人教版九年级上册数学 第21章《一元二次方程》讲义 第1讲 一元二次方程认识及解法（有答案）

/第1讲一元二次方程认识及解法第一局部知识梳理知识点一：一元二次方程定义概念：只含有一个未知数,并且可以化为(为常数,)的整式方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。②、只含有一个未知数。③、未知数的最高次数是2次。知识点二：方程的解法1、明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2、根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3、开平方法：对于形如或的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.形如的方程的解法：当时,;当时,;当时,方程无实数根。4、配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程,再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边；②“系数化1〞：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为的形式；④求解：假设时,方程的解为,假设时,方程无实数解。5、公式法：一元二次方程的根当时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为；当时,方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值,判断方程是否有实数根；④假设代入求根公式求值,否那么,原方程无实数根。〔因为这样可以减少计算量。另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。〕6、因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即：假设,那么；②因式分解法的一般步骤：假设方程的右边不是零,那么先移项,使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。第二局部考点精讲精练考点1、一元二次方程的定义、一般形式例1、以下方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋＝0

B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1

D．3x2－2xy－5y2＝0例2、是关于的一元二次方程,那么的值应为〔

〕A.＝2

B.

C.

D.无法确定例3、方程4x2+7x-3=0的二次项是

,一次项系数是

,常数项是

．例4、假设〔m+1〕x|m|+1-3x+4=0是关于x的一元二次方程,那么m的值是．例5、关于x的方程．〔1〕m为何值时,此方程是一元一次方程？〔2〕m为何值时,此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.例6、一元二次方程a〔x-1〕2+b〔x-1〕+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,试求a,b,c的值．举一反三：1、以下关于的方程中,一定是一元二次方程的为(

)A．

B．

C．

D．2、以下关于的方程：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程有〔〕A.1个

B.2个

C.3个

D.4个3、假设方程〔m-1〕x|m|+1-2x=4是一元二次方程,那么m=

．4、关于x的方程〔m2-1〕x3+〔m-1〕x2+2x+6=0,当m=

时为一元二次方程．5、一元二次方程〔1+3x〕〔x-3〕=2x2+1化为一般形式为：______,二次项系数为：______,一次项系数为：______,常数项为：______．6、一元二次方程a〔x+1〕2+b〔x+1〕+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0,试求a2+b2-c2的值的算术平方根．考点2、方程的解例1、假设x=3是方程的一个根,那么m的值为〔

〕A．1

B．2

C．3

D．4例2、假设关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0〔a≠0〕的解是x=1,那么2019-a-b的值是〔〕

A．2023B．2019C．2019D．2019例3、一元二次方程的两个根是1和3,那么,的值分别是〔

〕A．=4,=－3

B．=3,=2

C．=－4,=3

D．=4,=3例4、假设且,那么关于的一元二次方程必有一个定根,它是______．例5、假设方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕满足a+b+c=0,那么方程必有一根为。举一反三：1、关于x的一元二次方程x2+x+a2-1=0的一个根是0,那么a的值为〔〕

A．1B．－1C．1或－1D．0.52、一元二次方程〔a-1〕x2+x+a2-1=0一根为0,那么a的值为〔〕

A．1B．－1C．1或－1D．无法确定3、a是方程x2－3x－1＝0的一个根,那么2a2－6a＋7＝_______．4、关于x的一元二次方程ax2+x-b=0的一根为-1,那么a-b的值是

．考点3、直接开平方法例1、方程〔x+1〕2=9的解是〔〕

A．x=2B．x=-4C．x1=2,x2=-4D．x1=-2,x2=-4例2、形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程,它的根是〔〕

A．x=±B．x=±m+C．x=±D．x=-m±例3、将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成,定义=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式．假设=6,那么x=

．例4、解一元二次方程：

①2x2-8=0；②x2-2x=4例5、假设2y=〔x-2〕2+1,且y的算术平方根是,求：x+2y的值．举一反三：1、一元二次方程x2-4=0的解是〔〕

A．x=2B．x=-2C．x1=2,x2=-2D．x1=,x2=-2、以下方程中,适合用直接开方法解的个数有〔〕

①x2=1；②〔x-2〕2=5；③〔x+3〕2=3；④x2=x+3；⑤3x2-3=x2+1；⑥y2-2y-3=0；⑦x2=x+3．

A．1B．2C．3D．43、假设方程〔x-2019〕2=a有解,那么a的取值范围是〔〕

A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．无法确定4、解一元二次方程：〔1〕9x2-16=0〔2〕〔3x-2〕2=〔2x-3〕25、实数a、b满足b=+-1,解方程ax2+b=0．考点4、配方法例1、用配方法解方程x2+x-5=0时,此方程变形正确的选项是〔〕

