第六章简单的超静定问题

第六章简单的超静定问题材料力学第六章简单的超静定问题§6—2拉压超静定问题§6—1超静定问题及其解法§6—3扭转超静定问题§6—4简单超静定梁第六章简单的超静定问题约束反力及轴力都可以由静力平衡方程求得，这类问题称为静定问题。凭静力平衡方程不能求得约束反力或轴力，这类问题称为静不定问题。定义：§6-1超静定问题及其解法未知力个数--平衡方程的个数=1一次超静定

未知力个数--平衡方程的个数=2二次超静定

解超静定问题的方法步骤:

平衡方程；

几何方程——变形协调方程；

物理方程——弹性定律；

补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组超静定结构的类型1、不同材料制成的组和杆件的超静定问题这类超静定问题的变形特征是:两种材料的伸长(缩短)变形相等.§6-2拉压超静定问题例1

木制短柱的四角用四个40

40

4的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[

]1=160MFa和[

]2=12MFa，弹性模量分别为E1=200GFa

和E2=10GFa；求许可载荷P。几何方程物理方程及补充方程：解：

平衡方程:Py4FN1FN2

解平衡方程和补充方程，得:

求结构的许可载荷：

方法1:角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm24FN1FN2所以在△1=△2

的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。

求结构的许可载荷：另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积变为25mm，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:、几何方程：解：

、平衡方程：例2

、结构受力如图,求两端的约束反力L1L2pAE1A1CE2A2B二、两端固定的超静定问题这类超静定问题的变形特征是:杆件的总长度不变.FN1FN2ACBP、物理方程解平衡方程和补充方程，得:、补充方程伸长缩短三、杆系超静定结构

这类超静定问题的变形特征是:结构受力变形后各节点仍连接于一点.

解这类超静定问题必须有两种图和两种方程两种图受力图变形几何关系图变形与内力一致静力平衡方程补充方程两种方程例3

设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、

L3=L

；各杆面积为A1=A2=A、A3

；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：、平衡方程:PAFN1FN3FN2几何方程——变形协调方程：物理方程——弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。

解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:CABD123A1例4、(练习）所示构架的三根杆件由同一材料制成.各杆的横截面面积为A1,A2,A3,在节点B所受的力为p,求各杆的内力.CBADp1

32pBN2N3N1解这是一次超静定1画节点B的受力图2列静力平衡方程3画节点B的位移图BB3B2B1B/ED300231GED=BD-BG-GE5建立补充方程将物理关系代入几何关系4建立几何变形关系联立(1),(2),(3)可得1、静定结构当温度升高时可自由变形所以不会引起构件的内力，即无温度应力。一、温度应力例1、如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为

i;△T=T2-T1)CABD123A12、静不定问题存在温度应力。温度应力和装配应力CABD123A1、几何方程解：、平衡方程:、物理方程：PAFN1FN3FN2CABD123A1、补充方程解平衡方程和补充方程，得:

aaaaFN1FN2例2、

如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固定,杆的上下两段的面积分别

=cm2，

=cm2，当温度升至T2=25℃时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数

=12.5×弹性模量E=200GPa)、几何方程：解：、平衡方程：、物理方程解平衡方程和补充方程，得:、补充方程、温度应力、几何方程解：、平衡方程:

2、静不定问题存在装配应力。二、装配应力

1、静定问题无装配应力。例3

如图，3号杆的尺寸误差为

，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13、物理方程及补充方程：

、解平衡方程和补充方程，得:dA1FN1FN2FN3AA1§6-3扭转超静定问题

例题

两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a)

解:

1.

有二个未知约束力偶矩MA,MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。(a)MAMB

2.

以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为3.

根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为4.杆的AC段横截面上的扭矩为从而有(a)

例题2由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a)

解:

1.

铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩──扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb=Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2.

位移相容条件为3.

利用物理关系得补充方程为4.

联立求解补充方程和平衡方程得：TaTb(b)5.

铜杆横截面上任意点的切应力为钢管横截面上任意点的切应力为上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r=a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。§6—4简单超静定梁的求解1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力4、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。L/2ACAqL/2B=L/2ACAqL/2BFcY分析——步骤——q

0LABFBY=、几何方程解：、建立静定基、由物理关系确定力的补充方程求出多余反力=FBY、几何方程解：、建立静定基例：结构如图，求B点反力。LBC、补充方程求出支反力FBYFBY例：结构如上图，E=210Gpa，

s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2,AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20kN/m,

求结构的安全系数。

解：由上题可知——

弯矩如图.——

NBCMx-23.72kNm1.64kNm例7梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理关系解FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得补充方程：确定A端约束力FBF´BMAFAMCFCyB1yB2确定B端约束力MAFAMCFCA、B端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图

例题2

试求图a所示等截面连续梁的约束力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5×106N·m2。

解:

1.

两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。

2.

为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩──弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。