高等数学：多元函数微分学及其应用

多元函数微分学及其应用8.1多元函数的基本概念8.2偏导数8.3全微分8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数8.5多元函数的极值与最值本章小结

8.1多元函数的基本概念

一、平面区域的概念平面区域与数轴上区间的概念类似,是指坐标平面上满足某些条件的点的集合.围成平面区域的曲线称为该区域的边界,包含边界的平面区域称为闭区域,不含边界的平面区域称为(开)区域.如果一个区域总可以被包含在一个以原点为中心的圆域内,则称此区域为有界区域,否则称为无界区域.

例如,点集{(x,y)1<x2+y2<4}是开区域,也是一有界区域,如图8-1所示;点集{(x,y)1≤x2+y2≤4}是闭区域,也是一有界区域,如图8-2所示;而点集{(x,y)x+y>0}是无界区域,如图8-3所示.图8-1图8-2图8-3

二、多元函数的概念

在很多自然现象和实际问题中,经常会遇到多个变量之间的依赖关系.

引例1【矩形的面积】矩形面积S与长x、宽y之间的关系为

其中长x和宽y是两个独立的变量.当x、y在一定范围内取一对数值(x,y)时,矩形面积S有唯一确定的值与之对应.

引例1【矩形的面积】矩形面积S与长x、宽y之间的关系为

其中长x和宽y是两个独立的变量.当x、y在一定范围内取一对数值(x,y)时,矩形面积S有唯一确定的值与之对应.

引例2【圆柱体的体积】圆柱体的体积V与底面圆的半径r与高h之间的关系为

r、h在一定范围内取定一对数值(r,h)时,体积V就有一个确定的值与之对应.

定义8-1设D是平面R2上的一个非空点集,如果对于D内的任一点(x,y),按照某种对应法则f,都有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的二元函数,记作

其中:x和y称为自变量;z称为因变量;点集D称为函数的定义域;数集{

z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为函数的值域.

设z=f(x,y)是定义在区域D上的一个二元函数,则点集

称为二元函数z=f(x,y)的图形.二元函数的几何图形一般是空间中的一个曲面.

类似地,可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元及二元以上的函数统称为多元函数.

与一元函数类似,确定二元函数的定义域时,也分为两种情况:

(1)当自变量和因变量具有实际意义时,我们以自变量的实际意义确定函数的定义域.

(2)当函数是用一般解析式表达、自变量没有明确的实际意义时,我们以使自变量有意义的范围作为函数的定义域.

例8-1求函数z=1-x2-y2的定义域.

解函数表达式为偶次根式,被开方式满足

1-x2-y2≥0或x2+y2≤1

所以函数的定义域为

D={(x,y)x2+y2≤1}

即函数定义域的图形是以原点为圆心、半径为1的圆周及圆内点的集合,如图8-4所示.图8-4图8-5

三、二元函数的极限

1.邻域和去心邻域的概念

定义8-2设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,δ是某一正数,与点P0(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y)的全体称为点P0(x0,y0)的δ邻域,记作U(P0,δ),即

将该邻域去掉P0(x0,y0)后的点集称为点P0(x0,y0)的去心δ邻域,记作U°(P0,δ),即

2.二元函数极限的概念

与一元函数极限的概念类似,二元函数的极限也是反映函数值随自变量变化而变化的趋势.

定义8-3设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义,如果当点P(x,y)无限趋近于点P0(x0,y0)时,函数z=f(x,y)无限趋于一个常数A,则称A为函数z=f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限,记作

否则,称函数z=f(x,y)在(x,y)→(x0,y0)时的极限不存在.

值得注意的是,二元函数z=f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限为A,是指点(x,y)无论以任何方式趋于点(x0,y0)时,f(x,y)都无限接近于A.如果点(x,y)以某一特殊方式,例如沿一条定直线或定曲线趋于点(x0,y0)时,函数值f(x,y)不能无限趋于任一给定的数值,或点(x,y)以两种不同方式趋于点(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,都说明函数z=f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限不存在.

为了区别于一元函数的极限,我们称二元函数的极限为二重极限.