A．B．

C．〔x+1〕2=6D．〔x+1〕2=4例2、假设方程9x2-〔k+2〕x+4=0的左边可以写成一个完全平方式,那么k值为〔〕

A．10B．10或14C．-10或14D．10或-14例3、一元二次方程x2-4x-1=0可以配方成〔x-2〕2=

．例4、用配方法解以下方程〔1〕x2+4x-5=0〔2〕2x2+1=3x〔3〕2x2-4x+1=0例5、用配方法解以下方程：

〔1〕2x2-5x-7=0；〔2〕〔3〕〔x+1〕〔x-1〕=2x2-4x-6．举一反三：1、用配方法解方程,以下变形正确的选项是〔〕

A．B．

C．D．2、把方程x2-6x+3=0化成〔x+m〕2=n的形式,那么m、n的值是〔〕

A．3,12B．-3,6C．-3,12D．3,63、将方程x2+4x+2=0配方后的方程是

．4、用配方法解以下一元二次方程：〔1〕x2-8x+1=0〔2〕2x2-4x+1=0．5、用配方法解以下方程：

〔1〕x2-6x+9=0；〔2〕x2-6x-9=0；

〔3〕x2+8x=9；〔4〕x2-2x-2=0．考点5、公式法例1、用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a、b、c的值,以下表达正确的选项是〔〕A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=3例2、用公式法解一元二次方程x2-5x=6,解是〔〕

A．x1=3,x2=2B．x1=-6,x2=-1

C．x1=6,x2=-1D．x1=-3,x2=-2例3、方程ax2+bx+c=0〔a＜0〕有两个实根,那么这两个实根的大小关系是〔〕例4、用公式法解方程2x2-7x+1=0,其中b2-4ac=

,x1=

,x2=

．例5、用公式法解方程〔1〕2x2+2x=1〔2〕2x2-7x+3=0举一反三：1、方程x2+3x=2的正根是〔〕

A．B．C．D．2、假设方程x2+x+c=0的一个根为,那么另一根为

．3、方程〔2x+1〕〔x+2〕=6化为一般形式是

；b2-4ac=

；

用求根公式求得x1=

,x2=

；x1+x2=

,x1•x2=

．4、〔1〕2x2+x-3=0〔用公式法〕〔2〕a、b、c均为实数且,求方程ax2+bx+c=0的根．5、用公式法解以下方程．

〔1〕〔x+1〕〔x+3〕=6x+4；〔2〕x2+2〔+1〕x+2=0；

〔3〕

x2-〔2m+1〕x+m=0．考点6、因式分解法例1、方程〔x-3〕〔2x+5〕=0的解是〔〕

A．x=3B．x=0C．x=-2.5或x=3D．以上都不对例2、关于x的方程2x2+mx-n=0的二根是-1和3,那么2x2+mx-n因式分解的结果是〔〕

A．〔x+1〕〔x-3〕B．2〔x+1〕〔x-3〕

C．〔x-1〕〔x+3〕D．2〔x-1〕〔x+3〕例3、一元二次方程的两根分别为x1=3,x2=-4；那么这个方程为〔〕

A．〔x-3〕〔x+4〕=0B．〔x+3〕〔x-4〕=0

C．〔x+3〕〔x+4〕=0D．〔x-3〕〔x-4〕=0例4、方程x3-4x=0的解是x1=

,x2=

,x3=

．例5、用因式分解法解方程〔1〕x2-4x=0

〔2〕3〔x-2〕+x2-2x=0例6、用因式分解法解方程〔1〕x〔x-1〕=5〔x-1〕〔2〕〔2x-1〕-x〔1-2x〕=0

〔3〕〔x+1〕〔x+8〕=-12；

〔4〕〔x+1〕2-3

〔x+1〕+2=0．举一反三：1、一元二次方程x2-x=0的根为〔〕

A．x=1B．x=0C．x1=0,x2=1D．x1=1,x2=-12、一个三角形的两边长为3和6,第三边的边长是方程〔x-2〕〔x-4〕=0的根,那么这个三角形的周长是〔〕

A．11B．11或12C．13D．11和133、方程〔x+1〕〔x-2〕=x+1的解是〔〕

A．2B．3C．-1,2D．-1,34、假设方程x2-px+q=0的两个实数根是2,-3,那么二次三项式x2-px+q可以分解为

．5、用因式分解法解方程〔1〕x2-2x-24=0；〔2〕x2-x-n2+n=0．第三局部课堂小测1、以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔

〕A．

B．C．

D．

2、假设关于x的一元二次方程x2-x-m=0的一个根是x=1,那么m的值是〔〕A、1 B、0 C、-1 D、23、假设x2-6x+11=〔x-m〕2+n,那么m,n的值分别是〔〕

A．m=3,n=-2B．m=3,n=2C．m=-3,n=-2D．m=-3,n=24、将方程x2+6x=1配方后,原方程变为〔〕

A．〔x+3〕2=5B．〔x+6〕2=7C．〔x+3〕2=10D．〔x+6〕2=95、方程x〔x-2〕=0的根为〔〕

A．x=0B．x=2C．x1=0,x2=2D．x1=0,x2=-26、假设方程〔m-2〕x|m|-2x+1=0是一元二次方程,那么方程的根是〔〕

A．B．

C．D．以上答案都不对7、方程x〔x+1〕=〔x+1〕的根为〔〕

A．x1=1,x2=-1B．x1=0,x2=-1C．x=0D．x=-38、解以下方程：①3x2-27=0；②2x2-3x-1=0；③2x2-5x+2=0；④2〔3x-1〕2=3x-1．较简便的方法是〔〕

