抛物线知识精讲

抛物线知识精讲一、知识提要：1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，直线l叫抛物线的准线。2.抛物线的标准方程：〔1〕顶点在原点，焦点在x轴正半轴上：y2=2px，〔p>0〕。〔2〕顶点在原点，焦点在x轴负半轴上：y2=－2px，〔p>0〕。〔3〕顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上：x2=2py，〔p>0〕。〔4〕顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，x2=－2py，〔p>0〕。3.抛物线的几何性质：〔1〕焦点在x轴正半轴上的抛物线y2=2px，〔p>0〕的几何性质：①范围：x≥0，y∈R。②对称性：图形关于x轴对称。③顶点：0〔0，0〕。④离心率：e=1。说明：其实从图形上就可以反映前三条性质，下面列表给出四种形式的性质：二、典型例题分析例1.选择题：〔1〕.抛物线y=ax2〔a≠0〕的焦点坐标是〔〕解：可知抛物线的焦点在y轴上。∴，∴选C.〔2〕.经过点P〔4，－2〕的抛物线的标准方程为〔〕解：∵点P〔4，－2〕在第四象限。∴抛物线的标准方程为：y2=2px，〔p>0〕或x2=－2py，〔p>0〕将点P〔4，－2〕代入方程。〔－2〕2=8p1或42=4p2∴所求抛物线的标准方程为：y2=x或x2=－8y∴选C。总结:经过一点的抛物线标准方程有两种情况，要注意分类求解。〔3〕.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，如果x1+x2=6，那么|AB|的值为〔〕A.10 B.8 解：∵y2=4x∴2p=4，p=2。∴由抛物线定义知：|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8∴选B。总结：设称HyxOHyxOBAPF这是抛物线的焦半径公式。设当，这是抛物线的焦点弦公式；当，所以，这是抛物线的通径公式。〔4〕.过点A〔0，p〕且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线会有〔〕A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条解：①当直线的斜率不存在时，那么过点A〔0，p〕的直线恰为y轴，此时抛物线与直线只有一个公共点。②当过A〔0，p〕的直线斜率存在时，设方程为y=kx+p∴选C。总结：直线与抛物线只有一个公共点有两种情况，一种是直线与抛物线相交，此时，直线与抛物线对称轴平行：另一种是直线与抛物线相切，些时，判别式等于零。例2、填空题〔1〕.(2010年天津)双曲线方程，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的方程为。解析：由可得因为抛物线的焦点为所以，所以所求双曲线方程为。-1HHPFO〔4〕.〔2009年四川高考〕直线-1HHPFO解析：直线为抛物线的准线，所以动点P到的距离可转化为动点P到点F〔1，0〕的距离，如图：所求距离之和为当P,F,H三点在一直线上时，最小，最小值为例3．x2x21OQKP-2Ay如图，设动圆P的半径为，作PK垂直于直线，垂足为K，PQ垂直于直线垂足为Q，那么故点P到圆心A(-2,0)的距离和到定直线的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，为8x.例4.直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离。解：〔1〕当Δ=0时，即k=1时，l与C相切。〔2〕当Δ>0时，即k<1时，l与C相交。〔3〕当Δ<0时，即k>1时，l与C相离。当k=0时，l：y=1与y2=4x相交。注：直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要但不充分条件。例5.顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1=0截得的弦长为解：依题意设抛物线方程为：x2=ay〔a≠0〕，∵直线与抛物线有两个交点。设直线与抛物线的两个交点坐标为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕∴所求抛物线方程为x2=－4y或x2=12y。例6.在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A〔3，2〕的距离和最小。解：由抛物线定义知：|PF|=|PQ|∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小。∵A〔3，2〕，∴设P〔x0，2〕代入y2=2x得x0=2，∴P〔2，2〕。例7.在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x－5的距离最短。解法一：设抛物线上任意一点坐标为P〔x，4x2〕，那么点P到直线y=4x－5的距离是：解法二：由数形结合可知，所求点应为与直线y=4x－5平行且与抛物线y=4x2相切时的切点。设平行于直线y=4x－5的切线为y=4x+b。∵直线与抛物线相切，例8.某遂道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如下图。某卡车空车时通过，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱高共4.5米，此车能否通过遂道？并说明理由。解：取隧道横断面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。方程：x2=－2py，〔p>0〕。依题意A〔3，－3〕在抛物线上，∴9=－2p·〔－3〕又∵车与箱共高4.5米，∴过顶部且平行x轴的直线方程为∴这时卡车不能通过遂道。例9．〔2010年福建高考〕抛物线〔1〕求抛物线C的方程，并求其准线方程。〔2〕是否存在平行于OA〔O为坐标原点〕的直线，且直线与的距离等于，假设存在，求出直线的方程，假设不存在说明理由。解：〔1〕将〔1，2〕代入故所求双曲线方程为。〔2〕假设存在符合条件的直线，其方程为，由得，解得。另一方面，由直线。例10．〔2009江苏高考〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A〔2，2〕其焦点F在x轴上。〔1〕求其抛物线的方程。〔2〕过点F且与OA垂直的直线方程。〔3〕设过点M〔m,0〕(m>0)的直线与抛物线C相交于D，E两点，解：〔1〕由题意可设抛物线C的方程为，因为点A〔2，2〕在抛物线C上，所以，所为抛物线C的标准方程为。〔2〕由〔1〕可得点F的坐标是，又直线OA的斜率为，故直线OA垂直的直线的斜率为-1，因此所求直线方程为。11EE11EEOMDA所以，于是。例11．抛物线上有三点，且，假设线段AB，BC在x轴上的射影长相等，求证：A，B，C三点到焦点的距离顺次成等差数列。证明：依题意有,即成等差数列，由焦半径公式得，，，，，，。所以成等差数列。例12．抛物线，求证：证明：由可得焦点F的坐标为〔1，0〕，设直线AB的方程为令，又因为，，所以。例13．三角形ABC的两个顶点A〔-2，0〕，B〔0，-2〕，第三个顶点在抛物线。解：设，由重心坐标公式得，，，即。所以所求的轨迹是以。为的14．抛物线求AB中点M的轨迹方程。解：设，那么，两式相减得，,;当适合上式。综上所述，AB中点M的轨迹方程为。例15．抛物线求解：设y=,,,,所以的取值范围是。三、模拟试题。1.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x－4所得的弦长|AB|，求此抛物线的方程。2.在抛物线y2=x上求一点，使它到直线x－2y+4=0的距离最小。3.假设点F是抛物线y2=2x的焦点，点A〔2，1〕，点P在抛物线上动，当|PA|+|PF|最小时，求点P的坐标。4.〔2001年高考题〕设抛物线y2=2px，〔p>0〕的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过原点O。CC试题答案1.分析：研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标。而是由方程组一元二次方程有两个实根，再由韦达定理解答，弦长公式：解：设所求抛物线方程为：y2=ax〔a≠0〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕由又∵∴∴a=4或a=－36。∴所求抛物线方程为：。