计算二重极限一般来说要比计算一元函数的极限更复杂也更困难,通常有以下几种计算方法:

(1)利用变量替换将二元函数转化为一元函数,再利用两个重要的极限、等价无穷小代换等方法求极限.

(2)若函数沿不同的路径趋于不同的值,则可断定其极限不存在.

(3)若函数沿一条定直线或定曲线趋近于点(x0,y0)时,其极限不存在,则可断定其极限不存在.

四、二元函数的连续性

1.二元函数连续的定义

定义8-4设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,如果z=f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在,且极限值等于函数值,即

则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处不连续,则称函数在(x0,y0)处间断,点(x0,y0)称为z=f(x,y)的间断点.

显然函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续要同时满足以下三个条件:

(1)在点(x0,y0)处有定义;

三个条件缺一个都将说明z=f(x,y)在点(x0,y0)处间断.

如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都连续,则称该函数在区域D内连续.在区域D上连续的二元函数的图形是区域D上的一个连续曲面.

2.二元初等函数

与一元函数类似,二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.

一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.

特别地,在有界闭区域D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理,下面我们罗列出这些定理:

定理8-1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数,在D上至少取得最大值和最小值各一次.

定理8-2(有界性定理)在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.

定理8-3(介值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数,若在D上取得两个不同的函数值,则它在D上必取得介于这两个值之间的任何值至少一次.

8.2偏导数

引例3理想气体的压强p与体积V、绝对温度T三者之间的函数关系是

在热学中,需要研究下面两种情况:

(1)【等温过程】等温过程是指在温度不变(T=常数T0)时,考察因体积V变化而引起压强p的变化,即p关于V的变化率

(2)【等积过程】等积过程是指在体积不变(V=常数V0)时,考察因温度T变化而引起压强p的变化,即p关于T的变化率

一、偏导数的定义及其计算法

1.偏导数的定义

2.偏导数的求法

(1)已知z=f(x,y),求f'x(x,y)时,只要将y视为常数而对x求导;求f'y(x,y)时,只要将x视为常数而对y求导.

(2)求f'x(x0,y0)或f'y(x0,y0)时,可以用公式求出偏导数再代入该点坐标,也可以先将另一个看作常量的坐标值代入后再求一元函数的导数.

(3)对于由多个解析式表达的分段函数,分段点处的偏导数只能用定义来求.

(4)若f(x,y)对x、y具有轮换对称性,即在f(x,y)的表达式中将x换为y同时将y换为x时函数表达式不变(f(x,y)=f(y,x)),则f'x(x,y)和f'y(x,y)结构相同.若已知其中一个,求另一个时只需将x换为y即可.

二、高阶偏导数

定义8-6设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数

则在D内,仍是关于x、y的二元函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.

二元函数共有下列四个二阶偏导数:

从上面两个例子可以看出,这两个函数的两个二阶混合偏导数是相等的,即

这种现象并不是偶然的,这两个二阶混合偏导数只是求偏导顺序不同,在一定条件下可以相等.事实上,有如下结论:

定理8-4如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数

在区域D内都连续,则在该区域内有

对于二元以上的多元函数,我们也可以类似地定义高阶偏导数,而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求偏导的次序无关.

8.3全微分

多元函数对某个自变量的偏导数仅表示因变量相对于该自变量的变化率,而其余自变量视为固定.但在实际问题中,有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量,即全增量问题.这就要求引入新的研究工具,即全微分.

引例4用S表示长、宽分别为x、y的矩形的面积,显然S=xy.如果长x与宽y分别取得增量Δx和Δy,则面积S的相应增量为图8-6

一、全微分的定义

定义8-7设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,如果函数在该点处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),其中A、B不依赖于Δx、Δy,而仅与x、y有关,o(ρ)是比ρ高阶的无穷小量,则称AΔx+BΔy为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分,记作dz,即

此时也称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微;否则,称函数z=f(x,y)在点(x,y)处不可微.

事实上,如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内有连续偏导数f'x(x,y)和f'y(x,y),则函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,且

与一元函数类似,自变量的增量等于自变量的微分,即

因此函数z=f(x,y)的全微分可记作

三元及三元以上的多元函数的全微分也有类似公式,例如若三元函数u=f(x,y,z)的全微分存在,则可表示为

例8-20要造一个无盖的圆柱形水槽,其内半径为2米,高为4米,厚度均为0.01米,求大约需用材料多少立方米?

