高考数学原创试题命制下的创新

ξ原创试题命制下的创新主讲人：雍谦INNOVATIONINMATHCONTENT

一、数学创新试题命制的背景二、数学创新试题定义的界定三、数学创新试题命制的原那么四、数学创新试题命制的方法20世纪末，为了顺应时代的开展，世界各国纷纷制定了新的数学课程标准，提出了新的数学课程改革方案，而我国中小学教育也是在这样的时代背景下，提出了素质教育.如何为未来培养和选拔具有创造精神和创造能力的人才?高考就肩负了这个重任，命题人也试图在高考试卷中以“情景新、结构新和内容新”的创新题来检查考生的创新潜能和创新意识.一、数学创新试题命制的背景：学界：认为创新题是指以考生已有的知识为根底，并给出一定容量的新的定义信息，通过阅读获取有关信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找出解决方法，并应用于新问题解答的一类题目.

二、数学创新试题的界定著名的数学家张奠宙教授：简单地说，创新题首先要首创，其次是创新，最后是有教育价值。一般地说，这类题都有特定的背景，它的背景可以是实际背景，也可以是数学情景。创新题的知识内容大致是中学数学教学大纲和数学课程标准中所涉及的主体内容而不是一些带有竞赛性或者是初等数学研究性的难题.创新题的类型没有限制，可以是思考题、技巧题、开放题、情景题、应用题等等.二、数学创新题的界定◎科学性原那么◎适应性原那么◎人文性原那么◎时代性、开展性原那么◎研究性、应用性原那么三、数学创新试题命题原那么〔一〕情境创新法四、数学创新试题的命制方法

情境创新法指的是通过在题目中给定一些新信息(如新的概念、新的关系、新的运算等)，或是依托有意义的、社会关联性强的、对考生来说是“新”的问题情境(包括实际问题情境与数学问题情境)，来编拟试题的方法.考查考生通过观察分析、阅读理解，探索获取有用的信息，与已有认知结构中的知识进行同化，并灵活地将所学知识迁移到新的情境之中，从而创造性的解决问题.其包括实际问题情景和数学问题情景创新法.【例1】〔1998年全国卷〕向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与H水深的函数关系的图像如下图，那么水瓶的形状是〔〕【简解】利用直觉思维，认真观察四个几何体的形状与所给函数图像的关系，抓住特殊位置，可以取OH的中点，从图像可知，当高为一半时，其体积过半，图中只有B符合题意.而A,C,D的图像应该为以下图所示.【评价】此题以日常生活中常见的容器注水问题创设实际问题情景，形式简单，但是经过修饰后，完全给人一种耳目一新的感觉:改变了传统给定瓶子的形状和尺寸，求注水量与水深的函数关系式及其图像.这样做不仅有些俗气，而且主要考查计算、描点、画图，思辨性不强，并且以往考查函数图像的试题大多是考查函数奇偶性、单调性、周期性等在图像上的特征，此题的设计改变了这种固有的模式，摒弃具体的计算和画图，增加了思维量的考查.题中给定注水过程的体积与高度的函数图像，让瓶子的形状置于选择性，并且不给相关数据提示，考查考生抽象思维能力;同时，给定的注水量V与水深h的函数关系图也把细节隐去，只突出函数图形的起始和终止位置，以及图像曲线的性态，没有切实标出曲线上点的坐标的定量关系.另一方面，题目把水瓶的形状大都设计为立几中的圆台和圆柱，学生易联想到它们的体积公式，假设正面列函数解析式可能性很大，结果花了时间又失了分.而正确解答没有现成模式，解法具有较大的灵活性，这样一来，解答此题的思路即是观图看势，抓其特征.【例2】〔2001年全国卷〕如图,小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网络相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息可以分开沿不同的路线同时传递，那么单位时间内传递的最大信息量为〔〕(A)26(B)24(C)20(D)19【评价】此题以实际生活中网络节点传输信息容量为载体创设问题情景，具有时代特点随着科学技术的开展，信息时代信息量的传播快慢、信息容量多少与人民的生产、生活息息相关.命题人以信息容量为切入点，以网络节点传输容量—木桶原理为题坯.接下来就是构题，首先在每条传输线路设置几个节点，并从A点到B点设置多条线路，增加题设的干扰性，从而考查考生分析问题，合理取舍数据的能力.同时在设置每节线路的信息容量的数据时，设置相邻数据，考查考生是否真正理解木桶原理.考生如假设不理解题意，利用常规不等式或函数最值的解法，就容易进入误区.实际上，可根据直觉只要类比成“水流量”的最大值或理解为“木桶效应”原理，木桶盛水的多少不取决于长的木板，而取决于最短的木板，即取每条线路的最小值之和，也就是从左到右最小值和:3+4十6+6=19.可以看出此题很好地表达考查目标:1.考察阅读理解能力.要求考生在认真阅读、理解题意，提取相关信息点，如“最大信息量”、“从结点A到结点B传递信息”、“单位时间传递的最大信息量”，并加工、提炼信息，寻找突破口;2.考察考生的创新意识，创新潜能，创新思维，尤其是用数学思维解决实际问题的能力.

