高等数学：不定积分

不定积分4.1不定积分的概念4.2基本积分公式和运算法则4.3换元积分法4.4-分部积分法本章小结

4.1不定积分的概念

一、原函数

引例【汽车行驶的路程】一辆汽车沿直线行驶,其速度为v(t)=3t2(t≥0).假设汽车位置由起点开始计算,求汽车运动的位置函数s(t).

解由题意可知s'(t)=v(t)=3t2,因为(t3+C)'=3t2,所以s(t)=t3+C又因为s(0)=0,代入得C=0,所以汽车运动的位置函数为s(t)=t3.

在微分学中,我们讨论了已知物体的位置函数s(t)求物体速度v(t)的问题,即v(t)=s'(t).而该引例是已知物体的速度v(t),求物体运动的位置函数s(t),与微分学中的求导运算相反,也就是已知一个可导函数的导数(或微分),求该函数的问题.为求解该类问题,我们首先给出下面的定义:

定义4-1如果在区间I上,可导函数F(x)的导数为f(x),即对任意的x∈I,都有

则称函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.

原函数存在定理:连续函数一定存在原函数.

由于初等函数在其定义区间上都连续,所以初等函数在其定义区间上都存在原函数.

一般地,若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则函数族F(x)+C是f(x)的全体原函数,其中C为任意常数.

二、不定积分的概念

定义4-2如果函数F(x)是f(x)的一个原函数,那么f(x)的全体原函数F(x)+C(C为任意常数)称为f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx,即

其中“∫”称为积分号;x称为积分变量;f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;C称为积分常数.

由定义4-2可知:

(1)求函数f(x)的不定积分实际上只需求出它的一个原函数,再加上任意常数C即可;

(2)求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算,即

三、不定积分的几何意义

如果函数F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.因此,f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一积分曲线沿纵轴方向上下平移所得的积分曲线族.显然,若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行,如图4-1所示.图4-1

例4-3设曲线经过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线方程.

解设所求曲线方程为y=f(x),由题意可知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为

即f(x)是2x的原函数.

4.2基本积分公式和运算法则

一、基本积分公式由4.1节内容可知,求不定积分与求导(或微分)运算是互逆的,因此由求导(或微分)的基本公式可以得到不定积分的基本公式.

例如,根据导数公式

可得到xα

的不定积分的公式为

类似地也可得到其他不定积分的公式.我们把下面的公式称为基本积分公式,这些公式是求不定积分的基础,务必熟记:

二、不定积分的运算法则

性质4-1设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则有

即被积函数中的非零常数因子可提到积分号前面.

性质4-2设函数f(x)和g(x)的原函数存在,则

即两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和.

性质4-1和性质4-2等价于

例4-5求∫(4x+ex)dx.

解

注:逐项求积分后,每个不定积分都含有任意常数.由于任意常数之和仍为任意常数,因而为方便起见,只需写出最后一个任意常数C即可.

在求积分问题中,有一类积分是通过将被积函数按照运算法则进行恒等变形,再利用基本积分公式求得积分结果的,这种计算不定积分的方法称为直接积分法,常用的恒等变形有以下几种:

1)代数化简法

2)分子构造法

3)通分还原法

通分还原法是指利用公式

将一个表达式拆为两部分,其关键是寻找分子g(x)±f(x).

4)三角恒等式变形法

在不定积分运算中,常用的三角恒等式主要有以下七个:

4.3换元积分法

一、第一类换元积分法(凑微分法)对于积分∫e2xdx,在基本积分公式中有∫exdx=ex

+C.值得注意的是,基本积分表中的变量x替换为其他变量或表达式(视为一个变量)时,公式仍然成立.例如,∫costdt=sint+C,∫cos(2x)d(2x)=sin(2x)+C,∫cos(ex

-3)d(ex-3)=sin(ex-3)+C,∫eudu=eu+C,∫e2xd(2x)=e2x+C等.

因此,可将积分∫e2xdx与积分∫e2xd(2x)=e2x+C结合起来,并将dx变为d(2x),由于d(2x)=(2x)'dx=2dx,故有

我们可以得到如下结论:

这种先“凑”微分再作变量代换的方法,称为第一类换元积分法,也称为凑微分法.

