2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 4-1直线的方向向量与平面的法向量 课件46张

第三章4.1直线的方向向量与平面的法向量基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.会用直线的方向向量与平面的法向量解题.基础落实·必备知识全过关知识点1

直线的方向向量与直线的向量表示1.直线的方向向量如图,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称

为直线l的方向向量.显然,一条直线有无数个方向向量,根据平行向量的定义可知:这些方向向量都平行,因此与

平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.2.直线l的向量表示已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得

=ta.反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.过关自诊1.若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(

)D2.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则(

)A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线AB的一个方向向量为(0,0,1)C.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)D.直线B1D的一个方向向量为(1,1,1)AC3.[人教A版教材习题]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,,O是BD1与B1D的交点.以{a,b,c}为空间的一组基,求直线OA的一个方向向量.知识点2

平面的法向量及其应用1.平面法向量的定义我们已经知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,空间中给定一点和一条直线后,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,则n⊥α.2.平面的向量表示式

如图,设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P,必有

·n=0.此式称为平面α的一个向量表示式.

平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量

过关自诊

1.若两个向量

=(1,2,3),=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为(

)A.(-1,2,-1)

B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)A2.(多选题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是(

)BC3.[人教A版教材习题]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系.(1)求平面BCC1B1的法向量;(2)求平面A1BC的法向量.重难探究·能力素养全提升探究点一直线的方向向量及其应用【例1】

(1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=

,y=

.

-14

6(2)在空间直角坐标系中,已知点A(2,0,1),B(2,6,3),P是直线AB上一点,且满足AP∶PB=3∶2,则直线AB的一个方向向量为

,点P的坐标为

.

(0,6,2)(答案不唯一)

规律方法

1.应注意直线AB的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.2.利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.变式训练1(1)设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于(

)A.1 B.2 C.3 D.4B解析

因为l1⊥l2,所以a⊥b,则a·b=(1,2,-2)·(-2,3,m)=-2+6-2m=0,解得m=2.故选B.(2)已知直线l的方向向量v=(2,1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,-2,z)两点,则y=

,z=

.

探究点二平面的法向量及求法【例2】

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.变式探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?解

如同例2建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.规律方法

1.利用待定系数法求平面法向量的步骤

2.求平面法向量的三个注意点(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.(2)取特值:在求法向量的坐标时,可令x,y,

z中一个取特殊值,得另两个值,就是平面的一个法向量.(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时,一定要注意这个坐标不为0.变式训练2如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.探究点三证明平面的法向量【例3】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.求证:

是平面ADE的法向量.证明

如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则规律方法

用向量法证明平面法向量的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直,因此,其思想方法与证明线线垂直相同,区别在于必须证明两次线线垂直.变式训练3如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.求证:BC⊥平面BDE.证明

∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AD⊥ED,ED⊂平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD.以点D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),本节要点归纳1.知识清单:(1)直线的方向向量与直线的向量表示.(2)平面的法向量.2.方法归纳:数形结合法,待定系数法.3.常见误区:(1)直线的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.(2)赋值时应保证所求法向量为非零向量.成果验收·课堂达标检测123451.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面(

)A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交C12345ABD解析

∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA,PA⊥AB,PA⊥CD,又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD.故ABD成立.123453.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直线l的方向向量,则x+y=

.

123454.若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),则平面ABC的法向量中,竖坐标为1