高数下期末考试试卷及答案

2017学年春季学期7.设级数Z。”为交错级数，q,f0("->**),则().

«=1

《高等数学I(二)》期末考试试卷(A)(A)该级数收敛(B)该级数发散

(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛

8.下列四个命题中，正确的命题是().

注意：1、本试卷共3页：2、考试时间110分钟：3、姓名、学号必须写在指定地方

(A)若级数发散，则级数也发散

n»l

题号一二三四总分

s.(B)若级数£片发散，则级数£a“也发散

.

.n=\

.得分

.(C)若级数收敛，则级数£a“也收敛

.

.0=1«=1

.

.(D)若级数收敛，则级数fa：也收敛

.

.阅卷入得分n=\«=1

.一、单项选择题(8个小题，每小题2分，共16分)将每题的正确答案的

.

m.代号A、B、C或D填入下表中.

.

料.

.题号12345678阅卷人得分

郛答案二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分).

一

£1.已知a与6都是非零向量，且满足,-母=同+例，则必有().f3x-4y+2z-6=0

翻1.直线《)与z轴相交，则常数〃为_________________.

(A)a-b=0(B)a+b=0(C)ad=0(D)ax=0[x+3y-z+a=0

划

22

2极.限lim(A；+y)sin~~7=().2.设/(x,y)=ln(,r+2),贝If；(1,0)=•

®>-->0'x

中(A)0(B)1(C)2(D)不存在

®

忠3.函数/。,)，)=4+)，在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为.

3.下列函数中，寸=每'的是().

料K

(A)f(x,y)=xy<B)f(x,y)=x+y+c,c^]^4.i^Dix2+y2<2x,二重积分jj(x-y)db=.

球00

鼠22t+>，

短(C)/(x,y)=yjx+y(D)/(x,y)=eD

5.设/(x)是连续函数，C={(x,y,z)|0WzW9-f-y2},JJJ2nl，在柱面坐标系下

兼

题4.函数f(x,y)=*(3-x-y),原点(0,0)是的().n

照

.(A)驻点与极值点(B)驻点，非极值点

料.(C)极值点，非驻点(D)非驻点，非极值点的三次积分为.

K.若号J,旧土，

逐.

.5.设平面区域/):(x—l)2+(y—l)2K2,6.察级数£(-l)"T£的收敛域是.

川.

n=l〃•

(—I—ji<v<0

7.将函数/(x)=J以为周期延拓后，其傅里叶级数在点工=乃处收敛

[\+x~,0<x<^

(A)1]<12</3<B)Z,>Z2>Z3(C)Z2<；1<Z3(D)13y

22于.

6.设椭圆L：5-+己-=1的周长为/,则1(3/+4/)出=().

(A)I(B)3/(C)4/(D)12/

阅卷人得分

'三、综合解答题一(5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

1.设“=m.*土)，其中/有连续的一阶偏导数，求理，..

ydxoy4.设C是由曲面z=X)，,y=N,X=1及Z=0所围成的空间闭区城，求/=川*町22\1他＞也.

S解：

n

解：

中

沿

®2.求曲面e：+z+R，=3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程.

藉解：

哈

生

回给的机

S5.求幕级数的和函数S(x),并求级数

n-l

S解:

照

灵

海3.交换积分次序，并计算二次积分匚可：丝上山，.

区9口

浒

K解：

善

川

阅卷人得分

四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字

--------------说明、证明过程或演算步骤）

1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.4.计算JJxdS,E为平面x+y+z=l在第一卦限部分.

解

解：

S

£

2.计算积分息（产+*击，其中［为圆周3+/2=妨（〃＞（））.

中解:5.利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy+d.vdz+dzdx,

也

厢

其中工为圆锥面z?=x2+V介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.

解：

羯

中

忠

和K

郝

战

幽3.利用格林公式，计算曲线积分/=［（乎+），2）（氏+。+2^）由，，其中L是由抛物线丁=炉和

想x=）,2所围成的区域。的正向边界曲线.

加

长

#:川

(A)若级数发散，则级数也发散：

2017学年春季学期n«in»l

(B)若级数发散，则级数也发散；

《高等数学I(二)》期末考试试卷(A)n»lml

(C)若级数收敛，则级数也收敛；

答案及评分标准n«!«"!

(D)若级数£|a”|收敛，则级数之a；也收敛.

一、单项选择题(8个小题，每小题2分，共16分)n=I/»=!

题号12345678二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分).

f3x—4y+2z-6=0城

答案DABBADcD1.直线《7与z轴相交，则常数a为3。

[x+3y-z+a=O

1.已知0与力都是非零向量，且满足一同=同+例，则必有(D)

2•设/(A\y)=ln(x+2),则/丫(1,。)=一1

(A)a-b=0：(B)a+b=0：(C)a•力=0；(D)ax力=0.x

2.极限p用52+天/皿1\=(A)3.函数/(x,)，)=x+y在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为_e_

y->0x丁4.i^Dix2+y2<2x,二重积分jj(x-y)dcr二_乃.