解因为圆柱体体积V=πr2h(其中r为底面半径,h为高),所以

由于r=2,h=4,Δr=Δh=0.01,因此

所以,需用材料约为0.628立方米.

二、全微分在近似计算中的应用

8.4多元复合函数的导数与隐函数的导数

一、多元复合函数的导数1.复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数z=f(u,v)、u=u(t)、v=v(t)构成复合函数z=f(u(t),v(t)),其变量间的相互依赖关系可用图8-7来表示.图8-7

定理8-5如果函数u=u(t)及v=v(t)都在点t处可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数,则复合函数z=f(u(t),v(t))在对应点t处可导,且其导数的计算公式为

2.复合函数的中间变量为多元函数的情形

定理8-5可以推广到中间变量不是一元函数的情形.例如,中间变量为二元函数时,设函数z=f(u,v)、u=u(x,y)、v=v(x,y)构成复合函数z=f(u(x,y),v(x,y)),其变量间的相互依赖关系可用图8-8来表达.图8-8

定理8-6如果函数u=u(x,y)和v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x及对y的偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数,则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在对应点(x,y)处有偏导数,且其偏导数的计算公式为

3.其他情形

定理8-7设函数z=f(u,x),而u=u(x,y)(见图8-9)在点(x,y)处有偏导数,z=f(u,x)在相应点(u,x)处有连续偏导数,则复合函数z=f(u(x,y),x)在点(x,y)处有偏导数,且其偏导数的计算公式为图8-9

二、隐函数的导数

定义8-8-若由方程F(x,y,z)=0确定z是x、y的函数z=z(x,y),则称这种函数为二元隐函数.如ez-xyz=0、z=xlnz+zlny均可确定隐函数z=z(x,y).

1.由方程F(x,y)=0确定的一元函数y=f(x)的导数

在一元函数微分学中,我们介绍了利用复合函数求导法求由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)的导数的方法.下面我们介绍通过多元复合函数微分法来建立用偏导数求由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)的导数的公式.

将由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)代入该方程,得

利用多元复合函数微分法,方程(8-3)两端同时对x求偏导,得

若F'y≠0,则有

2.由方程F(x,y,z)=0确定的二元函数z=z(x,y)的偏导数

如果三元方程F(x,y,z)=0确定了z是x、y的函数z=z(x,y),且F'x、F'y、F'z连续及F'z≠0,则有

利用多元复合函数微分法,方程(8-4)两端分别对x、y求偏导,得

则有

例8-27求由方程ez-xyz=0确定的隐函数z=z(x,y)的两个偏导数

解设F(x,y,z)=ez-xyz,则有

8.5多元函数的极值与最值

在一元函数微分学中,我们介绍了利用导数求函数极值的方法,解决了一些一元函数的最大值或最小值问题.但在许多实际问题中,常常会遇到求多元函数的极值或者最大值、最小值的问题.本节主要介绍求二元函数极值与实际应用问题中求最值的方法.

一、二元函数的极值

1.极值的定义

定义8-9设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于(x0,y0)的任意一点(x,y),都有

则称函数在点(x0,y0)处有极大值f(x0,y0);如果对于该邻域内异于(x0,y0)的任意一点(x,y),都有

则称函数在点(x0,y0)处有极小值f(x0,y0).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

2.极值存在的必要条件

与导数在一元函数极值研究中的作用一样,偏导数也是研究多元函数极值的主要方法.

如果二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值,那么固定y=y0,一元函数z=f(x,y0)在点x=x0处也必取得相同的极值;同理,固定x=x0,z=f(x0,y)在点y=y0处也取得相同的极值.因此,由一元函数极值的必要条件,我们可以得到二元函数极值的必要条件:

定理8-8-设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值,且在该点处的偏导数存在,则必有f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0.

与一元函数的情形类似,对于多元函数,能使所有的一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.

