人教版九年级数学下册第二十八章　锐角三角函数　单元测试题

/第二十八章锐角三角函数一、选择题(本大题共7小题,每题4分,共28分)1．如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝1,tanA＝eq\f(1,2),那么以下判断正确的选项是()图1A．∠A＝30°B．AC＝eq\f(1,2)C．AB＝2D．AC＝22．在△ABC中,∠A,∠C都是锐角,且sinA＝eq\f(\r(3),2),tanC＝eq\r(3),那么△ABC的形状是()A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定3．如图2,直线y＝eq\f(3,4)x＋3分别与x轴、y轴交于A,B两点,那么cos∠BAO的值是()图2A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,4)4．如图3,一河坝的横断面为梯形ABCD,AD∥BC,AB＝CD,坝顶BC宽10米,坝高BE为12米,斜坡AB的坡度i＝1∶1.5,那么坝底AD的长度为()图3A．26米B．28米C．30米D．46米5．如图4,某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向,且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)小时到达B处,那么tan∠ABP的值为()图4A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)6．如图5,在Rt△ABC中,∠B＝90°,∠A＝30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,那么∠EAD的余弦值是()图5A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府,有三宝,铁塔、古楼、玉皇皋．〞被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑．如图6,测绘师在离铁塔10米处的点C处测得塔顶A的仰角为α,他又在离铁塔25米处的点D处测得塔顶A的仰角为β,假设tanαtanβ＝1,点D,C,B在同一条直线上,那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：eq\r(10)≈3.162)()图6A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米二、填空题(本大题共7小题,每题4分,共28分)8．计算：cos30°＋eq\r(3)sin30°＝________.9．假设α为锐角,且tan(α＋20°)＝eq\f(\r(3),3),那么α＝__________.10．如图7,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在方格纸的格点上,那么cosA＝________．图711．如图8,一山坡的坡度为i＝1∶eq\r(3),小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,那么小辰上升了________米．图812．如图9,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD＝eq\f(4,3),那么菱形ABCD的面积为________cm2.图913．如图10所示,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝45°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,连接CD.如果AD＝1,那么tan∠BCD＝________.图1014．如图11所示,直线MN与⊙O相切于点M,ME＝EF且EF∥MN,那么cosE＝________.图11三、解答题(本大题共4小题,共44分)15．(8分)计算：|－3|＋eq\r(3)tan30°－eq\r(12)－(2019－π)0.16．(10分)如图12所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,∠C＝45°,sinB＝eq\f(1,3),AD＝1.求BC的长．图1217．(12分)如图13,小明在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再向旗杆方向前进10米到达点F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高度．图1318．(14分)如图14,皋兰山某处有一座信号塔AB,山坡BC的坡度为1∶eq\r(3),现为了测量塔高AB,测量人员选择山坡C处为一测量点,测得∠DCA＝45°,然后他沿着山坡向上行走100m到达点E处,再测得∠FEA＝60°.(1)求山坡BC的坡角∠BCD的度数；(2)求塔顶A到CD的铅直高度AD(结果保存整数,参考数据：eq\r(3)≈1.73,eq\r(2)≈1.41)．图14详解详析1．D2．[解析]C由sinA＝eq\f(\r(3),2),tanC＝eq\r(3),知∠A＝60°,∠C＝60°,∴∠A＝∠B＝∠C＝60°,∴△ABC为等边三角形．3．[解析]A当x＝0时,y＝3,当y＝0时,x＝－4,∴A(－4,0),B(0,3),∴OA＝4,OB＝3.在Rt△AOB中,由勾股定理得AB＝5,那么cos∠BAO＝eq\f(OA,AB)＝eq\f(4,5).应选A.4．[解析]D∵坝高12米,斜坡AB的坡度i＝11.5,∴AE＝1.5BE＝18米．∵BC＝10米,∴AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(米)．5．[解析]A在△PAB中,∠APB＝60°＋30°＝90°,PA＝20海里,PB＝60×eq\f(2,3)＝40(海里),故tan∠ABP＝eq\f(PA,PB)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).应选A.6．B7．[解析]A∵BC＝10米,BD＝25米,∴在Rt△ABC中,AB＝BC·tanα＝10tanα.在Rt△ABD中,AB＝BD·tanβ＝25tanβ.∵tanαtanβ＝1,∴AB2＝10tanα·25tanβ＝250,∴AB＝eq\r(250)＝5eq\r(10)≈5×3.162＝15.81(米)．8．[答案]eq\r(3)[解析]cos30°＋eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3).9．[答案]10°[解析]由特殊角的三角函数值可知α＋20°＝30°,那么α＝10°.10．[答案]eq\f(2\r(5),5)[解析]如图．由勾股定理,得AC＝2eq\r(5),AD＝4,∴cosA＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(4,2\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).11．[答案]100[解析]根据题意,得tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3),所以∠A＝30°,所以BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×200＝100(米)．12．[答案]24[解析]连接AC交BD于点O,那么AC⊥BD.∵菱形的周长为20cm,∴菱形的边长为5cm.在Rt△ABO中,tan∠ABO＝eq\f(4,3),故可设OA＝4xcm,OB＝3xcm.又∵AB＝5cm,因此根据勾股定理可得,OA＝4cm,OB＝3cm,∴AC＝8cm,BD＝6cm,∴菱形ABCD的面积为eq\f(1,2)×6×8＝24(cm2)．13．[答案]eq\r(2)－1[解析]∵∠A＝45°,AD＝1,∴sin45°＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(DE,AD),∴DE＝eq\f(\r(2),2).∵∠A＝45°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,∴AE＝DE＝CE＝eq\f(\r(2),2),∠ADC＝90°,AD＝CD＝1,∴AC＝eq\r(2),∴BD＝AB－AD＝AC－AD＝eq\r(2)－1,∴tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)＝eq\r(2)－1.14．[答案]eq\f(1,2)[解析]连接OM,MF,OM的反向延长线交EF于点C,如下图,∵直线MN与⊙O相切于点M,∴OM⊥MN.∵EF∥MN,∴MC⊥EF,∴CE＝CF,∴ME＝MF,而ME＝EF,∴ME＝EF＝MF,∴△MEF为等边三角形,∴∠E＝60°,∴cosE＝cos60°＝eq\f(1,2).15．解：原式＝3＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－2eq\r(3)－1＝3－2eq\r(3).16．解：在Rt△ABD中,∵sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3),AD＝1,∴AB＝3.∵BD2＝AB2－AD2,∴BD＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2).在Rt△ADC中,∵tanC＝eq\f(AD,CD)＝tan45°＝1,∴CD＝AD＝1,∴BC＝BD＋CD＝2eq\r(2)＋1.17．解：由题意,得四边形CDMF为矩形,CD＝FM＝10米,AE＝CF＝DM＝1米．∵∠BCE＝60°,∠BDE＝30°,∴∠CBD＝30°,∴BC＝CD＝10米．在Rt△BEC中,sin∠BCE＝eq\f(BE,BC),∴BE＝BC·sin∠BCE＝5eq\r(3)米,∴AB＝BE＋AE＝(5eq\r(3)＋1)米．答：旗杆AB的高度为(5eq\r(3)＋1)米．18．解：(1)依题意,得tan∠BCD＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3),∴∠BCD＝30°.(2)如图,过点E作EG⊥CD于点G.∵∠ACD＝45°,∠BCD＝30°,∴∠ACE＝15°,∠DAC