黄金卷03-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）（解析版）

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）黄金卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将集合中的式子通分成分母为3的式子，然后可判断出答案.【详解】由题意得，，而表示整数，表示被3除余2的整数，故，则，故选：B．2．已知，是关于x的方程的两个根.若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由，是关于x的方程的两个根，由韦达定理求出，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由，是关于x的方程的两个根，得，所以，所以.法二：由，是关于x的方程的两个根，得，所以，所以.故选：C.3．“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据椭圆标准方程的特征，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】若方程表示的曲线是椭圆，则，，且，所以且．故“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：C4．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用排除法，结合函数性质可得正确选项.【详解】由图像可知，而D选项中，∴排除D选项；又图像不关于原点对称，∴不是奇函数，若，函数定义域为R，，为奇函数，排除A选项；，是奇函数，∴排除C选项.故选：B．5．如图，正方形中，是线段上的动点，且，则的最小值为（

）

A． B． C． D．4【答案】C【分析】根据给定图形，用表示向量，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.【详解】正方形中，，则，而，则，又点共线，于是，即，而，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：C6．“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（

）

A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为B．C．使得不等式成立的的最大值为4D．数列的前项和【答案】C【分析】找到规律，得到，推导出等比数列，求出通项公式，判断B选项，进而得到从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和，判断A选项，得到的通项公式，解不等式，判断C选项，利用等比数列前n项和公式进行判断D选项.【详解】由题可得，，，……，，则，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，则，显然B正确；由题意可得：，即，，……，于是，为等比数列，对A：连续三个正方形面积之和，A正确；对C：令，则，而，C错误；对D：，D正确．故选：C.7．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为1”，表示事件“第二次正面朝上的点数为3”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为8”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，则下列说法错误的是（

）A．与相互独立 B．与互斥C． D．【答案】D【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，再结合独立事件、互斥事件与条件概率公式即可得解.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：，共36个．依题意，易得，事件包括，共5个，，事件包括，共6个，，对于A，事件只有结果，则，A与D相互独立，故A正确；对于B，由事件的基本事件可知，其中不包含“第一次正面朝上的点数为1”的事件，故与互斥，故B正确；对于C，事件表示“第二次正面朝上的点数不为3”，事件同时发生的有，共4件，所以，，故C正确；对于D，事件同时发生的有，共1件，所以，，故D错误.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用古典概型的概率公式求得各事件的概率，从而得解.8．函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（

）A．575 B．598 C．621 D．624【答案】C【分析】由题知的图象关于直线对称，的图像关于点对称，进而得、、，从而得到，结合的值，再解方程即可得答案.【详解】因为为偶函数，即，所以，的图象关于直线对称，因为为奇函数，即，所以的图象关于点对称.因为对于，均有，所以，因为关于直线对称，所以，因为关于点对称，所以，所以，，又，解得，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（

）A．在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数越接近于1B．样本数据：27，30，37，39，40，50的第30百分位数与第50百分位数之和为68C．已知随机变量，若，则D．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差【答案】ABC【分析】A由相关系数的实际意义判断；B由百分位数定义求出对应分位数判断；C根据正态分布对称性判断；D由分层抽样中样本、总体间的均值、方差关系判断.【详解】A：由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数越接近于1，线性相关关系越强，反之也成立，对；B：由，则第30百分位数与第50百分位数分别为，故和为68，对；C：由，故，根据正态分布对称性：，对；D：由题意，总体均值为，若两层样本容量依次为，则，当且仅当时，错.故选：ABC10．有下列说法，其中错误的说法有（

