高考真题-三角函数及解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析

三角函数

一、三角恒等变换(3题)

1.(2015年1卷2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()

(A).立(B)也(C)--(D)-

2222

【解析】原式=sin20°cos100+cos20°sin100=sin30°=-,故选D.

2

考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

3

2.(2016年3卷)(5)若tana=：,则cos2a+2sin2a=()

4

644816

(A)—(B)—(C)1(D)—

252525

33434

【解析】由tana=—,得sina=—,cosa=—或sina=--,cosa=——，所以

45555

c-c16.1264辽3

cos2a+2sin2a=-+4x-=一，故选A.

252525

考点：1、同角三角函数间的基本关系；2,倍角公式.

3.(2016年2卷9)若cos［；-/=3，则sin2a=

77

(A)—(B)(C)--(D)-

255525

【解析】Vcost-«\3l=2cos2|

~~9sin2a=cos—~2a故选D.

14)5【2J1I4)25

二、三角函数性质(5题)

4.(2017年3卷6)设函数/")=cos(x+7T1),则下列结论错误的是()

又

A./(x)的一个周期为-2兀B.y=的图像关于直线x=/对7r称

C./(x+为的一个零点为x=JD.f(x)在弓，兀)单调递减

62

【解析】函数外力=85卜+])的图象可由y=cosx向左平移g个单位得到,

如图可知，f(x)在(方,•上先递减后递增，D选项错误，故选D.

5.(2017年2卷14)函数/(x)=sin2x+gcosx-1(xe0,y)的最大值是

［解析］/(X)=1-cos2X+GcosX——=-cos2X+GCOSX+一

走时，取得最大值L

xe0,^,贝Ijcosxw［。/］,当cosx=

2

6.（2015年1卷8）函数/（x）=cos（GX+e）的部分图像如图所示，则/（幻的单调递减区

间为()

,1,3,

(A)也兀—,K7iH—),keZ

44

13

(B)Qki一一2k兀4,keZ

44

13

(D)(22-72%+彳)入Z

1TC

—co+(p=—

jr

【解析】由五点作图知,42,解得说不，(P-—所以/(x)=cos(^x+—),

53444

—co+cp=—

42

JI13

令2k兀<7ix3■—<2k7V+7r,keZ,解得2上——<x<2k+—,keZ,故单调减区间为

444

13

(2k--,2k+-\keZ,故选D.考点：三角函数图像与性质

44

7.（2015年2卷10）如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点，点P沿

着边BC,CD与DA运动，记NBOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数

f（x）,则f（x）的图像大致为

【解析】

：

由已知得，当点P在BC边上运动时，即OSxV?时，P.-l+P5=7tanx+4+tanx!当点尸在CD边

上运动时，即次.XH2时，PA+PB=,(—--1)：+1+J(—+1):+1,当x=2时，

442Vtanxytanx2

PA+PB=2亚;当点P在,切边上运动时，即当WxW时，PJ+P5=7tan:x+4-tanx,从点P

的运动过程可以看出，轨迹关于直线冗=、对称，且/(?)〉/(1),且轨迹非线型，故选

B.

8.(2016年1卷⑵已知函数/(x)=sin3x+9)(0〉O,|a«g,x=-?为/(x)的零

点,％=?为,丫=/(X)图像的对称轴，且/(X)在(友,葛］单调，则①的最大值为

(A)11(B)9(C)7(D)5

【解析】

试题分析：因为X=-；为“X)的零点,X=:为/(X)图像的对称轴，所以；-(_；)=：+后厂即

1==耳.3，所以0=4k+1&e.V),又因为“X)在；2M单调所以

244a(1836

生-1==41=弃即©412曲此。的最大值为9.故选B.

36181221a)

考点：三角函数的性质

三、三角函数图像变换（3题）

9.（2016年2卷7）若将函数尸2sin2上的图像向左平移已个单位长度，则平移后图象的对

称轴为

(A)x=^--^k€Z)(B)X=~Y+*'z)

O

©x*一(wZ)8)*考+3)

【解析】平移后图像表达式为（令卜+]兀TT

y=2sin2x+]J,2=依+耳，得对称轴方程:

12

x=£+?&eZ),故选B.

10.（2016年3卷14）函数丁=5m尤一百cosx错误!未找到引用源。的图像可由函数

>=sinx+6cosx错误!未找到引用源。的图像至少向右平移个单位长度得

到.

【解析】

试题分析：因为y=sinx+0cosx=2sin（x+?）,y=sinx-^/3cosx=2sin（x--）=

3,3

2sin[（x+g）-三],所以函数y=sinx-4cosx的图像可由函数y=sinx+/cosx的图像至少向右平

移m0IT个单位长度得到.

考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数.

11.（2017年1卷9）已知曲线G：尸cosX,C2：y=sin（2x+『），则下面结论正确的是

7T

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移?

6

个单位长度，得到曲线。2

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移工TT

12

个单位长度，得到曲线G

1兀

C.把G上各点的横坐标缩短到原来的上倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移工

26

个单位长度，得到曲线G

1兀

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的上倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移上

212

个单位长度，得到曲线

【解析】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。

先变周期：

先变相位:

兀.7171271\

y=cosx=sin%+一=>y=sin]+=sinX4--=>ysin2x+—

2JI26；3)I3)

选D。【考点】：三角函数的变换。

解三角形（8题，3小5大）

一、解三角形（知一求一、知二求最值、知三可解）

45

1.（2016年2卷13）△ABC的内角A,BfC的对边分别为〃，b,c,若cosA=g,cosC=—,

a=\9贝!j〃=.

