高中数学人教A版必修5课件：2.3.2-等差数列的综合应用

第2课时

等差数列的综合应用1.复习稳固等差数列的定义、通项公式和前n项和公式.2.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.3.能够利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.(2)公式:假设数列{an}是公差为d的等差数列,那么有an=a1+(n-1)d,【做一做1-1】等差数列{an}的公差d=2,a1=1,那么().A.an=2n,Sn=n2 B.an=n,Sn=n2+nC.an=2n-1,Sn=n2 D.an=2n-1,Sn=n2-n答案:C【做一做1-2】等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,那么公差d等于().答案:C等差数列前n项和的性质剖析:数列{an}是公差为d的等差数列,其前n项和具有以下性质:(1)Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=(a1+a2+…+an)+n2d,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1+a2+…+an)+2n2d,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差为n2d的等差数列,且有Sn+S3n-S2n=2(S2n-Sn).名师点拨Sn,S2n,S3n不一定成等差数列,这一点要切记!题型一题型二题型三【例1】一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求其前110项之和.分析:此题的根本解法是求a1,d或令Sn=an2+bn,先求Sn,再求S110,或利用性质求解.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思1.先利用求出a1,d,然后再求所求的量,这是根本解法,有时运算量较大,如此题解法一.2.我们也可以利用等差数列前n项和的性质,或利用等差数列通项公式的性质,这两种解法可简化运算,是最优解法,如此题解法三和解法四.题型一题型二题型三【变式训练1】

等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m.解:在等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,即30,70,S3m-100成等差数列,故2×70=30+(S3m-100),S3m=210.题型一题型二题型三【例2】某长江抗洪指挥部接到预报,24h后有一洪峰到达.为确保平安,指挥部决定在洪峰来临前筑一个堤坝作为一道防线.经计算,除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外,还需用20台同型号的翻斗车,平均每辆车要工作24h才能完成任务.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从附近高速公路上抽调,每隔20min能有一辆车到达,且指挥部最多还可调集24辆车,那么在24h内能否构筑成这道防线?分析:这25辆车分别工作的时间按一定顺序排起来,组成一个等差数列,计算出这25辆车可以工作的时间,即这个等差数列的前25项和,如果大于或等于总共需要工作的时间,就能构筑成这道防线,否那么不能.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思

有关数列的应用问题,应先通过对实际问题的研究建立关于数列的数学模型,然后求出符合实际的答案,可分以下几步考虑:(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征?(2)是求数列{an}的通项还是求其前n项和?(3)列出等式(或方程)求解.(4)怎样求解?(5)答案是怎样的?题型一题型二题型三【变式训练2】

甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1min走2m,以后每分钟比前1min多走1m,乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1min多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?题型一题型二题型三解:(1)设甲、乙运动开始n

min后第一次相遇,整理,得n2+13n-140=0,解得n=7或n=-20(舍去).故甲、乙开始运动7

min后第一次相遇.(2)设m

min后第二次相遇,依题意有整理得m2+13m-6×70=0.解得m=15或m=