(A)0；(B)1；(02；(D)不存在.D

5.设是连续函数，Q={(x»y,z)|0<z<9-x2-y2),JJJ/，十丁.在柱面坐标系下

3.下列函数中，6'=敏的是(B)；a

(A)f(x,y)=xy；(B)/(苍)，)=/+)，+0,q为实数;的二次积分为--------f'd可:助:,”("底-----------------

<C)/(x,y)=y]x2+y2：(D)f(x,y)=eK+y.

6.骞级数£(-1尸4的收敛域是(』+»).

4.函数/(x,y)=Ay(37-y),原点(0,0)是/(x,y)的(B).

n=l

(A)驻点与极值点；(B)驻点，非极值点；

7.函数/*)=1以2"为周期延拓后，其傅里叶级数在点工=4处收敛于

(C)极值点，非驻点：(D)非驻点，非极值点.

若“=!!牛db，/?=“^pdb,[l+.v“，0<x<

22

5.设平面区域D：(x-l)+(y-l)<21T

~1------■

则有(A)

三、综合解答题一(5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)

(A)/,</2</3；(B)/j>/2>/3；(C)(D)4V4<

22

6.设椭圆L：千+芍=1的周长为/,贝1」[(3/+4/)d5=(D)I.设〃其中/有连续的一阶偏导数，求”,

ydxoy

(A)/；(B)3/；(04/；(D)12/.解：f+灯；+上f；...........4分

oxy

7.设级数为交错级数，q,f0("f+»),则(C)

M=l粤=一±/2'............7分

(A)该级数收敛；(B)该级数发散；

/y

(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛.

8.下列四个命题中，正确的命题是(D)2.求曲面/+z+孙=3在点(2.1,0)处的切平面方程及法线方程.

解:令F(x,y,z)=e*+z+到-3,...........2分

〃=(々,耳,优)=()，,工©+1),2,I,Q)=(1，2,2)，............4分G=l+2/U=0,

令(产、,=1+2办=0,

所以在点(2,1,0)处的切平面方程为(x-2)+2(y-l)+2z=0,

x2+j2=1,

即x+2y+2z-4=0；............6分

解方程组得*=y=孝为唯一驻点，...........6分

法线方程为一...........7分

又最大周长一定存在，故当x=y=当时有最大周长............7分

3.交换积分次序，并计算二次积分「dr「理上dy；

J0Jxy"

2.计算积分息(f+ybds,其中L为圆周％2+),2=始.(6/>0).

解：「心「叫di「dy「皿dx............4分

JOJ.Vy•,Jo•Joy

解：L的极坐标方程为p=acos0t............2分

=J^sinj?dy=2............7分22

则ds=J/72+(/，)2dg=ade,............4分

ITrr3

4.设。是由曲面z=xy,)，=尤x=l及z=0所围成的空间区域，求/=%孙223dx由也所以jj(x2+y2)d5=p2ad0=a3cos2060=^-.............7分

Q.

解：注意到曲面z=xy经过x轴、)，轴，...........2分

或解：心的形心(又反)=(右0),£的周长雨，

Q={(x,z):0<z<0<y<x,0<x<1}............4分

2

故/=JJJ孙吆乜网vdz=jdr£dyj；xyz^dz=—.............7分|^(x2+y2)ds=.ovds=dxna-£■

3.利用格林公式，计算曲线积分/二L(x?+y2)dx+(x+2p)dy,其中L是

5.求幕级数却W的和函数S(.E),并求级数t势的和.

由抛物线y=/和工=),2所围成的区域。的正向边界曲线.

"=1n=l乙

/=.(x2+y2)dx+(x+2xy)dy

解：S(x)=Znxn~x，S(0)=1,解:

〃=i

=^dxdy...........3分

由已知的马克劳林展式：七二之壮,|刘<1,...........2分

।一工Th"•…•…

5分

0C.1

有sa)=(Z.r”=(±-iy=7—巨，1幻<1，............5分

1-x=17分

〃=1(1—x)3

4.计算JJxdS,E为平面x+y+z=l在第一卦限部分.

==S()=2

§#2§2^22............7分

解:Z在wy面上的投影区域为：x+yK心＞0,)，＞0),

四、综合解答题二(5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演

又E:z=1-大一y,或=-1,—=一］故dS=6dxdy,

算步骤)4分

1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.dxdy

解设两个直角边的边长分别为x,y,则储+V=I,周长C=*+y+l,

所以jjxdS=石JJxdxdy='xdy=—.............7分

需求C=x+y+l在约束条件/+〉2=1下的极值问题............2分

z%°°6

设拉格朗日函数L(x,y,/l)=x+y+l+/i(x2+y2-l),...........4分

或解：由对称性，jjxdS=—JJ(x+y+z)dS=—JjdS=——

s3s3V6

5.利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy+dyk+dzdx,其中E为锥面z?+丁

介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧。

解：补曲面＜[,z=l（取上侧），..........2分

由高斯公式知

蝌dxdy+dydz+dzdx=0,.....................4分

S+D

故dxdy+d.vdz+dzdv

=-蝌clvdy+由也+dzdx

D

=-Jjdxdy=-7r.....................7分

(x2+y2<l)