第一类换元积分法的特点是被积函数f[φ(x)]φ'(x)由两部分组成,即复合函数f[φ(x)]和φ'(x)(复合函数内层函数φ(x)的导数),换元(凑微分)是将内层函数φ(x)进行换元(凑微分).第一换元积分是复合函数微分的逆运算.

3.sinxdx=-d(cosx)、cosxdx=d(sinx)型

在sinxdx=-d(cosx)和cosxdx=d(sinx)型函数中,最常见的是形如∫sinmxcosnxdx(m,n∈N)的不定积分.计算这种积分时,当m、n中至少有一个为正奇数时,从正奇次幂中拆出一次幂来凑微分,再用正余弦平方和公式进行变换,然后用幂函数积分公式进行积分;当m、n均为正偶数时,可使用半角公式降幂,然后再进行积分.

4.以基本积分表为基础的其他凑微分型

以基本积分表为基础的函数还有以下几种:

变量替换的目的是为了便于使用不定积分的基本积分公式.当运算比较熟练时,就可以略去变量代换的步骤.

一般地,我们可以得到如下结论:

定理4-2若f(x)是连续函数,x=φ(t)有连续的导数φ'(t)≠0,其反函数t=φ-1(x)存在且可导,又设

则有换元公式

这种换元方法称为第二类换元积分法.

常见的第二类换元积分有:

1.简单根式代换法

例4-19求下列不定积分:

2.三角代换法图4-2图4-3图4-4

4.4-分部积分法

当被积函数是两种不同类型函数的乘积时,如等,往往需要用函数乘积微分的逆运算进行计算.这就是本节要介绍的分部积分法.

定理4-3设函数u=u(x)、v=v(x)具有连续导数,则由函数乘积的微分法可得

移项整理,再两边积分,得

即

式(4-7)称为分部积分公式,用此公式求积分的方法称为分部积分法.

分部积分法是将一个不易求的积分∫udv转化为另一个易求的积分∫vdu.用分部积分法求积分时,正确选择u和dv是解题的关键,一般要考虑以下两点:

(1)转换后的积分要比转换前的积分容易积出;

(2)转化为积分∫vdu时,一定要算出微分du,即∫vdu=∫vu'dx.

一般地,当被积函数为对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数、指数函数这五类函数的其中两类相乘时,可考虑利用分部积分法,并且按照对、反、幂、三、指(或对、反、幂、指、三)的顺序,将排在前面的视为u,排在后面的和dx一起凑为dv再利用式(4-7)进行计算.

1.被积函数为幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积

在对形如∫xmsinaxdx、∫xmcosaxdx、∫xmeaxdx(m∈N,a为常数)的函数进行积分时,选幂函数作为u,然后用m次分部积分法进行求解.

2.被积函数为幂函数与反三角函数或对数函数的乘积

在对形如∫xmarcsinxdx、∫xmlnnxdx(m、n∈N)的函数进行积分时,要选反三角函数或对数函数为u.

3.被积函数为指数函数与正(余)弦函数的乘积

在对形如∫eaxsinbxdx、∫eaxcosbxdx(a、b为非零常数)的函数进行积分时,选指数函数或正(余)弦函数为u都行,但需要用两次分部积分,且这两次分部积分过程中所选择的作为u的函数类型不能变.

本章小结

一、原函数

原函数存在定理:连续函数一定存在原函数.一个连续函数的原函数有无穷多个,这些原函数之间最多相差一个常数

二、不定积分的概念

1.定义

其中F'(x)=f(x).

2.几何意义

f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一积分曲线沿纵轴方向上下平移所得的积分曲线族.

三、不定积分的性质

(1)求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算,即

四、基本积分公式

五、直接积分法

直接积分法主要有代数化简法、分子构造法、通分还原法、三角恒等式变形法四种.

六、换元积分法

1.第一类换元积分法(凑微分法)

凑微分法的常见函数类型有:

2.第二类换元积分法

第二类换元法主要有简单根式代换法、三角代换法两种.

七、分部积分法

分部积分公式为∫udv=uv-∫vdu,主要用于以下三种类型的被积函数:

(1)被积函数为幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积,即形如∫xmsinaxdx、∫xmcosaxdx、∫xmeaxdx(m∈N,a为常数)的积分,可选幂函数作为u,然后用m次分部积分法进行求解.

(2)被积函数为幂函数与