）A．在中，有，则是钝角三角形.B．若两条直线与没有公共点，则//.C．对于任意的向量，，，都有.D．若直线与平面内的一条直线平行，则直线//平面.【答案】BCD【分析】利用正弦定理角化边后利用余弦定理可以得到,进而判定A;对于空间的两条直线，考虑到在空间可能有异面的情况，从而判定B;根据向量的数量积的意义和向量的数乘运算的意义可以判定C;对照考虑到直线a有可能在平面α内，从而判定D.【详解】在中，有，由正弦定理角化边得：,由余弦定理得,所以角为钝角，故正确；若两条直线与没有公共点，直线与可能是异面直线，故B错误；对于任意的向量，，，都是向量的数量积，结果都是实数，故等号左边是与向量共线的向量，右边是与向量共线的向量，一般情况下是不相等的，故C错误；若直线与平面内的一条直线平行，则直线有可能在平面内，故D错误.故选：BCD.11．如图，等边三角形的边长为4，为边的中点，于.将沿翻折至的位置，连接.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（

）A．B．四棱锥的体积的最大值是C．存在某个位置，使D．在线段上，存在点满足，使为定值【答案】ABD【分析】由线面垂直的判定及性质判断A；首先确定平面平面时，四棱锥的体积最大，再由线面垂直的判定找到四棱锥底面上的高，最后应用棱锥体积公式求体积判断B；假设存在某个位置，使得，连接，根据线面垂直的判定、性质证得，进而有得到矛盾判断C；取的中点，连接，由线面垂直的性质得，结合已知求判断D.【详解】A：因为，即，，因为，面，则平面，因为平面，所以，正确；B：当平面平面时，四棱锥的体积最大.由A易知为二面角的平面角，此时.即，，，面，此时平面，即为四棱锥底面上的高，四棱锥的体积的最大值为：，正确；C：假设存在某个位置，使得，连接，由正三角形性质得，因为，面，所以平面，由平面，所以，由A知，因为，面，所以平面，由平面，所以，则，与题设矛盾，假设不成立，错误；D：由题设，点在线段上，且，取的中点，连接，则，，由底面三角形的边长为4，则，，，因为平面，所以面，面，所以，所以为直角三角形，且，，故为定值，正确.故选：ABD.12．已知，点为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，下列说法正确的是（