A．依次为：直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法

B．依次为：因式分解法,公式法,配方法,直接开平方法

C．①用直接开平方法,②,③用公式法,④用因式分解法

D．①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法9、一元二次方程〔1+3x〕〔x-3〕=2x2+1化为一般形式为

．10、关于x的方程〔a-1〕x2-2x+1=0是一元二次方程,那么a的取值范围是______．11、将以下各式配方：

〔1〕x2-4x+〔

；〔2〕x2+12x+〔

；

〔3〕

；〔4〕

．12、假设方程3x2-5x-2=0有一根是a,那么6a2-10a=

．13、假设关于x的方程〔m-3〕x2+5x+m2-3m-18=0的常数项为0,那么m的值等于

．14、用适当的方法解以下方程：

〔1〕x2-8x=20；〔2〕2x2-6x-1=0：

〔3〕；〔4〕〔x-2〕2-4〔x-2〕=-4．15、当m是何值时,关于x的方程〔m2+2〕x2+〔m-1〕x-4=3x2〔1〕是一元二次方程；〔2〕是一元一次方程；〔3〕假设x=-2是它的一个根,求m的值．16、用适当方法解以下方程：

〔1〕〔3x-1〕2=1；〔2〕2〔x+1〕2=x2-1；

〔3〕〔2x-1〕2+2〔2x-1〕=3；〔4〕〔y+3〕〔1-3y〕=1+2y2．17、关于x的一元二次方程ax2-bx-6=0与ax2+2bx-15=0都有一个根是3,试求出a、b的值,并分别求出两个方程的另一个根．第四局部提高训练1、观察以下方程：①x2+x-2=0；②2x2-x-1=2；③3x2-4x+1=0；④4x2-7x+3=0．

〔1〕上面四个方程的各系数有一个共同特点,你知道是什么吗？

〔2〕假设上述方程的一般形式为ax2+bx+c=0〔a≠0〕,请用代数式表示它们的共同特点；

〔3〕由〔2〕可知,上述各方程必有一个公共根,你知道这个公共根吗？2、试证明关于x的方程〔a2-8a+20〕x2+2ax+1=0无论a取何值,该方程都是一元二次方程．3、x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程,求a与b的值．第五局部课后作业1、关于x的方程：〔1〕ax2+bx+c=0；〔2〕x2-4x=8+x2；〔3〕1+〔x-1〕〔x+1〕=0；〔4〕〔k2+1〕x2+kx+1=0中,一元二次方程的个数为〔〕个．

A．1B．2C．3D．42、关于x的方程ax2-3x+3=0是一元二次方程,那么a的取值范围是〔〕

A．a＞0B．a≠0C．a=1D．a≥03、假设m是一元二次方程x2-5x-2=0的一个实数根,那么2019-m2+5m的值是〔〕A、2019 B、2019C、2019 D、20194、关于x的方程(m＋1)x2＋2mx－3＝0是一元二次方程,那么m的取值范围是〔〕A．任意实数B．m≠－1C．m＞1D．m＞05、用配方法解方程x2-6x+2=0时,以下配方正确的选项是〔〕

A．〔x-3〕2=9B．〔x-3〕2=7C．〔x-9〕2=9D．〔x-9〕2=76、2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根,那么△ABC的周长为〔〕A．10 B．14 C．10或14 D．8或107、点A〔m2-5,2m+3〕在第三象限角平分线上,那么m=〔〕

A．4B．-1C．4或-2D．-28、把一元二次方程〔x+1〕〔1-x〕=2x化成二次项系数大于零的一般式是

,其中二次项系数是

,一次项的系数是

,常数项是

；9、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选两个,并选择你认为适当的方法解这个方程．

①〔x+1〕2=4x；②3x2-6x=0；③x2+x-1=0；④2x2=6x+8

【解析】选______．

选______．10、假设关于x的一元二次方程〔m+2〕x|m|+2x-1=0是一元二次方程,那么m=

．11、将方程配方成〔x+m〕2=n,那么m=

,n=

．12、以下四个方程中,

①x2-2x+1=0；

②x2+x+1=0；

③2x2+8x+8=0；

④-x2+6x-9=0．

请观察并思考,方程

〔填序号〕与其它三个不同,理由是

．13、方程〔1〕m取何值时是一元二次方程,并求出此方程的解；〔2〕m取何值时是一元一次方程．14、解方程：

〔1〕〔x+1〕2-4=0〔2〕3〔x-2〕=5x〔x-2〕．

〔3〕2x2-5x+1=0〔4〕x2-4x+3=0．15、假设0是关于x的一元二次方程〔m-2〕x2+3x+m2+2m-8=0的解,

〔1〕求m的值,

〔2〕请根据所求m值,讨论方程根的情况,并求出这个方程的根．16、用适当的方法解方程

〔1〕3x2-27=0〔2〕x2-2x-1=0

〔3〕x〔2x+1〕-6〔2x+1〕=0．17、解方程．

〔1〕x2-6x+5=0〔配方法〕

〔2〕2x2-