高等流体力学第一章

高等流体力学主讲人：孙宝江中国石油大学〔华东〕2/18/20241工程流体力学从实用角度，对工程中涉及的问题建立相应的理论根底，并进行计算。静力学运动学动力学引言以理想流体为主2/18/20242高等流体力学以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。运动学动力学以实际流体为主2/18/20243主要内容：第一章场论与张量分析初步第二章流体运动学第三章流体力学根本方程组第四章粘性流动根底第五章Navier-Stokes方程的解第六章边界层理论第七章流体的旋涡运动第八章湍流理论2/18/20244第一章场论与张量分析初步第一节

场论简述第二节

张量初步2/18/20245第一节

场论简述

根本概念场的几何表示标量场的梯度向量的散度向量的旋度哈密顿算子▽和场论的根本运算公式2/18/20246一

根本概念场〔field〕：设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量函数，那么称定义在此空间区域内的函数为场。标量场〔scalarfield〕：向量场〔vectorfield〕：均匀场〔homogeneousfield〕：非均匀场〔non-homogenousfield〕：定常流场〔steadyfield〕：非定常流场(unsteadyfield)：2/18/20247二、场的几何表示1、scalarfield：用等值线〔面〕表示令：2、

vectorfield：大小：标量，可以用上述等线面的概念来几何表示。方向：采用矢量线来几何地表示。矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合。变化快等值线〔面〕2/18/20248矢量线方程：设是矢量线的切向元素，那么据矢量线的定义有直角坐标：

那么〔1〕式变成：所以有：〔向量线方程〕向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点作矢〔向〕量线，那么这些矢量曲线的区域为向量管。0向量管〔1〕2/18/20249

三、标量场的梯度

1、定义：，

其中：为单位法向量。表征大小为，方向为的矢量为标量函数的梯度。

2、意义：它描述了M点邻域内函数的变化状况，是标量场不均匀的量度。

2/18/202410梯度意义的证明：如图，设方向单位向量那么而函数沿方向的变化为：

＝另：与同向时，最大MM1M'流场中两相邻等势线2/18/2024113、梯度的性质a〕满足关系式： 证明：

=

2/18/202412b)假设任给一封闭曲线L，，且是矢径的单值函数，那么：

证明：2/18/202413四、向量的散度(divergence)1、预备知识a.向量通过曲面的通量〔flux〕：

b.Gauss定理：假设，，在有一阶连续偏导数，那么：2/18/2024142、散度的定义于是Gauss定理可以写作：2/18/202415例1：任一不可压流场，，在流场中一点M取微元体，那么密速〔密度速度〕变化量

点源：·Source点汇：·Sink例2：令有2/18/202416五、向量的旋度〔rotation〕

1、预备知识

a.向量的环量〔Circulation〕b.Stokes定理：

(L围成S，S单连通〕LS

XZY2/18/202417

2、旋度的定义 =

于是Stokes定理可以写成：2/18/202418

例题3：

2/18/2024193、

无旋场〔irrotationalfield〕a)

定义的矢量场称为无旋场b)

性质:无旋场就是位势场，即

证明：设

即〔无旋，存在势〕2/18/202420六、哈密顿算子▽和场论的根本运算公式1、哈密顿算子的定义：它具有矢量和对它右边的量微分的双重性因此：

2/18/2024212、根本运算公式：

1)

2)

2/18/2024223〕证明：令，

2/18/2024234〕证明：

注：

5〕2/18/202424

6〕证明：根据柯青法那么

苏联数学家柯青的运算法那么：当除了一个矢量之外，其他的矢量都是常数时，应该这样来变换表达式，以使得所有常矢量都位于算子之前，而变量那么位于它之后。2/18/2024257〕证明：

XZY顺变为正逆变为负2/18/2024268〕9〕10〕2/18/2024273、哈密顿算子对积分的应用：

由Gauss定理有：

2/18/202428第二节

张量初步张量的定义张量的表示法几种特殊的二阶张量张量的运算2/18/202429一、张量的定义1、指标和符号1.1自由指标如矢量，其分量可表示为，；那么称为自由指标。1.2约定求和法那么和哑指标约定在同一项中，如有两个指标相同，就表示对该指标从1到3求和。这个约定称为爱因斯坦求和约定。这重复的指标称为哑指标。如：2/18/2024301、指标和符号1.3克罗内克尔符号定义：于是：,因此，具有替换下标的作用。例:例：为什么2/18/2024311.4置换符号〔〕

〔注：偶排列123，231，312〕例题1：2/18/202432因为2/18/202433例题2：例题3：2/18/2024341.5恒等式

证明：令2/18/202435２、张量的定义

张量是由一组分量所构成的集合，这组分量在坐标改变时应满足一定的坐标变换关系，以保证该张量本身所描述的一个完整的几何对象或物理量对象不随坐标的变换而变化。x1X’3X’2X’1x3x2笛卡尔坐标2/18/202436２、张量的定义

,分别是新旧坐标系的单位基矢量

为新旧坐标之间不同坐标轴夹角的方向余弦x1X’3X’2X’1x3x2笛卡尔坐标2/18/2024372.1对于流场中P点，标量在新旧坐标，中，量值不变。2.2对于流场中的矢量，新旧关系：基矢：

(1)在新旧坐标系中表示为：(2)

于是：

其中是新旧坐标中不同坐标轴夹角的余弦。

〔3〕新旧2/18/202438〔3〕式给出了矢量的另一种定义：即对每一个直角坐标系来说，有三个量，它根据〔3〕式变换到另一个坐标系中的三个量中去，那么此三个量定义一新的量，称为矢量。假设将矢量以坐标变换的根底定义〔3〕加以推广，可得张量的定义。2/18/2024392.3流场中点的应力状态它有9个分量来表示旧坐标中基应力矢量：〔4〕新坐标系中，基应力矢量〔5〕把〔4〕代入〔5〕有：〔6〕于是〔7〕而〔8〕i,k新坐标系j,l旧坐标系j,jl,lij2/18/202440上述矢量和应力状态，它们在新旧坐标系中分量的关系具有相同的数学结构，称这类量为张量，一般定义如下：由〔7〕，〔8〕,可得〔9〕凡符合〔9〕可变换规律的物理量称为二阶张量。另：假设在一直角坐标系内给定了3n个数，当坐标变换时，所得新的数那么称此3n个数为一个n阶张量。由此，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，应力是二阶张量。2/18/202441

二、张量的表示法一阶：二阶：或：

一阶张量二阶张量或2/18/202442三、几种特殊的二阶张量1．零张量：在任意直角坐标系中各分量皆为零的量，以0表示2．单位张量：3．共轭张量：；4．对称张量：；5．反对称张量：；

2/18/2024436、并矢证明：为二阶张量〔1〕〔2〕要证是二阶张量只需证明〔3〕