）A．若圆，则圆与圆有四条公切线B．若满足，则C．直线的方程为D．的最小值为【答案】ABD【分析】先由两圆位置关系得到公切线条数，再由圆上的点的三角表示求出的取值范围，再由切线求出切点最后得到切点弦方程，最后应用阿氏圆转化为两点间线段最短即可.【详解】圆的圆心为，，对于A：圆的圆心为，半径，所以，所以两个圆外离，所以有4条公切线，A正确；对于B：因为满足，所以是圆上的点，所以可令，其中，此时，B正确；对于C：若过点的直线斜率不存在，此时直线为，不是圆的切线，所以圆的切线斜率存在，设为，则切线方程为，圆心到直线的距离为，解得或者，所以切线方程为和，联立，解得，联立，解得，所以（或者），所以，直线，C错误；对于D：设轴上存在点使得圆上任意的一点点满足，即，解得，所以，解得，所以存在点在圆内使得，所以，D正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断CD选项.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，若，前项和，则的最大值为.【答案】【分析】根据题意，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由数列中，因为，且，可得，解得，所以，则为的二次函数，对称轴为，故当或6时取得最大值，又由，所以的最大值为.故答案为：.14．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为.【答案】【分析】求出展开式有几项，并写出的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项.【详解】由题意，在中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，∴，解得：，因此的展开式的通项为：，故的展开式中的常数项为.故答案为：.15．已知是正数,且函数在区间上无极值,则的取值范围是.【答案】【分析】辅助角公式化简到，只需要满足在区间上单调即可.【详解】∵函数，∴，∵函数在区间上无极值，∴在区间上为单调函数．若在区间上为单调增函数，则，解得，．∵是正数，∴．若在区间上为单调减函数，则，解得，．∵是正数，∴．综上所述，或．故答案为：．【点睛】这个题考查了三角函数的化一公式，两角和差公式，三角函数的最值极值，是一道比较好的题目.值得一提的是，解题的思想：正难，则反的思想，对于三角函数的最值和零点问题，多数是应用图像的整体思想，来解决，将相位看作一个整体，放到中，相当于的位置去考虑．16．已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】先对全分离，即，构造新函数，求导求单调性判断最值点，若有且仅有两个整数使得不等式成立，只需大于最小值点附近的两个整数处的函数值，且小于等于该整数处相邻的整数点处函数值，列出不等式，解出即可.【详解】解：若，即，因为，所以，即，记，故只需有且仅有两个整数使得成立即可，所以，记，所以，所以在上单调递增，因为，，所以，使得，即，在上，即，单调递减，在上，即，单调递增，所以有最小值，因为，且，，而，若使有且仅有两个整数，只需即可，解得.故答案为：【点睛】方法点睛：该题考查函数与导数的综合应用，属于难题，关于不等式成立问题的方法有：（1）对不等式进行全分离，使分母较简单或容易判断正负，以便少分类讨论；（2）构造新函数，求导求单调性，判断极值点，在草稿纸上画出草图；（3）根据题意转化为数学语言，建立不等式，解出即可.四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，18^22每题12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．已知数列满足：，.请从①；②中选出一个条件，补充到上面的横线上，并解答下面的问题：(1)求数列的通项公式；(2)设，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由同除以数列为等差数列，由得得为等差数列，即可由等差数列的通项求解，（2）根据得，进而由裂项求和可求解.【详解】（1）若选①，则由同除以得，，所以数列为公差为1，首项为的等差数列，故，故，若选②，则由得，所以为公差为2，首项为3的等差数列，故，故（2）由（1）知，所以，，，故18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边BC上，且点D是靠近C的三等分点，．(1)若，的面积为1，求b；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得，再求得的值，利用余弦定理可求得的值；（2）在中，利用正弦定理以及诱导公式化简可得出的值.【详解】（1）如图，因为，，，则为等腰直角三角形，且，因为，所以，所以，所以，则，，，在中，由余弦定理可得:，故.（2）在中，由正弦定理可得，即，即，由正弦定理可得，所以，即.19．如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.(1)求证：；(2)若平面与平面所成的角为，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由题意可得出AD⊥CD，AD⊥，即可证明AD⊥平面，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）取的中点，以为正交基底建系，设，写出各点坐标，分别求出平面与平面的法向量，根据它们所成的锐二面角的大小为，利用夹角公式列出方程可求出，再由体积公式结合等体积法即可得出答案..【详解】（1）证明：因为底面ABCD和侧面都是矩形，所以AD⊥CD，AD⊥，又CD∩＝D，CD，⊂平面，所以AD⊥平面，又⊂平面，所以.（2）取为的中点，连接，因为AD⊥平面，又⊂平面，所以，又因为，所以，又AD∩＝D，AD，⊂平面，所以平面，取的中点，为的中点，底面是矩形，所以,以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示:设，则，，，，，，设平面的法向量，，．由可得：，令可得，，所以，设平面的法向量，，．由可得，，令可得，所以由于平面与平面所成的锐二面角的平面角为，所以，可得：，则，解得．因为AD⊥平面，，所以平面，又因为，所以平面，平面，所以平面，所以.20．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了户，统计了他们年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：、、、、，统计结果如下表所示：所获纯利润（单位：万元）农户户数（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若该县有万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润在区间内的户数.（每区间数据用该区间的中间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为元.求参与调查的某农户所获奖金的数学期望.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】（1）；（2）元.【分析】（1）将频率分布表中每组的中点值乘以对应组的频率，将所得结果全部相加可得出，结合可得出，，结合参考数据可计算出的值，再乘以可得结果；（2）设中奖次数为，则的可能取值为、、、、、，则，由此利用错位相减法可计算得出的数学期望.【详解】（1）由题意知：中间值频率样本的平均数为，所以，所以，而.故万户农户中，落在区间内的户数约为；（2）设中奖次数为，则的可能取值为、、、、、，则，所以.令，①，②由①②得：，，所以（元）.所以参与调查的某农户所获奖金的数学期望为元.【点睛】本题考查正态分布在指定区间概率的计算，同时也考查了随机变量数学期望的计算，考查了错位相减求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.21．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．试题解析：（Ⅰ）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，