45312

【解析】・・・cos/4=—,cosC=—,sinA=g,sinC=—,

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—,由正弦定理得：——=-Cl—解得b=—

65sinBsinA13

2.（2017年2卷17）AiABC的内角A,8,C的对边分别为已知

sin(A+C)=8sin2—.

⑴求cosB；

(2)若〃+c=6,△ABC的面积为2,求。.

解析(1)依题得sinB=8sin2'=8・^-8s、=4(1-cosB).

22

因为sirB+cos^BT,所以16(1—cos^)?+COS?5=1,所以(17cos3-15)(cosB-l)=。，得

cosB=1(舍去)或cos8=".

17

Q1IQ1*7

(2)由(1)可知sin8=行，因为S.AGCUZ,所以]ac・sin8=2,即耳〃(?・行=2,cic=—.

因为COS8=E，所以〈土c-二)=",即/+02一片=15,从而(a+c)2—2ac—^=15,

172ac17

BP36-17-Z?2=15,解得〃=2.

3.(2016年1卷17)A4BC的内角A乃,C的对边分别为a力,c,已知

2cosC(acosB+hcosA)=c.

(I)求C；

(n)若。=的面积为』，求A3。的周长.

2

［解析】(1)2cosc(acosB+bcosA)二c,由正弦定理得:2cosC(sinA・cosB+sinB.cosA)=sinC,

2cosc・sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=TT,A,B,C£(0避),所以sin(A+B)=sinC>0,

所以2cosc=l,cosC=；.因为CG(OK),所以C=^-.

⑵由余弦定理得:c2=a2+bL2ab・cosC,7=a2+b2.2ab・；,(a+b)2-3ab=7,

S=-abasinC=—ab=，所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,

242

所以4ABC的周长为a+b+c=5+>/7.

4.(2017年1卷17)Z\A3c的内角4,B,。的对边分别为a,b,c,已知△A3C的

2

面积为」一.

3sinA

(1)求sinBsinC的值；

(2)若6cos4cosc=1,a=3,求△ABC的周长.

解析(1)因为aABC的面积S=/^且S=彳》csinA,所以，—=2■历sinA,即

3sinA23sinA2

33

a2=^tesin24.由正弦定理得sin?A=—sin^sinCsin2A,由sinA。。，得

・n.n2

sinBsinC=—.

3

21

(2)由(1)得sinBsinC=—,又cos3cosc=—，因为A+8+C=;t,

36

所以cosA=cos(7T-B-C)=-cos(B+C)=sinBsinC-cos8cos。.

hi

又因为Ae(O,兀)，所以A=60,sinA=—,cosA=-.

由余弦定理得/=从+。2一人。=9①

2

由正弦定理得b=——・sin3,c=――-sinC,所以匕。=―：—sinBsinC=8②

sinAsinAsin*'A

由①，②，得/?+c=四，所以a+/?+c=3+屈，即△A8C周长为3+屈.

5.（2015年1卷16）在平面四边形ABCD中,NA=NB=NC=75o,BC=2,则AB的取值范

围.

【解析1】如图所示，延长BA,CD交于E,平移AD,当A与

D重合与E点时,AB最长，在ABCE中，NB=NC=75。，ZE=30°,

BC=2,由正弦定理可得=一些一，即—^―BE

sinZEsinZCsin30sin75°

解得BE=m+母,平移AD,当D与C重合时，AB最短，此

时与AB交于F,在△BCF中，NB=NBFC=75。，ZFCB=30°,

BFBCBF

由正弦定理知,

sinZFCB-sinNBFC30"-sin75

解得BF=&-及，所以AB的取值范围为（"-及，而+夜）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

二、分割两个三角形的解三角形问题

7T1

6.（2016年3卷8）在AABC中，B=—，8c边上的高等于-8C,则cosA=（）

43

（A）亚（B）叵©一回（D）.亚

10101010

【解析】设BC边上的高线为AO,则BC=3A。，所以ACUJMP+OC?=百2,

AB=>/2AD-由余弦定理，知

介+4。2-8。22A£)2+5Ar>2-9AD?亚，故选C.考点：余弦定理.

cosA=

2x&ADx也AD10

7.(2017年3卷17)△ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c，已知sinA+>/3cosA=0,

a-2币,b=2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点,且ADLAC,求△A3。的面积.

解析⑴由sinA+GcosA=0，得2sin(A+?=0,即A+g=E(keZ),

又Ae(O,兀)，所以A+尹兀，得4=等.由余弦定理得/=〃+C2_3C.COSA.

又因为。=2行力=2,cosA=-；代入并整理得(c+炉=25,解得c=4.

(2)因为AC=2,BC=2q,AB=4,由余弦定理得cosC==2互.

2ab7

因为力C，A。，即△ACO为直角三角形，则AC=C£)-cosC,得CO=£.

从而点O为BC的中点，S&ABD=gSABC=；x；x|AB|x|AqxsinA=石.

8.(2015年2卷17)AABC中，D是BC上的点，AD平分NBAC,AABD是AADC面积的

2倍。

sinNB

(I)求

sinZC

(H)若AO=1,DC=显,求BD和A