【题源】此题的背景即是历史上著名的米勒问题:1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下有趣的问题:在地球外表的什么部位，一根垂直的悬干呈现最长?在米勒的家乡哥尼斯城堡，称这个问题为雷奇奥莫塔努斯极大值问题，此题作为载入世界数学史上100个著名极值问题的第一个问题而引人注目.它是这样描述的:设点M,N是锐角A0B的一边OA上的两点，在另外一边OB边上找一点P，使得角MPN最大.【点评】此题很好地表达了能力立意，以能力立意命题，不仅是命题方式的变化，更是命题理念和原那么的变化.根据这一指导思想，高考数学以具有开展能力价值，富有开展潜力的，再生性强的能力、方法和知识为切入点，从测量学生的开展性学力和创造性学力着手，突出能力考查.在情节构造上，命题人以历史上著名的米勒问题切入，并在观塔问题情景中创设数学问题情景，具有一定的新颖性.“观塔”平时随处可见，但我们并没留意其中蕴含的数学道理，而命题人没有放过这一细节，并且将观塔问题进行加工与修饰成考生所能理解的数学语言，这对教育学生善于观察、思考问题具有很好的意义.同时，为了便于考生理解观塔问题，题目呈现了两幅关联图，一幅具有生活背景，另一幅舍去了无关细节问题，增加了试题来源于生活的真实性.设问时，以角度立意，且让角度置于一般三角形之中，这不仅需要考生灵活选取方法转化角度问题，而且要将生活化的米勒问题数学化.〔二〕知识内容创新法根据新课标2003年4月教育部公布的《普通高中数学课程实验要求》为不同开展方向的学生特意安排的新内容:新课程增加了二分法、矩阵、数学史、算法、欧拉公式与闭曲面积分、三等分角、数列与差分、对称与群、统筹法、图论初步、球面几何、数学史局部、开关电路与布尔代数、数域扩充、数论初步以及信息平安与密码等.这些新增内容为拓广考生的知识面，高考考试提供更广泛的素材，都具有重要的作用.【例4】〔2010年江西卷〕如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面局部的图形面积为S(t)(S(0)=0)，那么导函数y=s'(t)的图像大致为【简解】解答此题可以不必做任何计算，实际上.y=S’(t)的积分几何意义就是五角星露出水面的面积，也就是曲线与x轴围成的面积，分析由初始时刻和最终时刻没有变化，导数取零，排除C;总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B;考察A,D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，根据导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，应选就可以选出正确答案A.【点评】此题考查的是新增内容—导数的几何意义的实际运用，情景新颖，考查内容也较新颖.考查的能力因素是直觉思维，直觉思维是一种心智活动，是人类思维的一种根本形式.现代心理学认为，直觉思维是一种非逻辑的、无意识的认知加工活动.直觉思维可以帮助学生分析数学现象、猜测数学命题、顿悟解题思路、缩短思维过程、培育数学灵感等.情节关系上，命题人借助五角星在圆柱形水柱中运动的清景，综合导数知识进行考查.题目的精彩之处在于没有选取三边形、四边形，这些简单易于想象的图形，选择了一个具有对称性且在运动变化的过程中凸显函数特殊变化关系的五角星图形.并且五角星露出水面的运动变化过程，具有很好的思考型.数量关系上也是以字母代替具体数据，具有抽象性.同时选项设置上也具有很强的干扰性，对于检查考生理解函数图象与导函数图象意义及相互关系具有重要作用.