3.极值存在的充分条件

定理8-9设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有连续一阶与二阶偏导数,且(x0,y0)是一个驻点,即

令A=f″xx(x0,y0),B=f″xy(x0,y0),C=f″yy(x0,y0),则z=f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的条件如表8-1所示.

4.二元函数极值的求法

根据定理8-8和定理8-9,如果函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,则求该函数极值的一般步骤如下:

(1)求一阶偏导数f'x(x,y)及f'y(x,y),并解方程组

求出f(x,y)的所有驻点.

(2)对每个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、C.

(3)根据Δ=B2-AC的符号,按照定理8-9的结论判定(x0,y0)是否为极值点,是极大值点还是极小值点.

(4)求出函数z=f(x,y)对应极值点(x0,y0)的函数值f(x0,y0),即为极值.注:该步骤只适合于判断驻点是否为极值点.

二、二元函数的最值

如果函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续,则函数z=f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.由于在有界闭区域D上的最大值和最小值只可能在驻点、一阶偏导数不存在的点、区域边界上的点取到,因此求二元函数在有界闭区域D上的最大值和最小值时,需要求出函数在D内的驻点以及偏导数不存在的点,然后将这些点的函数值与D的边界上的点的函数值作比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

设函数f(x,y)在D上连续、偏导数存在且只有有限个驻点,则求f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤为:

(1)求函数f(x,y)在D内所有驻点处的函数值;

(2)求f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值;

(3)将前面得到的所有函数值进行比较,其中最大的一个就是最大值,最小的就是最小值.

在解决实际问题时,如果根据问题的性质可以判断出函数f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值).

例8-32要用铁板做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱,当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?

例8-33某工厂生产甲和乙两种产品,出售单价分别为10元和9元,生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)元.取得最大利润时,两种产品的产量各是多少?

解设L(x,y)表示产品甲与乙分别生产x与y单位时所得的总利润.因为总利润等于总收入减去总费用,所以有

令

解方程组,得唯一驻点为

三、条件极值

前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量一般只要求限制在定义域内,并无其他限制条件,这类极值称为无条件极值.但在实际问题中,还会遇到对函数的自变量还有其他附加条件的极值问题,称之为条件极值.下面介绍求解一般条件极值问题的拉格朗日乘数法.

设二元函数z=f(x,y)和φ(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数,则求z=f(x,y)在D内满足条件φ(x,y)=0的极值问题可以转化为求拉格朗日函数

的无条件极值问题.

利用拉格朗日乘数法求函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值的基本步骤为

本章小结

一、多元函数的基本概念1)定义(1)多元函数.设D是平面R2上的一个非空点集,如果对于D内的任一点(x,y),按照某种对应法则f,都有唯一确定的实数z与之对应,则称f是D上的二元函数,它在(x,y)处的函数值记作f(x,y),即z=f(x,y).二元及二元以上的函数统称为多元函数.

(2)二元函数的极限.

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义,如果当点P(x,y)无限趋近于点P0(x0,y0)时,函数z=f(x,y)无限趋于一个常数A,则称A为函数z=f(x,y)在(x,y)→(x0,y0)时的极限,记作

(3)二元函数的连续性.

设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,如果同时满足如下三个条件:

2)性质

(1)最大值和最小值定理:在有界闭区域D上的二元连续函数,在D上至少取得最大值和最小值各一次.

(2)有界性定理:在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.

(3)介值定理:在有界闭区域D上的二元连续函数,若在D上取得两个不同的函数值,则它在D上必取得介于这两个值之间的任何值至少一次.

二、偏导数

1)定义

(1)偏导数的定义.

(2)二阶偏导数.

2)性质

如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D内都连续,则在该区域内有

3)计算方法

偏导数的求解方法一般包括下列步骤:

(1)已知z=f(x,y),求f'x(x,y)时,只要把y看作常数而对x求导;求f'y(x,y)时,只要把x看作常数而对y求导.

(2)求具体某点处的偏导数时,可以用公式求出偏导数再代入该点坐标,也可以先将另一个看作常量的坐标值代入后再求一元函数的导数.

(3)对于由多个解析式表达的分段函数,其分界点的偏导数只能用定义来求.