14，因为，所以这组数据的分位数为12．14．9450【解析】将10名志愿者分成4组，每组至少2人，有两种分组方案：（1）若小组人数分别为2，2，2，4，则有种；（2）若小组人数分别为2，2，3，3，则有种，所以共有种．15．0.79【解析】记事件“从柳丁中任取1个为商品果”，由全概率公式可得．16．2【解析】将三棱锥置于如图所示的长方体中，其中，又平而EFGH，平面，所以平面平面EFGH，又平面平面，平面平面，所以，同理，所以；同理，所以四边形EFGH为平行四边形．连接，，则，，所以平面，又平面，所以，所以，所以四边形EFGH为矩形．设，则，所以，，所以四边形EFGH的面积，当时，．四、解答题17．解：（1）依题意，男女同学的比例为2：1，则，解得，该班同学选择A类项目的概率为．（4分）（2）由（1）完善列联表可得性别A类B类合计男同学251540女同学101020合计352560零假设为：同学选择项目的类别与其性别无关，（6分）可得，（9分）依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以能认为同学选择项目的类别与其性别无关．（10分）18．解：（1）由，得，所以，即，（3分）由余弦定理得，（5分）化简得，即．（6分）（2）由（1）及正弦定理得．（8分）因为，，所以，所以．（9分）因为，所以，所以，（10分）所以．（12分）19．解：（1）因为，代入已知数据，得．所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有较强的线性相关关系．（6分）（2）10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，从“Ⅰ类误差”“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为X，由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3．则，，，．所以X的分布列为X0123P所以．（12分）20．（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，，所以，所以，所以．因为，，所以四边形BCEF为平行四边形，所以，所以．（2分）因为平面ABF，平面ABF，所以．因为BC，平面BCG，，所以平面BCG，因为平面BFD，所以平面平面BCG．（5分）（2）解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，则，，，设平面ABG的一个法向量为，则即令，则，（7分）记直线GC与平面ABG所成的角为，则，解得（负值舍去），即．（9分）设平面BFD的法向量为，则，，则即令，则，所以，所以平面BFD与平面ABG所成角的余弦值为．（12分）21．（1）解：，当时，，在区间上单调递增，所以，即，故在区间上无零点；（2分）当时，令，解得；令，解得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，因为，所以，且，，由零点存在定理可知在区间上有唯一的零点，此时在区间上有唯一的零点．（5分）综上，当时，无零点；当时，有一个零点．（6分）（2）证明：由（1）知当时，，要证存在，使得，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立，（9分）令，即证对任意恒成立，（10分）令，，则，所以在区间上单调递增，所以，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意，都存在，使得．（12分）22．（1）解：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为；若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为，所以，．（1分）①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白时，概率为，此时若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为；若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为．（3分）②当甲盒2黑1白，乙盒为2白时，概率为，此时若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为．综上可知，，．（5分）（2）证明：经过n次这样的操作．记甲盒子恰有2黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，则有3白的概率为，①当甲盒为1黑2白，乙盒为1黑1白时，概率为，此时若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为；若甲盒取黑，乙盒